2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）（学生版+解析）

专题03平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：求二面角......................................2

题型二：已知二面角求参数..............................4

题型三：求二面角最值（范围）..........................7

三、专项训练.............................................9

一、必备秘籍

1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点尸，在二面角的两个半平面内分别作

棱的垂线上4、PB,则44PB称为二面角的平面角.

2,二面角的范围：［0,乃］

3、向量法求二面角平面角

（1）如图①，AB,CD是二面角。-/-尸的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角

的大小©=<AB,CD>.

（2）如图②③，后分别是二面角。-/-尸的两个半平面％夕的法向量，则二面角的

大小6满足：

cos<%,%>=3'2；cos^=±cos</i1,n,>（特别说明，有些题目会提醒求锐二面

1«|II%I

角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）

二、典型题型

题型一：求二面角

1.（2024•河北沧州•一模）已知正四棱柱A3CD-A耳的底面边长与侧棱长之比为1:3,

则平面与平面ABG夹角的余弦值为.

2.（2024高三•全国•专题练习）已知正三棱柱A8CA/8/G的棱长均为°,。是侧棱C。的

中点，则平面ABC与平面ABiD的夹角的余弦值为.

3.（2024高三•全国•专题练习）在四棱锥。-ABC。中，底面A3CD是正方形，若

AD=2QD=QA=亚,QC=3,则二面角B-QD-A的平面角的余弦值为.

Q

4.（2024,湖北黄石•三模）如图，在三棱锥P-ABC中，A，耳，Q分别是侧棱上4,PB,

PC的中点，AB1BC,4。，平面24cle.

（I）求证：平面44C，平面A4G；

（2汝口果4。=与。，AB=BC=4,求二面角4-5耳-C的余弦值.

5.（23-24高二下•湖北•期中）如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，底面侧面ACGA，

AC=M=2,BC=1,ZACB=90°.

LB

⑴证明：A.CIAB,；

⑵若三棱锥a-ABC的体积为手，N4AC为锐角，求平面44G与平面AGC的夹角.

6.（2024•广东深圳•二模）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BBgC1底面ABC,且AS=AC,

4B=AC.

⑴证明：AA，平面ABC；

（2）若⑨=届=2,NR4c=90。，求平面ABC与平面ABG夹角的余弦值.

题型二：已知二面角求参数

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）如图，在多面体ABC。阱中，四边形ABCD为菱形，四

边形BDEF为矩形，且£7〃DC,NBAD=60°,BD=2ED=2,M是线段EF上的一个动点，

且EM=XEE

（1）试探究当彳为何值时，DMU平面并给出证明；

⑵若平面曲与平面双无F夹角的余弦值为?,求2的直

2.（2024・全国•模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为矩形，点E为PC的中点,

且BE_LAC,PD=AD,AB=0Ao.

⑴求证：PD_LAC.

⑵若尸DLDC,点产为棱PB上一点，平面位＞/与平面比）E所成锐二面角的余弦值为孚,

求三7的值.

3.(2024•全国•模拟预测)如图所示，内接于圆O,A8为圆。的直径，AB=W,BC=6,

CD=8,且CD,平面ABC,E为AO的中点.

(1)求证：平面3CE_L平面ABD；

⑵在线段AB上是否存在一点尸，使得平面CEF与平面8CE所成的夹角的余弦值为正,

3

若存在，请指出点厂的位置；若不存在，请说明理由.

4.(23-24高三下•湖南长沙•阶段练习)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形A3CD是矩形，

△&W是正三角形，且平面平面A3C。，AB=1,P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD

的体积为半

(1)若E为棱S3的中点，求证：PE〃平面SCD；

⑵在棱上是否存在点使得平面与平面&山所成夹角的余弦值为孚？若存在,

求出线段AM的长度；若不存在，请说明理由.

JT

5.（23-24高二下,江苏南京,期中）在三棱柱ABC-A,与G中，已知ZBAC=,

AC=2AB=2,CQ=BC,CQ1AB,/是BC的中点.

⑴求证：BiM1AC；

⑵在棱A4上是否存在点P,使得二面角尸-BC-A的正弦值为。？若存在，求线段AP的

长度；若不存在，请说明理由.

6.(23-24高三下•河南信阳•阶段练习)如图，在三棱柱ABC-AB|G中，AB=AB],

BC=B、C=e,BB\=2,ACJ_平面88c.

