2024-2025学年沪教版九年级数学上学期专项复习：锐角的三角比

专题04锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单

+6种题型解读）

考点侪单

【清单01】锐角的三角比定义

一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.

/岫对边

正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tanA=

/凰邻边

NA的邻边

余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cotA

NA的对边

NA的对边

正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sinA=

斜边

/岫邻边

余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cosA=

斜边

【清单02】锐角的三角比性质

①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小;

②若NA+/B=90°,贝I]tanA=cot5;sinA=cosB；

③tanAcotA=1.

【清单03】特殊角的三角比

a=30°a=60°a=45°

tanaV31

3

cotaV31

~T

sina£且叵

222

cosa£V2

222

【清单04】锐角的三角比

:已知锐角，求三角比；

〔已知锐角的三角比，求锐角.

盛型侪单

【考点题型一】锐角三角比的意义

【例1】在VABC中，ZC=90°,ZB=a,BC=m,那么边AC的长为（

A.msinaB.mcosaC.tanaD.mcota

【变式1-1]在RtZXABC中，?B90?,BC=a,那么A3等于（）

a

A.atanAB.acotAC.D.

sinAcosA

【变式1-2].在Rt^ABC中，?B90?,AB=4,BC=3,那么下列结论正确的是（）

44

A.tanC=—B.cotC=—C.sinC=—D.cosC=-

3343

【变式1-3］如图，在VABC中，ZACB=90°,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定

成立的是（）

CD

A.ZA=ZDCBB.tanZECB=——C.CD2=ADDBD.BC2=2DB-EC

AD

【变式1-4］已知/A是锐角，化简：“cosA-1?+cosA=

【变式1-5]如图，已知在VABC中，cosA=1,BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接取，那么

△AEF和VABC的周长比为

A

【变式1-5].若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即2勿顶角

=+斗；,一，若等腰VABC,AB=AC,且地必=彳，则cosB=______.

底边上的IWJ2

【变式1-6].如图，在△4BC中，点。是BC的中点，联结A。，AB^AD,BD=4,tanC=J.

(1)求AB的长;

(2)求点C到直线A8的距离.

【考点题型二】求角的三角比

【例2】(24-25九年级上•上海•期中)在Rt^ABC中，NC=90。，NB=2ZA,那么cosA的值等于()

A.立B.3C.-D.73

232

【变式2-1(23-24九年级上•上海•期中)在直角坐标系中，已知尸(-2,3),。为坐标原点，。尸与x轴负

半轴的夹角为。，则a的正切为.

【变式2-2］（24-25九年级上•上海•期中）ABC中，AB=AC=13,BC=^,那么顶角NA的正弦值

等于.

【变式2-3］（21-22九年级下•上海•期中）在正方形网格中，VABC的位置如图所示，贝pos/B的值为

【变式2-4］（24-25九年级上•上海•期中）如图，VABC中，ZC=90°,将VA3C沿图中的虚线翻折，使点

4n5

C落在边BC上的点。处，如果===，那么cosNABC=________.

DB8

【变式2-5］（2024•上海青浦•模拟预测）如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E

在3C边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接。EEF.若

MF=AB,则"AF的正弦值为

【变式2-6］（2024•上海奉贤•二模）如图，正方形ABC£＞的边长为1,点尸在AO延长线上（尸口＜8）,

连接P&PC,如果△（?/）尸与一PLB相似，那么tan/8K4=

［变式2-7）（2024九年级上•上海校题练习）如图，在RtAA5C中，NC=90。,=10,3C=6,求sinAcosA

的值.

【变式2-8］（2024•上海普陀•二模）如图，在VA3C中，ZB=2NC,点。在边3C上，AB=AD=13,

BC=23

（1）求的长；

⑵求tanC的值.

【变式2-9］（2024九年级上•上海・专题练习）在平面直角坐标系尤2y中，反比例函数>=勺（左为常数且

尤

人/0）上有一点A（-3,加），且与直线y=-2x+4交于另一点B（%6）.

⑴求％与机的值；

⑵过点A作直线/〃x轴与直线y=-2x+4交于点C,求sin/OC4的值.

【变式2T0]（2024•上海长宁•三模）如图，在直角梯形ABCD中,ABDC,ZDAB=9Q°,

AB=16,CD=10,BC=6y/5

DC

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)连接3D,求/ZJ3C的正切值.

【变式2-11](23-24九年级上.上海.阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知8,A分别是y=-x+4与

无轴，y轴的交点.

(2)在第一问的条件下，求tanNOCB的值；

(3)若O在直线4B上，tan/O£)B=g,求。的坐标.

【考点题型三】已知三角比求边长

【例3】(2023•上海虹口•一模)如图，在Rt^ABC中，已知NC=90。，cosA=-,AC=3,那么的

4

长为()

A.币B.2币c.4D.5

【变式3-1】（23-24九年级上•上海奉贤•期末）在Rt^ASC中，ZC=90°,AC=5,NA=a,那么BC

的长是（）

A.5tanaB.5cotaC.5sincrD.5cosa

【变式3-2］（23-24九年级上•上海•阶段练习）已知平面直角坐标系中点A（3,4）和3（0,。），满足

tanZABO=-（。为原点），那么。的值为.

