2024-2025学年沪教版八年级数学上册专项复习：直角三角形的性质（含答案）

第29讲直角三角形的性质（七大题型）

01学习目标

学习目标

1、知道直角三角形中两锐角互余；2、学会直角三角形中30。角的性质及推论;

3、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半.

02思维导图

L一

1

2■急三焦影上的-学

3t三/SWmftM论

■SMU三a中你。

・SBMKTmmwvvwiI

SV6

■BTarM

03知识清单

直角三角形的性质

定理1:直角三角形的两个锐角互余.

定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于

30°.

要点：这个定理的前提条件是“在直角三角形中“，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜

边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.

试卷第1页，共18页

【即学即练1】

1.如图，在RtZUBC中，ZABC=90°,ZC=30°,若48=2,则/C=()

【即学即练2】

2.如图，在△ABC中，/ACB=90°,/B=2cm,点。为AB的中点，则8=()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【即学即练3】

3.如图，在RtZ\/CB中，ZACB=90°,CDL/B于点D,ZBCD=3ZACD,E是N8的中

【即学即练4】

4.如图，△48。中，AD是高，E、尸分别是48、NC的中点.若/2=11,AC=10,则四

边形AEDF的周长为.

【即学即练5】

试卷第2页，共18页

5.如图，在△/BC中，AB=AC,40平分/A4C,点E是42的中点，ZBAC=40°,则

ZADE=

「题型精讲

04

题型1:直角三角形的两个锐角互余

【典例11

6.如图，在RtA48C中，NC=90。，乙4=55。，则/8的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【典例2】.

7.直角三角形的一锐角是50。，那么另一锐角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【典例3】.

8.如图，在△ABC中，ZACB=90°,则与乙4互余的角有（）

C.3个D.4个

题型2：Rt▲中30。角所对的直角边等于斜边的一半

试卷第3页，共18页

【典例4】.

9.如图，在△/BC中，ZC=90°,ZS=30°,4B=4.则NC的长度是（）

【典例5】.

10.如图，在反5。中，ZACB=90°,ZA=30°,CD1AB,BD=1.则N3长为（）.

A.3B.4C.5D.6

题型3：Rt▲中30。角所对的直角边等于斜边的一半与三角形其他性质结合

【典例6】.

11.如图，已知乙408=60。，点P在边0/上，OP=8,点、M、N在边08上，PM=PN,

若MN=2,则（W=（）

A.1B.2C.3D.4

【典7】.

12.如图，在△NBC中，ZC=90°,44=15。，点。是NC上一点，连接AD,

ZDBC=60°,BC=2,则/。长是（）

试卷第4页，共18页

B

【典例8】

13.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中斜梁43=/C=8m,且顶角

ZBAC=120°f则高（）

A.16mB.8mC.4m

【典例9】.

14.等腰三角形的顶角为120。，腰长为6,则它底边上的高等于（

【典例101

15.如图，在△4BC中，AB=AC,Z5=30°,AD，AB交BC于点、D,AD=2,则BC的

长是（）

题型4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【典例111

16.如图，公路/C、8c互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得N2的长

为3.6km,则M、C两点间的距离为（）

试卷第5页，共18页

A.1.8kmB.3kmC.1kmD.3.6km

【典例12].

17.已知直角三角形斜边上的高线为2,斜边上的中线长3,则直角三角形的面积为（）

A.5B.6C.7D.8

【典例131.

18.如图，在RtZX/BC中，乙48c=90。，/C=60。，点。为边/C的中点，BD=2,则2C

的长为（）

A.V3B.2#>C.2D.4

【典例141.

19.如图，在△4BC中，N8=/C,/8/C的平分线交8c于点。，E为NC的中点，若/8=10,

则。E的长是（）

A.8B.6C.5D.4

【典例15].

试卷第6页，共18页

20.如图，在△4BC中，44c8=90。，点。为的中点，点E在NC上，^.AE=BE,

连接CD交3E于点尸，若N/=25。，则乙DFE的度数（）

题型5：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形其他性质结合

【典例161

21.如图，△ABC中，N/C2=90。，点E为的中点，点。在上，且AD,CE

相交于点尸，若48=20。，则/DEE等于.

【典例17].

22.如图，在△ABC中，NABC=90。,点。是5C边上的一点，点E是4D的中点，连结

BE.若点。在边/C的垂直平分线上，且DC=6,则BE的长为.

