2024-2025学年人教版八年级数学上册专项复习：与三角形的角有关的计算（30题）（原卷版）

专题第01讲与三角形的角有关的计算

1.（2022秋•海珠区校级期末）如图，在△A2C中，AD是高，AE,8尸是角平分线，它们相交于点O,ZC

=70°.

(1)的度数为;

(2)若/ABC=60°,求ND4E的度数.

2.（2023春•洛宁县期末）如图，AD为△A2C的高，AE,B尸为△ABC的角平分线，ZCBF=30°,NAFB

=70°.

(1)ZBAD='

(2)求ND4E的度数.

3.（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，BD,C。分别是/ABC,/AC8的平分线，BP,CP分别是

NEBC,NFCB的平分线.

(1)当/48C=64°,ZACB=66°时，ZD=°,ZP=c

(2)ZA=56°,求/Q,/P的度数；

(3)请你猜想，当NA的大小变化时，尸的值是否变化？请说明理由.

4.(2023春•乐山期末)(1)如图1,△ABC中，延长AB到M,BP平分NMBC,延长AC到N,CP平分

ZNCB,P3交PC于点P,若/A8C=a,ZACB=p,ZBPC=Q,求证：a=；

(2)如图2,ZVIBC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长A8到尸8平分/MBC,PF平

分NEFC,BP交PF于点、P,若/AEF=a,ZACB=^,ZBPF=G,求证：9=

(3)如图3,△ABC中，E是A8边上一点，尸是AC边上一点，延长E尸至UG,PB平分NA8C,PF平

分/AFG,BP交PF于点P,若ZACB=p,NBPF=6,探究并直接写出a,p,9之间的等

量关系.

图1

5.(2022秋•黄石期末)如图，直线C£(与跖相交于点。，NCOE=60°,将一直角三角尺A08(含30°

和60°)的直角顶点与。重合，OA平分/COE.

(1)求的度数；

(2)图中互余的角有对；

(3)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点0顺时针旋转，同时直线EF以每秒9°的速度绕点O顺时针

旋转，设运动时间为ts(0W/W40).

①当t为何值时，直线EP平分NA02.

②当t=时，直线EF平分/BOD

6.(2022秋•淮南期末)(1)如图1,有一块直角三角板XXZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直

角边XKXZ分别经过点8、C.△A8C中，ZA=30°，贝INABC+NACB=,ZXBC+Z

XCB=__________

(2)如图2,AABC的位置不变，改变直角三角板XFZ的位置，使三角板XN的两条直角边XKXZ

仍然分别经过8、C,那么NABX+/ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出/

A8X+NACX的大小.

7.(2023春•栾城区校级期末)在△ABC中，点。在线段AC上，OE〃8c交A8于点E,点尸在线段A8

上(点尸不与点A,E,8重合)，连接。凡过点尸作交射线于点G.

①②③

(1)如图1,点F在线段BE上.

①直接写出NEDF与ZBGF的数量关系；

②求证：ZABC+ZBFG-ZEDF=90°；

(2)当点P在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出/即厂与NBGF的数量关系.

8.(2023春叶K江区期中)阅读下列材料并解答问题:

在一个三角形中，如果一个内角a的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅

三角形”，其中a称为“优雅角”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是、100°、，这个三角形就是

“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°.反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的

三个内角中一定有一个内角a的度数是另一个内角度数的2倍.

(1)一个“优雅三角形”的一个内角为120。，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为.

(2)如图1,已知NMCW=60°,在射线0M上取一点A,过点A作交ON于点2,以A为端

点画射线交线段于点C(点C不与点。、点B重合).若△AOC是“优雅三角形”，求NAC8的度数.

(3)如图2,△ABC中，点。在边BC上，平分/AOB交A8于点E,尸为线段上一点，1.ZAFE+

NAOC=180°,/FED=NC.若△ADC是“优雅三角形”，求NC的度数.

9.(2023春•邛江区期中)综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程

中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧.在△ABC中，ZABC与/ACB的平分线相交于点P.

(2)如图2,作△ABC的外角NNCB的平分线交于点。，试探究NQ与NBPC的数量关系.

(3)如图3,在(2)的条件下，延长线段3P,QC交于点E,在△BQE中，若/Q=4NE,求NA的度

数.

10.(2022秋•海丰县期末)综合与探究:

【情境引入】

(1)如图1,BD,分别是△ABC的内角NA8C,/AC8的平分线，说明/。=90°+工/4的理由.

2

【深入探究】

(2)①如图2,BD,C。分别是AABC的两个外角/E8C,NFC8的平分线，ND与/A之间的等量关

系是;

②如图3,BD,C。分别是AABC的一个内角NA8C和一个外角NACE的平分线，BD,CD交于点Q,

探究/。与NA之间的等量关系，并说明理由.

图1图2图3

11.(2023春•南阳期末)如图，在△ABC中，BD,C£＞分别是/ABC,NACB的平分线，BP,CP分别是

ZEBC,NFC8的平分线.

