2024-2025学年江苏省南通市某中学高三（上）质检数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市海安实验中学高三(上)质检数学试卷

(一)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设复数z满足(1+E)z=1-2严，则z的共辗复数为()

31.^3,1.31.3,1.

A-B.-+-1C.—---ID.--+-I

2.已知函数y=/(%)的对应关系如下表，函数y=g(X)的图象如图，贝！的值为()

X123

f(x)230

3.设集合A=[x\\x-2\<1},B={x|log2x<1},C={x\xE3且第0B],则C=()

A.0B.[1,2)C.[2,3]D.(2,3]

4.命题p：-3<%<1,q：%m若q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是()

A.(-3,4-00)B.[-3,+8)C.(L+8)D.[1,+8)

5.设/(%)是定义域为R的奇函数，f(-3)=-7,当％20时，/(%)=ax+h,则/(I)=()

A.1B.-V6-1C.V7^b+bD.-V7TT+Z)

6.我们知道当0<%<2或%>4时，2、,若a=sg23,b=0,c=21og32,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

7.函数/(%)=J/一%2+对任意%i，&e[1,2],且%1。％2，者B有""1)一"犯)>1,贝！Ja的范围是()

A.(1,+8)B.口+00)C.(2,+00)D.[2,+oo)

8.若e。=”匕+4+匕则a—2b的最小值为()

A.2B.1+ln2C.1D.In2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/1(%)=xhrr,则()

人./(%)在(1,+8)单调递增

B.f(x)有两个零点

(2](%)的最小值为-?

D.y=f(x)在(1,0)点处切线为y=x-l

10.设偶函数/(x)的定义域为R,若/(2支—1)—1为奇函数，则()

A./(l)=l

B.f(x+2)=/(2-x)

C.函数f(久)的一个周期是6

D./(I)+f(2)+/(3)+-­­+f(2024)=2024

11.已知a>b>1,贝!1()

AA.—b>—b+―1Bn.\1xibk<Ja—11

aa+i

ab

C.be>aeD.loga+1a<\ogb+1b

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数，⑺=设；；瑟20则加⑶]=一.

3

13.设塞函数/(x)=mxm~2,则不等式/(3-a)>/(2a)的解集为.

14.已知曲线f(x)=/与。(久)=a+bix有公共切线，则实数a的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相关.

根据统计得下表：

月份X123456

销量y122133415263

(1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程产=10%+七请预测当年7月份该品牌的空调可

以销售多少台？

(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X

的分布列和数学期望.

16.(本小题12分)

设公比为正的等比数列｛诙｝前n项和为Sn,S3=7%,且的,a3,20+a2成等差数列.

(1)求｛斯｝的通项；

(2)若数列｛5｝满足%=bn+l+%g+110g2an，瓦=1，求数列｛与｝的前几项和加.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD是边长为2的正方形，P41平面4BCD,PA=2,M是BC中点，

N是PD中点.

(1)证明：直线MN〃平面PAB;

(2)设同=2元，求平面PCD与平面GMN的夹角.

18.(本小题12分)

已知椭圆C:^+y2=1的左、右焦点分别为F「尸2，椭圆C在第一象限上的点力满足1人尸2，点4关于丫

轴的对称点为B.

(1)求点a的坐标；

(2)在x轴上任取一点P,直线2P交直线y于点Q,求行•丽的最大值；

(3)设点M在椭圆C上，记aOAB与AAMB的面积分别为Si，S2,若S[=2S2，求点M的坐标.

19.(本小题12分)

已知函数/'(x)=(；+a)ln(x—1).

(1)当a=—1时，求曲线y=/(%)在点(2,/(2))处的切线方程;

(2)当a=-，时，证明：曲线y=/(3是轴对称图形；

(3)若函数%(%)=(%-在［2,+8)上单调递减，求实数Q的取值范围.