【典例181

23.如图，△NBC中，AB=AC=n,BC=8,AD平分/B4C交BC于点D,点E为AC

的中点，连接DE,则ACDE的周长为.

【典例19].

试卷第7页，共18页

24.如图，在RMABC中，ZACB=90°,/8=40。，点。是的中点，将“CD沿CD对

折，点A落在点4处，4。与8c相交于点E,则NBEA的度数为.

【典20】.

25.如图，在RtZ\/8C中，NZC2=90。，点。为N8的中点，连接C。，过点2作BE,CD

于点、E,点、F为AC上一点,NCDF=NCBA,若8c=1,AB=2,则所的长

为.

题型6：直角三角形的性质综合

【典例21].

26.如图，在RtZk/8C中，44cB=90°,43的垂直平分线QE交8c的延长线于尸，若

/尸=30。，DE=\,则防的长是.

【典例22].

27.如图，等边A/BC中，点P是。延长线上一点，点。是5c上一点，且尸5=尸。.若

CP+CD=10,BD=3,则N8的长为.

试卷第8页，共18页

p

A

【典例231

28.如图，在△/BC中，垂直平分分别交48、BC于点、D、E,NE平分

NBAC/B=3Q°,DE=2,则8c的长为.

【典例241.

29.如图，在ZUBC中，AB=AC,OE垂直平分42.若8£_L/C,AF1BC,垂足分别

为点E,F,连接斯，则/EFC=.

【典例25]

30.如图，在△NBC中，AB=BC,AABC=90°,。在△4BC内部，以C。为直角边作等

腰直角三角形CDE,ZCDE=90°,连接4D,且乙4cD+/G4E=60。，若CD=8,S△皿=36,

则AE=

试卷第9页，共18页

题型7：解答题

【典例26].

31.已知如图，在△48C中，AB=AC,ZB=30°,ADYAC,求证：CD=2BD.

【典例271.

32.如图，CD是的斜边42上的中线，乙4=30。.

⑴求的度数.

⑵若48=10,求ABDC的周长.

【典例281

33.如图，在RtZk/8C中，44c8=90。，CD是斜边43上的中线，过点/作/ELCZ)于

点、F,交CB于点、E.

(1)求证：NCAE=NB；

Q)若NEAB=NDCB,求证：BE=2CE.

【典例291

34.如图，ZUBC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，OGLCE,点G为垂

足.

试卷第10页，共18页

⑴求证：DC=BE；

⑵若N/£C=60。，求/BCE的度数.

【典例301

35.如图，在△NBC中，点。在上，且CD=C8,点E为8。的中点，点尸为ZC的中

点，连接斯交C。于点/，连接

(1)求线段E尸、/C之间的数量关系；

(2)若N8/C=45。，求线段/M、DM、8c之间的数量关系.

【典例31].

36.如图，在四边形/BCD中，NC平分/24D,且/8+/。=180。.

⑴求证：CB=CD；

(2)如图2,其余条件不变，若N4CD=90。,AB=CD,ND=。.

(3)如图3,其余条件不变，若/B4D=120°,判断的数量关系，并说明理由.

强化训练

、单选题

37.在直角三角形中，若斜边上的中线长为6,则斜边长为(

C.12D.无法确定

试卷第11页，共18页

38.在用A/8C中，//。8=90。,//=30。,/8=2,则8c为()

A.4B.2C.1D.不能确定

39.如图，ZX/BC中，为中线，AD1AC,ABAD=30°,AB=3,则NC长()

BDC

A.2.5B.2C.1D.1.5

40.如图，ZL4BC的三个内角比为1：1：2,且30=240,则4C&）是（）

A

A.5°B.10°C.15°D.45°

41.如图，4OP=CBOP=\5。,PCWOA,PDLOA,若PC=4,则PZ）等于（）

/

ODA

A.3B.2.5C.2D.1

42.如图，在△/5C中，ZC=90°,AC-二3,/5=30。，点P是5。边上的动点，则,尸长

不可能是（）

A

CPB

A.5B.4C.6D.7

43.如图，在用A42C中，乙4c3=90。，乙4=65。，CDLAB,垂足为。，E是5c的中点,

连接他，贝吐。EC的度数是（）

试卷第12页，共18页

c

A.50°B.40°C.30°D.25°

44.如图，等边三角形/BC中，D、E分别在/8,/C边上，且交于p点,

则图中60度的角共有()