(1)若/A=30°,则°,/P=,ZD+ZP=

(2)当/A变化时，尸的值是否变化？请说明理由.

A

P

12.(2023春•洪洞县期末)在△ABC中，A£>_L3C于点D

B

DE

图1备用图

特例研究：

(1)如图1,若N54C的平分线AE能交BC于点E,ZB=35°,/EAD=5°,求NC的度数;

操作发现:

如图2,点N分别在线段AB,AC,将△ABC折叠，点2落在点尸处，点C落在点G处，折痕分别

为DM和DN,点G,尸都在射线ZM上;

(2)若NB+NC=60°,试猜想/AM尸与NANG之间的数量关系，并说明理由;

(3)将△£)而绕点。逆时针旋转，旋转角记为a(0°<a<360°).记旋转中的△£)〃/为△ZJMiFi,

在旋转过程中，点M,尸的对应点分别为Ml,Fi,直线MLFI,与直线BC交于点。，与直线AB交于点

P.若/8=35°,ZPQB=90°,请直接写出旋转角a的度数.

13.(2023春•东方校级期末)在△ABC中，/ABC与NACB的平分线相交于点P.

图1图2图3

(1)如图1,如果/A=70°,ZABC=50°,ZACB=60°,求/BPC的度数；

(2)如图1,如果/A=a,用含a的代数式表示/8PC；

(3)探索：如图2,作△ABC外角NM8C、/NCB的平分线交于点。试写出N。、NA之间的数量关

系；

(4)拓展：如图3,延长线段8P、QC交于点E,△8QE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请

直接写出NA的度数.

14.(2023春•商水县期末)【基本模型】

(1)如图1,在△ABC中，8P平分/ABC,C尸平分外角/ACD试说明NP=2/A.

2

【变式应用】

(2)如图2,/MON=90°,A,B分别是射线ON,0M上的两个动点，NAB。与NBAN的平分线的

交点为P,则点A,8的运动的过程中，/P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发

生变化，请说明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,/MON=90°,作/MON的平分线。。，A是射线0D上的一定点，2是直线0M上的任

意一点(不与点。重合)，连接A8,设/AB。的平分线与/54O的邻补角的平分线的交点为P,请直接

写出NP的度数.

图1图2图3

15.(2023春•大荔县期末)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图1中，△

A08的内角/AOB与△C。。的内角/C。。为对顶角，则△AOB与△C。。为“对顶三角形”，根据三角

形三个内角和是180°对顶三角形”有如下性质：ZA+ZB=ZC+ZD.

性质理解:

（1）如图1,在''对顶三角形"△AOB与△CO。中，则NAOB=85°，则NC+N£）=

性质应用:

(2)如图2,在△ABC中，AD.8E分别平分N8AC和NABC,若/C=60°，N4DE比/BE。大8°，

求/BED的度数.

拓展提高:

（3）如图3,BE、CD是△ABC的角平分线，且NBOC和/BEC的平分线。P和“相交于点P,设/

A=a,请尝试求出/P的度数（用含a的式了表示NP）.

C

16.（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：

【论证】如图1,延长8A至。，过点A作AE〃BC,就可以说明/8AC+/B+NC=180°成立，即：三

角形的内角和为180。，请完成上述说理过程.

【应用】如图2,在AABC中，ABAC的平分线与NACB的角平分线交于点P,过点A作AE//BC,M

在射线AE上，且MC的延长线与AP的延长线交于点。.

①求NOCP的度数；

②设N8=a,请用a的代数式表示ND

【拓展】如图3,在△A8C中，ZBAC=90°,ZACB=30°,过点人作£/〃8C,直线MN与EF相交

于A点右侧的点尸，NAPN=75°.△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时绕点尸

以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC

旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为f秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与AABC的

一边平行？若存在，求/的值；若不存在，请说明理由.

17.（2023春•云浮期末）如图1,在直角三角形4BC中，ZC4B=90°,NC=30°,现将△ABC绕点A

顺时针旋转a角度得到△AOE.

（2）NZMC与NBAE有怎样的关系？请说明理由；

（3）在旋转过程中，若0°<a<180°时，△>!£）£与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行?

若存在，请求出a的所有可能取值.

18.（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线

与平面镜所夹的锐角相等，如图1,一束光线m射到平面镜。上，被。反射后的光线为n,则入射光线m,

反射光线n与平面镜a所夹的锐角/l=/2.