2

【变式3-3］（23-24九年级下•上海宝山•期中）如图，菱形A2C。的边长为5,CosB=->E是边CD上

5

一点（不与点C、。重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点。落在菱形一条边的延长线上，那么”的

【变式3-4】（23-24九年级上•上海静安•期末）如图，Rt^ABC中，NACB=90。，BC=a,cosB=l.

4

点。、E分别在边AB、BC上，ZCDE=ZEDB=ZB,那么AD的长为.（用含。的代数式表

示）

【变式3-5］（23-24九年级上•上海浦东新•阶段练习）如图，已知VABC是等边三角形，AB=4,D是

AC边上一动点（不与A、C点重合），族垂直平分B。，分别交AB、BC于点E、F,设8=无，AE=y.

A

D

(1)求证：AAED^ACDF；

(2)求V关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)过点。作垂足为点当切=1时，求线段CD的长.

【考点题型四】特殊角三角比混合运算

【例4】(22-23九年级上•上海青浦•期中)计算：tan60°+(V3-l)°出+小

22

【变式4-1](23-24九年级上•上海闵行•期中)计算:2sin30°+cos45°-(tan30。厂+^(1-cot300)

tan45°

【变式4-2](2024九年级下•上海•专题练习)计算:2cos60°-|l-cot30°|H-------------------

sin600-1

c“otan45°

【变式4-3](21-22九年级上•上海青浦・期中)计算:3cot600-----------------------

cot30°-cot45°

-1

2（兀）°-

【变式4-4］（23-24九年级上•上海•阶段练习）计算:-2sin45°+2-

2—A/2I

【变式4-5］（23-24九年级上•上海•阶段练习）计算：tan30xcos245+sin60xsin30xcot30.

【考点题型五】根据特殊角三角比求角度

【例5】.（2024九年级上•上海•专题练习）已知a为锐角，cos（a-20°）=^,则a等于（）

A.30°B.50°C.60°D.80°

【变式5-1］（22-23九年级上•上海松江•期中）在VABC中，2A与—3是锐角，且tanA=走，

3

cosB=，那么Z.C=度.

2

【变式5-2］（23-24九年级上.上海浦东新•期中）如果锐角1的正切值为走，那么锐角。为度

3

【变式5-3］（22-23九年级上•上海浦东新•阶段练习）已知a为锐角，tana=2cos60。，那么&=

度.

【变式5-4］（22-23九年级•上海•假期作业）求满足下列条件的锐角a：

（1）coscc-=0；（2）—y/3tana+'S/3=0.

【变式5-5］（22-23九年级上•上海青浦•阶段练习）如图，已知NBAC=N3£>C=90。,

SEBC=16,SA°E=8,问：-3EC的大小确定吗？若确定，求其度数；若不确定，请说明理由

D

【考点题型六】根据特殊角三角比求角度

【例6】（23-24九年级上•上海•阶段练习）如图，在Rt^ABC中，NCAB=90。,A3=AC,点。为斜边2C

上一点，且8D=3CD,将△AB。沿直线AO翻折，点8的对应点为"，贝Usin/CBZ>=.

【变式6-1］（21-22九年级上.上海闵行•期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水

平地面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙

3

面靠近，使梯子与地面所成角为夕，且sina=cos尸=彳，则梯子顶端上升了一米.

【变式6-2］（2023•上海普陀•三模）如图，已知VABC是等边三角形，点2、C、D、£在同一直线上，且

CG=CD,DF=DE,贝|tanE=

G

【变式6-3］（21-22九年级上.上海长宁・期末）如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连.

已知直线AB与直线BC的夹角是76.在地面点D处测得点A的仰角是53,点B仰角是45,

点A与点。之间的距离为3.5米.

求：（1）点A到地面的距离；

（2）AB的长度.（精确到0.1米）

（参考数据：sin53®0.8,cos53®0.6,sin76®0.97,cos76®0.24）

【变式6-4］（21-22九年级上.上海虹口•期末）如图，在梯形ABCD中，ZABC=90°,AD//BC,

BC=2AD,对角线AC与交于点E.点歹是线段EC上一点，^.ZBDF=ZBAC.

D

⑴求证：EB?=EF•EC;

2

(2)如果3C=6,sinZBAC=-,求PC的长.

【变式6-5］（21-22九年级上•上海闵行•期中）如图，已知点E分别在VABC中的边54、G4的延长

线上，且DE〃BC.

(1)如果AD=3,BD=9,DE=4,求BC的长;

（2）如果与=3，AD=4,sinB=—,过点D作B尸，BC,垂足为点尸，求的长.

CE55

【变式6-6］（21-22九年级上.上海嘉定•期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直,

AR&

就=1，四边形A3CO的周长是16,点E是在AD延长线上的一点，点b是在射线A3上的一点,

ZCED=ZCDF.

E