A

BC

A.6个B.5个C.4个D.3个

45.在四边形48。中，448c=4DC=90。，点E为对角线NC的中点，N8C/=43。,

ZACD=25°,连接8。，BE,DE,贝！JZBZ)E=()

A.25°B.22°C.30°D.32°

46.如图，在等边△4BC中，D,E分别是2C,/C边上的点，且4&=CD,与BE相交

于点尸，。尸垂直于BE.则/尸：8尸=()

试卷第13页，共18页

E

C.1:3D.1:4

二、填空题

47.在RtZX/BC中，ZC=90°,NB=60°,AB=12,贝l]3C=.

48.如图，在放A45c中，ZC=9O°,BD平分UBC,AD=4,CD=2,那么41=度.

49.在4IBC中，乙4cB=90°,CA=CB,4D是448C中NCX8的平分线，点E在直线48上,

如果DE=2CD,那么Z^DE=.

50.如图，在△/8C中，ZACB=90°,=30°,CE=2,边的垂直平分线交于点。,

交/C于点E,那么/E的长为.

51.如图，在△4BC中，点。在边8c上，AB=AD,点、E,点尸分别是/C,8。的中点,

跖=3.5,则/C的长为.

试卷第14页，共18页

A

52.如图，在△4BC中，/ABC=90°,点。是5c边上的一点，点£是/。的中点，连结

BE.若点。在边/C的垂直平分线上，且DC=6,则BE的长为.

53.在A48c中，N3=15。，448C的面积为3,过点N作/。1/8交边3c边于点D.设

BC=x,BD=y.那么y与x之间的函数解析式.（不写函数定义域）.

54.如图，在等腰RSABC中，NACB=90。,4C=BC,点、M,N分别是边/及8。上的动点，

△2九W与△B'MN关于直线对称，点2的对称点为夕.当/8MS'=30。且CN=AW时,

若CMBC=2,则AAMC的面积为.

C

三、解答题

55.房梁的一部分如图所示，其中8。，/。,//=30。,/8=7.4111,点。是/2的中点，且

DE1AC,垂足为E,求的长.

试卷第15页，共18页

B

56.如图,在等边三角形ABC中，点。、E分别在边BC、AC上，DE〃AB,过点E作EF上DE,

交的延长线于点?

（1）求N尸的度数；

⑵若CD=2.5,求。尸的长.

57.如图，在A45C中,AB=AC,乙8=30。.

（1）在8c边上求作一点N,使得NN=3N；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：CN=2BN.

58.已知：如图，在△ZBC中，AB=CB,4840=45。，高4）与高BE相交于点尸，G为BF

的中点.

(1)DG=DE；

试卷第16页，共18页

⑵NDEG=/DEC.

59.己知：如图，在四边形/BCD中，ABAD=ZBCD=90°,4c平分/BAD,点、E是BD

中点，AF1BD,垂足为点尸.求证：

(\)AABF=ADAF；

(2)CB=CD.

60.如图，△4BC和△NDE中，AB=AD,NB=ND,BC=DE.边/。与边BC交于点尸

(不与点8,C重合),点、B,E在4D异侧.

(1)若/8=30。，ZAPC=70°,求/C4E的度数；

(2)当N8=30。，AB1AC,/8=6时，设/尸=x,请用含x的式子表示PD,并写出尸。的

最大值.

61.在△4BC中，ZACB=60°,点。在48边上，连接CO,ZADC=1ABCD+AACD.

图1图2图3

(1)如图1,求证：△ABC为等边三角形；

试卷第17页，共18页

(2)如图2,点£在/C边上，连接BE交CD于尸，若4E=BD,求/CEE的度数；

⑶如图3,在(2)的条件下，点尸是BE中点，点G在以延长线上，连接CG,且

/ACG=/BCD,过点C作S上帅于点“，若CG=16,DF+EH=3,求线段&尸的

长.

试卷第18页，共18页

1.D

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个

角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

根据含30度角的直角三角形性质得出AB=^AC,代入求解即可.

【详解】VZABC=90°,ZC=30°,AB=2,

AB=-AC=2

2

，/C=4

故选D.

2.A

【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半是解题的关键.

