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垂径定理3上海市初级中学名师制作一、复习引入垂径定理及其推论可归纳为：

在圆中，对于某一条直线“

”、“

”、“

”、“

”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．经过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的弧

注：当条件为“直线经过圆心”、“平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系．二、例题讲解例题1如图，已知PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N

．求证：PA=PC．解∵AB=CD，∴AM=CN，OM=ON．∴PM=PN．AB=CDPA=PC二、例题讲解将本题中的条件和结论互换，把PA=PC作为条件，能得出AB=CD这个结论吗？思考∴∠APO=∠CPO．∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON．∴AB=CD．二、例题讲解如图，已知⊙O的半径长为5，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，AB长6，求弦CD的长．例题2联结OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD

．得EF的长是AB与CD间的距离，即EF=7．∵OE、OF过圆心，∵AB=6，∴AE=3．∴OF=EF-OE=7-4=3．∴CD=2CF=8．解过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F．二、例题讲解已知⊙O的半径长为5，弦AB与弦CD平行，如果AB=6，CD=8．那么AB与CD之间的距离是7吗？思考过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F；分别联结OA、OC．∵AB∥CD，∴OF⊥CD得EF的长是AB与CD间的距离．∵OE、OF过圆心，∵AB=6，CD=8．∴AE=3，CF=4．当AB与CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=7．当AB与CD在圆心同侧时，EF=OE-OF=1．∴AB与CD之间的距离为7或1．解二、例题讲解已知△ABC是半径长为5的⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=8，求△ABC的面积．例题3联结BO．或联结AO并延长交BC于点O．∵AB=AC，又∵AD过圆心，∵BC=8，∴BD=4．当点O在△ABC内部时，AD=AO+DO=5+3=8．当点O在△ABC外部时，AD=AO-DO=5-3=2．∴△ABC的面积为32或8．解过点A作AD⊥BC．∵AB=AC，∴点O在AD上.三、归纳小结一.垂径定理及其推论二.运用垂径定理及其推论解决相关数学问题1.合理添加辅助线2.构造直角三角形解决问题3.

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