(1)如图2,一束光线加射到平面镜a上，被。反射到平面镜b上，又被6反射，若被6反射出的光线

”与光线机平行，且/1=50°,则/2=,/3=；

(2)图2中，当被b反射出的光线〃与光线机平行时，不论N1如何变化，/2与N1总具有一定的数

量关系，请猜想/2和N1的数量关系，并说明理由；

(3)图2中，请你探究：当任何射到平面镜。上的光线“，经过平面镜a、6的两次反射后，入射光线

加与反射光线〃平行，求两平面镜。、6的夹角N3的度数；

(4)如图3,一束光线,"射到平面镜a上，被。反射到平面镜b上，又被6反射，若被6反射出的光线

w与光线机垂直，求出此时NO的度数？(友情提示：三角形内角和等于180°)

图1图2图3

19.(2023春•定兴县期末)综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背

景开展数学活动，如图，已知两直线。，6且。〃6,三角形ABC中，ZACB=90°,ZABC=6Q°,Z

54c=30°.操作发现:

A

（1）如图1,若/1=42°,求/2的度数；

（2）小聪同学把图1中的直线。向上平移得到如图2,请你探究图2中的N1与/2的数量关系，并说

明理由.

（3）小颖同学将图2中的直线。向上平移得到图3,若/2=4/1,求/I的度数.

20.（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内

角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下.

在△ABC中，ZA=n0.

(1)设/8、/C的平分线交于点O,求/8OC的度数；

(2)设△ABC的外角NCB。、NBCE的平分线交于点。,，求NB。'C的度数;

(3)/BOC与NBO,C有怎样的数量关系？

【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：

如图1,在△ABC中，ZA=n°.

(2)△ABC的外角NCB。、/BCE的平分线交于点O',则N8。'C的度数为；

(3)N80C与NBO'C的数量关系是.

(4)【问题深入】：

如图2,在△ABC中，ZABC.ZACB的角平分线交于点O,将AABC沿MN折叠使得点A与点。重合，

请直接写出N1+/2与/80C的一个等量关系式；

(5)如图3,过AABC的外角/CBD、ZBCE的平分线的交点O',作直线PQ交AD于点P,交AE

于点Q.当NAPQ=/A。尸时，ZCO'。与/48C有怎样的数量关系？请直接写出结果.

21.(2023春•郑城县期中)已知AB〃CZ),直线MN交A3、CD交于点M、N.

MBA

AI

图1图2

(1)如图1所示，点E在线段MN上，设/M8E=15°

(2)如图2所示，点E在线段MN上，Z1=Z2,DF平分/EDC,交BE的延长线于点F,试找出/

AEN、/I、/3之间的数量关系，并证明；(提示：不能使用“三角形内角和是180。”).

(3)如图3所示，点2、C、。在同一条直线上，NA2C与NAC。的角平分线交于点尸，请直接写出/

A与/尸的数量关系：.

22.（2023春•单县期末）如图①，平分/BAC,AE±BC,ZB=38°,ZC=64°.

图①图②

(1)求NDAE的度数;

(2)如图②，若把“AE_LBC”变成“点尸在的延长线上，FE1BC",/B=a,ZC=p(a<p),

请用a、p的代数式表示/DEE.

23.(2023春•秀英区校级月考)如图，在△ABC中，ZCBD,/8CE是△ABC的外角，8P平分/ABC,

CP平分/ACB,BQ平分/CBD,C。平分/BCE.

(1)若/A=70°,求/尸=度；

(2)求/尸8。及NPC。的度数；

(3)若/A=a,求NP及/Q的度数.(用含a的代数式表示)

24.(2023•东兴区校级二模)如图①，在△ABC中，NABC与NACB的平分线相交于点P.

(1)如果/A=80°,求/BPC的度数；

(2)如图②，作△A8C外角NMBC,NNCB的角平分线交于点。，试探索/。、/A之间的数量关系.

(3)如图③，延长线段2尸、QC交于点E,△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求NA的

度数.

E

QQ

图②图③

25.(2023春•桂林期末)实验与探究

小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线CD上取一定点N,作

一任意三角形MNP,过点M作直线A8〃CD,并标记/BMP为/I,/DNP为N2,请用平行线的相关

(1)如图1,小芳发现,当点尸落在直线A8与。之间时，总有Nl+N2=/P的结论，请你帮小芳说

明理由;

(2)将三角形MNP绕点N旋转，当点P落在直线AB与C。之外时(如图2),小芳发现Nl,Z2,Z

尸之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由;

(3)如图3,当点尸落在直线48与CO之间时，小芳用数学软件作出尸与/CNP的角平分线

和N。，交点为点0,发现/尸与NMQN之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理

由.

26.(2023春•徐州期末)已知：在△ABC中，/BAC=a.过AC边上的点。作Z)E_LBC,垂足为点E.BF

为△ABC的一条角平分线，0G为/AOE的平分线.

①判断/I与/2的数量关系，并说明理由；

②判断8尸与G。的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若0°<a<90°,点G在边2C上，0G与的延长线交于点H,用含a的代数式表示

ZH,并说明理由；

(3)如图3,若0°<a<90°,点G在边AB上，OG与交于点用含a的代数式表示

则/BMD=.

27.(2023春•江都区期末)如图，在△ABC中，ZB>ZC,AO_L8C于点。，AE平分N8AC.

（1）若/B=64°,ZC=42°,贝！J/£）AE=0；

（2）/B、NC与/D4E有何数量关系？证明你的结论；

（3）点G是线段“上任一点（不与C、E重合），作GHLCE