【详解】解：•••N/C8=90。，点。为AB的中点，

：.CD^-AB=\cm,

2

故选A.

3.45。##45度

3

【分析】先由/BCD=3ZACD得出/BCD=—x90°=67.5,再根据直角三角形两锐角互余求

1+3

出N2的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CE=8E,算出NECS,最后结

合三角形的外角性质作答即可.本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，直

角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质.

【详解】解：,.•/2。=3乙4。，^ACB=90°,

3

ZBCD=——x90°=67.5°,

1+3

CD1AB,

在R3CD中，ZB=90°-ZBCD=90°-67.5°=22.5°,

・・•£是48的中点，

：.CE=BE,NECB=NB=22.5°

/AEC=NECB+ZB=45°

故答案为：45°

4.21

答案第1页，共40页

【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线

等于斜边的一半是解题的关键.

根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE.DF,根据线段中点的概念分别求出AE、

AF,进而求出四边形/即尸的周长.

【详解】解：40是△48。的高，

ZADB=ZADC=90°,

«E、尸分别是NC的中点，

.­.DE=-AB=—,DF=-AC=5,AE=-AB=—,AF=-AC=5,

222222

•••四边形/EOF的周长尸+4F=21,

故答案为：21.

5.20

【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，

根据角平分线的概念得到NE4D=；/A4C=20。,然后利用等腰三角形三线合一性质得到

AD1BC,然后利用直角三角形斜边中线的性质得到===进而求解即

可.

【详解】AD平分ZBAC,ZBAC=40°

.­.ZEAD=-ZBAC=20°

2

•；AB=AC,AD平分/BAC,

AD1BC

•••点E是48的中点，

.-.AE=BE=DE=-AB

2

：.NEAD=NEDA=20°.

故答案为：20.

6.B

【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可.

【详解】解:VZC=90°,

:.ZA+ZB=90°,

4=55°,

答案第2页，共40页

:.ZB=35°.

故选：B.

【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键.

7.A

【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解.

【详解】解：••・直角三角形的一锐角是50。，

另一锐角是90。-50。=40。.

故选A.

【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键.

8.B

【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与乙4互余的角.

【详解】解：•••乙4c8=90。，。是N8边上的高线，

山+4=90。，AA+^ACD=90°,

•••与、互余的角有2个，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余.

9.D

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：,•・在△4BC中，ZC=90°,48=30。，AB=4.

.-.AC=-AB=2.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握直角三角形中30度所对的直角边

等于斜边的一半是解题的关键.

10.B

【分析】先利用两个直角等量代换得出48。=44,再利用30。角所对的直角边是斜边的

一半求出8C的长度，然后则的长度可求.

【详解】解：■:CDLAB,

ZADC=ZBDC=90°,

+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°,

答案第3页，共40页

:.ZBCD=ZA=30°,

■■■BD=1,

BC=2BD=2

AB=2BC=4.

故选：B.

【点睛】本题主要考查含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握30。角所对的直角

边是斜边的一半是解题的关键.

11.C

【分析】作于。，根据30。角所对直角边是斜边一半的性质可得的长，根据等

腰三角形三线合一的性质求出,即可得出OM的长.

【详解】解：如图，过P作血W,交MN于点、D,

在RMOPD中，AAOB=60°,OP=8,

；.NAPD=30°,

.­.OD=-OP=-x8=4,

22

•••PM=PN,PD1MN,MN=2,

.-.MD=ND=-MN=-x2=1,

22

：.OM=OD-MD=4-\^3,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了含30。角的直角三角形性质、等腰三角形的“三线合一”性质，解题

的关键是过点尸作尸。，肱V.

12.A

【分析】由直角三角形两锐角互余可得=30。，然后根据三角形外角的性质求得

NABD=15°,从而得到乙4,最后根据等角对等边可得4D=AD即可解答.

答案第4页，共40页

【详解】解：・・・/Q5C=60。，ZC=90°,

Z5DC=90°-60°=30°,

：.BD=2BC=4,

ZBDC=ZA+ZABD,ZA=15°

・•・/力皿=15。，

ABD=/A,

*，•AD=BD=4.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的

性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键.

13.C

【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质.

根据等腰三角形的顶角NBAC=120°可求得底角N3=NC=30°,因此在RtA/BD中,

AD=^AB,即可解答.

