1.5 三角函数的应用 北师大版数学九年级下册教案

九年级下1.5三角函数的应用课题1.5三角函数的应用单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；2.能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．重点灵活运用锐角三角函数解决实际问题.难点灵活运用锐角三角函数解决实际问题.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回顾知识导入新课知识探究直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题(多媒体演示泰坦尼克号).【思考问题】与方向角有关的实际问题 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做? 解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险. 根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.设AD=x海里.∵tan55°=BDX，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴xtan55°-xtan55°=20∴x=20tan答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.学生思考并回答问题.并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识.导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力.讲授新课例题讲解从刚刚思考问题探究中，我们可以发现：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．【思考问题】与仰角、俯角相关的测量与计算 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).现在你能完成这个任务吗?要解决这问题，我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=xm.∵tan∠ADC=ACX，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴xtan60°-xtan30°=50∴x=20tan60°-tan答:该塔约有43m高.【思考问题】利用倾斜角解决实际问题 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗? 2.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?可以将实际问题转化成数学问题，再解决.转化后的问题：如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长.(2)AD的长.解：（1）∵sin40°=BCBD，∴BC=BD∵sin35°=BC∴AB=BCsin60°∴AB-BD≈4.48-4=0.48（m）答:调整后的楼梯会加长约0.48m.（2）∵tan40°=BCDC，∴DC=∵tan35°=BCAC，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（1tan35°-=BDsin40°（1tan35°-1tan答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.【小结】用三角函数知识解决问题的一般步骤：（1）通过读题把已知转化为数学图形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；（4）解题.结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数解决实际问题.老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.讲授知识，让学生熟练利用探究会用锐角三角函数解决实际问题.巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.随堂练习随堂练习随堂练习1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sinA＝__ac__，cosA＝__bc__，tanA＝__ab__，tanB＝__2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(c) A．402海里 B．403海里 C．80海里 D．406海里 3.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为(A) A．1003m B．502m C．503m D.100334.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）解：设DB=xm，则在Rt△ADB中，AB=xtan60°=3xm，在Rt△ACB中，3xx+10=tan30°，即3x整理得，3x=x+10，解得，x=5，则AB=53m．故，建筑物AB的高度是53m 5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°， 请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝10003

(米)在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝30003

(米)∴AB＝BD－AD＝20003

(米)答：此时渔政船和渔船相距20003米. 6.如图4-21，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D．设CD=x.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CDAD，∴AD=CDtan同理，在Rt△BCD中，AD=CDtan∵AB=AD-BD，∴xtan30°-xtan又203≈34.64>30.因此，该船能继续安全地向东航行．学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.中考链接 1.某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449） 解：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×22=2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝22，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝42，AD﹣AB＝42-4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米． 2.如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东53°方向行走258m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172m将快递送至C楼，求此时快递员到小路MN的距离．（计算结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73） 解：过B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E，过B作BF⊥EC于F， 则四边形DEFB是矩形，∴BD＝EF，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m， ∴BD＝AB•sin53°＝258×0.8＝206.4，在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172， ∴CF=12BC＝86 ∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86＝120.4m，答：快递员到小路MN的距离是120.4m．学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.课堂小结在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：（1）通过读题把已知转化为数学图形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；（4）解题.2.三角函数的应用：（1）与方向角有关的实际问题；（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；（3）利用坡角解决实际问题.跟着老师回忆知识，并