参考答案

1.71

2.5

3.C

4.0

5.4

6.5

7.D

8.F

9./4CD

10.ABD

11.BC

12-

13.(1,3)

14.1n-\/-2e

1+2+3+4+5+6

15.解:=3.5,

(1)元=6

_12+21+33+41+52+63“

y=------------6------------=37,

又回归直线过样本中心点(五亨)，所以37=10x3.5+t,得t=2,

所以y=10比+2,当％=7时，3=72,

所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台；

(2)因为歹=37,所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4,5,6,

所以X=0,1,2,3,

所以P(X=0)=4=^>P(X=1)=萼=焉P(X=2)=萼=券P(X=3)=乌=焉,

底20、7Cg207Q20比20

所以X的分布列为:

X0123

99

P11

2020而丽

故数学期望E(X)=0x^-+lx^-+2x^-+3x^-=1.

乙U4UNiUNiU乙

16.解:(1)设｛an｝的公比为q,

因为S3=7ar,

所以的(1+q+Q2)=7a1，

因为的W0,

所以q2+q—6=0,

因为q>0,

所以q=2,

又因为。1，a3,20+。2成等差数列，

所以2a3=%+20+的，

即8al=a1+20+2a1，

得的=4,所以册=2n+1；

(2)因为b九=bn+1+bnbn+1\og2an,

所以9---V=几+1，可得T-:

bn+1bnb2b1

累加得—占=2+…+九

bn比

因为4=1，

bi

所以==1+2+…+几=嘤，

bn2

所以力九=；=2(v---,y

n(n+l)nn+l

所以Tn=2[(1—今+6一§+…+(；—磊)]=2一磊.

17.解：（1）证明：取P4的中点为Q,连接QB,QN,

•••Q,N分别为24,PD的中点,

1

QN="AD且QN〃AD,

1

y.BM=AD,BM//AD,

故QN=BM且QN"BM,

故四边形BMNQ为平行四边形，MN//BQ,

MNC平面P48,BQu平面P&B,

故直线MN〃平面PAB；

(2)由P力，底面ABC。，且四边形48CD为正方形，得直线AB,AD,4P两两垂直,

以力为原点，直线力B,AD,4P分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则B(2,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),P(0,0,2),Af(0,1,1),M(2,l,0),

所以而=(0,2,—2)，CD=(-2,0,0).

设平面PCD的法向量为元=(%,月,Zi),

所以E.二=2月一2与=0,

令yi=l,得元=(0,1,1),

设平面GMN的法向量为记=(x2,y2,z2)f

因为间=2GC，

1

所以说=配+元=祝+^方=3-(-2,-2,2)=(量,行),

又因为丽=（—2,0,1）,

_------>212

m>-MG=--%+§V2+3^2=0,

所以2

m•MN=-2X2+z2=0.

令上=1，得记=（1,—2,2）,

所以cos（汇记>=禺=汽焉=8

所以平面PCD与平面GMN的夹角为90。.

2

18.解：（1）由椭圆C:?+y2=1，则左，右焦点分别为Fi（—0）,F（V-3,0）,

42

设/（犯九），m>0,n>0,因为AF1IAF2，可得丽•丽=（一73-皿一九）（6—皿―九）=0,

2

整理得tn?+九2=3,又因为?+荏2=L

4

m22—1

联立方程组彳+九=>

.m2+彦=3

解得TH=曰百，n=年,

y—0x—p

(2)设P点坐标为(p,0),则直线4P方程为W=H

3U3P

因为直线AP交直线y=于点Q,

联立方程组

x=2y/~6—2p

解得

y=6

可得Q点坐标为（2港-2p,V^）,

由泰•丽=(p,0)•(2竭-2p,<3)=-2P2+2<6p=—2(p—苧/+3，

当「=苧时，赤.而取最大值，最大值为3.

(3)点4的坐标为(竽，苧)，点B的坐标为(一等,苧)，

则点。到线段48的距离上=苧，若Si=2s2,则点M到线段AB的距离应为九2=今

故M点的纵坐标为£或空，代入椭圆C方程二+y2=1，

624/

解得M点纵坐标为£时，％=+单，

M点的纵坐标为苧时，x=±l,

故M点的坐标为(士等,?)或(±1,?).

19.1?：(1)当a=—1时，/(x)=(i-l)ln(x-l),所以―2)=0,

111111

可得,(%)=-1)+(--1)ky=_^2ln(x-1)一彳所以,(2)=2-

所以曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y=+1；

(2)证明：当a=一5时,/(x)=(---)ln(x-1),令g(x)=/Q)=Q—Rln4—1)=(x—Rin?,

设y=g(x)关于工=6对称，则g(26-x)-