［详解］AB=AC,ABAC=120°,

；.NB=NC=30°

,■AD是高,

AADB=90°,

...AD=gAB=gx8=4(m).

故选：C

14.A

【分析】过点/作/DL8C,垂足为D,利用等腰三角形的性质可得/5=NC=30。，然

后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答.

【详解】解：如图：过点/作ADL8C,垂足为D,

答案第5页，共40页

.­.ZS=ZC=1(180°-Z8/C)=30。，

•••AD1BC,

ZADC=90°,

.-.AD^-AC^3,

2

・••底边上的高为3,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三

角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.

15.C

【分析】先根据,求出NC的度数，再根据刈_L力。，求出5。的长，从而得出NADB

的度数，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出。C的长，即可得出答案.

【详解】解：•・・/5=4C,

Z5=ZC=30°,

•・•AB1AD,

BD=2AD=2x2=4,

•・•ZB+ZADB=90°,

ZADB=60°,

•・•ZADB=ADAC+ZC=60°,

.•・ADAC=30°,

/DAC=/C,

.・.DC=AD=29

・•.BC=BD+DC=4+2=6.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30。角的直角三角形的性质;

熟练掌握等腰三角形的性质，求出5。和CD的长度是解决问题的关键.

16.A

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=代入求出即可.

【详解】W：■■-ACVBC,

.-.ZACB=90°,即△NC8是直角三角形，为斜边，

答案第6页，共40页

为48的中点，

­.CM=-AB,

2

vAB=3.6km,

CM=—AB=1.8km,

2

故选：A.

【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出

CM=^ABAB是解题的关键.

17.B

【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面

积公式即可求解.

【详解】•••直角三角形斜边的中线为3,

•・•直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，

•••该直角三角形的斜边长为3x2=6,

•・・直角三角形斜边上的高线为2,

•••直角三角形面积为：6X2X1=6,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的知识，掌握直角三角

形中斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键.

18.C

【分析】根据三角形内角和定理可得乙4=30。，由直角三角形斜边上的中线的性质得出

AC=2BD=4,再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：■■-^ABC=90°,ZC=6O°,

山=30°,

•.•点。为边NC的中点，BD=2

.-.AC=2BD=4,

：.BC=—AC=2,

2

故选：C.

【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直

答案第7页，共40页

角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

19.C

【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可.

[Wl■■-AB=AC=10,平分Z2/C,

AD1BC,

.-.ZADC=9Q°,

为NC的中点，

.-.DE=-AC=5,

2

故选C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线.熟练掌握等腰三角形三线

合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

20.C

【分析】由直角三角形的性质可得，即可求解NNC£>=25。，根据等腰三角形的性

质及三角形外角的性质可求得NBEC=50。，再利用三角形外角的性质可求解.

【详解】解：,㈤为月8的中点，ZACB=90°,

CD=AD,

ZACD=ZA=25°,

AE=BE,

・•.ZABE=ZA=25°,

・•.NBEC=ZA+/ABE=50°,

・•.ZDFE=ZACD+ZBEC=25°+50°=75°,

故选：c.

【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质,

求解乙4C。，/3EC的度数是解题的关键.

21.60°##60度

【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性

质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三

角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

根据直角三角形斜边中线的性质可得==进而可得N£CB=/B=20。，再根据

答案第8页，共40页

三角形外角的定义和性质即可求解.

【详解】解：UBC中，N/CB=90。，点E为的中点，

CE=-AB=BE,

2

NECB=ZB=20°,

AD=BD,

ABAD=/B=20°,

/./ADC=/BAD+/B=40°,

ZDFE=ZADC+/ECB=40°+20°=60°,

故答案为：60°.

22.3

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分

线的性质得=CD=6,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案・

【详解】•••点。在/C的垂直平分线上，

AD=CD=6,

•・・/ZBC=90。，点E是4D的中点,

：.BE=-AD=3-

2

故答案为：3.

23.16

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质.由题意易得

CD=BD=4,DE=CE=6,进而问题可求解.

【详解】解：•••/8=/C=12,4D平分/3/C,

：.BD=CD,AD1BC,

v5C=8,

CD=BD=4,

,:点、E为AC的中点，

.-.DE=CE=-AC=6,

2

的周长为CD+CE+DE=16；

故答案为：16.

24.120°##120度

答案第9页，共40页

【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及三角形的内角和定理的应用，解题的关键

是掌握折叠的性质.

由//C8=90。，Z5=40°,得44=50。，根据。是斜边的中点，得//CD=乙4=50。，

可得/40。=180。-//0-乙4=80。，而将A/CO沿对折，使点A落在点4处，有

ACDA!=ZADC=60°,即知N8DE=18(T-NCZ)H-N/DC=20。，从而可得答案.

【详解】解：,.•//C8=90。，ZB=40°,

N4=50°,

•.•。是斜边48的中点，

:.CD=-AB=AD,

2

:.ZACD=ZA=50°,

ZADC=1SO°-ZACD-ZA=80°,

・•・将A4CD沿CD对折，使点A落在点H处，

ZCDA'=ZADC=80°,

ZBDE=1800-ZCDA'-ZADC=20°,

ABED=1800-NBDE-NB=180°-20°-40°=120°,

故答案为：120。.

25.-##0.5

2

【分析】先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD==1,又由5c=1可

得△3。为等边三角形，进而可得则可得ZDC尸=30。.由

BELCD,根据“等腰三角形三线合一”可得=30。，DE=；.又由

NCDF=NCBA=ABDC=60。可得ACDFABDE,进而可得DF=DE,则可得NEDF是等

边三角形，由此可得所的长.

【详解】解：在RtA4BC中，N/C8=90。，点。为的中点，，AB=2,

：.CD=BD=AD=-AB=\,

2

又=

.•.△8C。为等边三角形，

/BCD=ZCBD=ZBDC=60°,

ZDCF=ZACB-ZBCD=90°-60°=30°,

答案第10页，共40页

・.・BELCD,

ADBE=-ZCBD=30°,且。£=

222

?.ZDCF=ZDBE,

XvZCDF=ZCBA,ZCBA=ZBDC=60°,

/CDF=ZBDE=60°,

在和ABDE中,

ZDCF=ZDBE

<DC=DB,

/CDF=NBDE

:.ACDF^^BDE(ASA),

:.DF=DE=~,

2

:.^EDF是等边三角形，

EF=DE=-.

2

故答案为：—.

2

【点睛】本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，等边三角形的

判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

26.2

【分析】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性

质和直角三角形30。角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.

连接BE,根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明=进一步说明

BE=EF,然后再根据直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半即可.

【详解】解：如图：连接BE

■■■AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,

•••AE=BE,NABE=ZA,NA+NAED=9Q°,

•.•在Rt^4BC中，ZACB=90°,

答案第11页，共40页

・•.ZECF=90°

・•.ZF+ZC^F=90°,

•：/AED=/FEC,

=/方=30。，

：./ABE=/A=3。。,ZABC=90°-ZA=60°,

・•・ZCBE=ZABC-/ABE=30°,

・•・/CBE=/F,

•••BE=EF,

在RtaBEZ)中，BE=2DE=2x\=2,

:.EF=2.

故答案为2

16

27.—

3

【分析】本题主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的性质

等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.由必=尸。可过尸作垂直，利用三线合一求出

133

DM=-BD=-,再设CZ)=x,则CP=10—x,CM=x+~,最后在Rt△尸CM中，利用30

222

度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出X,进而求出8C,即可得解.

【详解】解：过尸作PM」3c于点"，

P

3

设CD=x,贝(JCM=CQ+QM=X+5,

vCP+CZ)=10,

：.CP=10-x,

•・•△45C是等边三角形，

ZC=60°,AB=BC,

答案第12页，共40页

•・・PMIBC,

/PMC=90°,

ZMPC=30°,

131

：.CM=-CP,BPx+|=-(10-x),

7

解得无=H，

71

:.BC=BD+CD=3+-=—,

33

.•"=竺.

3

故答案为：—.

28.6

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30。的直角三角形的性质，

先线段垂直平分线的性质得出/£=利用等边对等角得出/以£=/8=30。，利用角平

分线的定义得出/A4c=2/民4£=60。，利用三角形内角和定理求出NC=90。，利用角平分

线的性质得出CE=OE=2,利用含30。的直角三角形的性质求出8£=2。£=4,进而即可

求解.

【详解】解：--DE垂直平分AB,

•t•AE=BE,

ZBAE=ZB=30°,

•・•/£平分/8/C,

ABAC=2/BAE=60°,

ZC=180°-ZS-ABAC=90°,

CE=DE=2,

•；NBDE=90°,NB=30°,

■■■BE=2DE=4

:.BC=BE+CE=6,

故答案为：6.

29.45°##45度

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明,

直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键.根据题意可证

答案第13页，共40页

是等腰直角三角形，NB4c=45。，根据等腰三角形三线合一可得/C/尸=22.5。，根据同角

的余角相等可得/CB£=22.5。，根据直角三角形斜边中线性质可证△5FE是等腰三角形，

进而求出其外角ZEFC的度数.

【详解】解：,・・。内垂直平分BEVAC,

BE=AE,是等腰直角三角形，

・•・/BAE=/ABE=45°.

vAB=AC,AFIBC,

・・./C/尸=22.5。，BF=CF,

•・•在直角MFC和直角XBEC中,ZCAF和/CBE都和NC互余，

；・NCBE=NCAF=225。,

■：BF=CF=-BC,

2

二点尸是BC中点，斯是直角aBEC的中线，

.-.EF=-BC,

2

BF=EF,

:"BEF=NCBE=22.5°,

ZEFC=ZCBE+ZBEF=22.5°+22.5°=45°.

故答案为：45°.

30.18

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，由三

角形内角和定理求出乙=30。，再由直角三角形的性质得出===最

后再由三角形面积公式计算即可得出答案.

【详解】解：如图，作ZWLZE于"，

ZCDE=90°,

ZDCE+ZDEC=90°,

答案第14页，共40页

・•.NCAE+ZACD+ZAED=90°,

-ZCAE+ZACD=60°,

："DEH=30。,

：.DH=-DE=-DC=4,

22

•••SADF=36=4AEx4,

AAUE2

AE=18,

故答案为：18.

31.证明见解析

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角

三角形的小侄子，先根据等边对等角得到/C=/8=30。，则由三角形内角和定理得到

ZBAC=120°f由垂直的定义得到4UC=90。，则

CD=2AD,ABAD=ABAC-ADAC=30°,进一步证明Z5=Z&4Z）,得到5。=/。，则

CD=2BD.

【详解】证明：•・・在A/BC中，AB=AC,NB=30。,

・・.NC=NB=3。。,

・•・ABAC=180°-ZJ9-ZC=120°,

•・•ADIAC,

：.ZDAC=90°,

:.CD=2AD,ZBAD=ABAC-ADAC=30°,

；.ZB=ZBAD,

•••BD=AD,

.'.CD=2BD.

32.（1）4=60。

⑵ABDC的周长为15

【分析】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，

（1）根据直角三角形两锐角互余求解即可；

（2）首先根据直角三角形的性质得到CD=O8=g/8=5,然后证明出A3DC是等边三角

形，进而求解即可.

【详解】（1）解：•.•"=90。,4=30°,

答案第15页，共40页

Z.B=60°.

(2)解：・・・。。是的斜边边上的中线，且48=10,

：.CD=DB=-AB=5,

2

■：ZB=60°,

.•.△8DC是等边三角形，

.•.△8Z)C的周长为15.

33.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据/E_LCD,得出/C4E+//C尸=90。，根据//CF+NDC8=90。，推出

NCAE=ZDCB,根据CD是斜边上的中线，得出CO=AD=,进而得出ZB=ZDCB,

即可等量代换求证；

(2)由(1)可得：ZCAE=ZDCB=ZB,则NC4E=NDCB=NB=NE4B,得出则/£平

分/BAC,推出/C=/D,进而得出A/CD为等边三角形，则NC4E=；NCNQ=30。，得

出4E=2CE,根据等角对等边得出=即可求证.

【详解】(1)证明：•・•/£，CD,

.-.ZCAE+ZACF=90°,

NACB=90°,

ZACF+ZDCB^90°,

ZCAE=ZDCB,

・・・。是斜边上的中线，

■,CD=BD=-AB,

2

■.ZB=ZDCB,

.-.ZCAE=ZB；

(2)解：由(1)可得：ZCAE=ZDCB=ZB,

ZEAB=ZDCB,

ZCAE=ZDCB=NB=/EAB,则AE平分/2/C,

•••AEVCD,

：.AC=AD,

答案第16页，共40页

・・・C。是斜边45上的中线，

:,CD=AD,

・・・△/CD为等边三角形，贝IJ/C4D=6