⑴求证：平面ABC垂直平面ABC；

(2)若二面角A-BB.-Q的大小为60。，求BBI与平面AB©所成的角的正弦值.

题型三：求二面角最值（范围）

1.（23-24高二上•湖北武汉•阶段练习）如图，在三棱柱ABC-4AG中，底面是边长为2

的等边三角形，CQ=2,D,E分别是线段AC,CG的中点，G在平面ABC内的射影为。.

若点P为线段4G上的动点（不包括端点），锐二面角尸—9-E余弦值的取值范围为.

2.（19-20高二•全国•课后作业）如图所示，在正方体A3CO-A与GA中，点尸是棱A3上

的动点（P点可以运动到端点A和5）,设在运动过程中，平面P。片与平面A。，A所成的

最小角为or,贝l]cosa=.

3.（19-20高二上•浙江绍兴•期末）如图，正三棱柱ABC-A4G中，各棱长均等于2,M

为线段8月上的动点，则平面A3c与平面AMG所成的锐二面角余弦值的最大值

为.

4.（2024•重庆・模拟预测）如图，ACOE为菱形，AC=BC=2,NAC8=120。，平面ACDEL

平面ABC,点尸在AB上，且AF=2FB,M,N分别在直线CD,AB上.

(1)求证：CFmACDE；

(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若/E4c=60。,

MN为直线CD,A8的公垂线，求好的值；

AF

⑶记直线8E与平面A8C所成角为。，若tanc＞叵，求平面BCD与平面CED所成角余

7

弦值的范围.

5.(23-24高二上•湖北•期末)如图，四边形ABCD为矩形，AACD2AACE,且二面角

C—A5—E为直二面角.

E

(1)求证：平面ACE_L平面BCE；

(2)设P是物的中点，AE=1,BE=A,二面角E-AC-尸的平面角的大小为。，当Xe[2,3]

时，求cos。的取值范围.

6.(2023•全国•模拟预测)如图，在直三棱柱A5C-4用6中，AB=AC=AAi=lfAB1AC,

AA1垂直于平面A3C.点尸，E,P分别为边AG，44],AC上的动点（不包括顶点），

且满足AE=4尸=4尸.

（1）求三棱锥g-A/E的体积的最大值；

⑵记平面应/与平面BCP所成的锐二面角为。，当。最小时，求cos。的值，并说明点尸所

处的位置.

7.（23-24高二上•重庆九龙坡,期末）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABEE,

C£»E尸为两个全等的等腰梯形，AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3.

⑴当点N为线段AO的中点时，求证：ADLFN；

⑵当点N在线段AD上时（包含端点），求平面8尸N和平面ADE的夹角的余弦值的取值范

围.

三、专项训练

1.（2024高三•全国•专题练习）如图，P0是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,

E是总的中点，若NA8O=/C3O=3（r,PO=3,PA=5,则二面角C—AE—3的正弦值

为_____

2.（2024高三•全国•专题练习）如图，三棱锥A-3CD中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=600，E为BC的中点.若点/满足而=砺，则二面角。—AB—/的正弦

3.（23-24高三下•江苏镇江•开学考试）已知A3是圆锥尸。的底面直径，C是底面圆周上的

一点，PC=AB=2,ACM，则二面角从一P3-C的余弦值为.

4.（2024高二上•江苏•专题练习）在正方体A8CO-A4GA中，点E为2月的中点，则直

线4。与EC所成的角的余弦值为；平面\ED与平面A3CD所成锐二面角的余弦值

为.

5.（23-24高二上•广东汕尾•期末）如图，二面角々-―6的棱上有两个点线段5。与

AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱/,^AB=AC=6,BD=S,CD=6y[5,

6.（23-24高二上•安徽亳州•期末）在正方体43。一ABG2中，设印=4束（0<4<1）,

若二面角B-A.P-B,的平面角的正弦值为画,则实数2的值为.

6

7.（22-23高二上•浙江温州,期中）如图，平行六面体ABCD-aMGR中，底面ABCD和

侧面BCC/S都是矩形，E是C。的中点，DiErCD,AB=2BC=2,且平面8C0B/与平面

。/匹的夹角的余弦值为且，则线段。/£的长度为

3

D\

C,

8.（2023高二上•全国•专题练习）如图，在直三棱柱A2C-4瓦G中，ZACB=90%

2AC=AA,=BC=2,。为A4,上一点.若二面角片-OC-£的大小为60。，则的长

为.

9.（22-23高二下•江苏徐州■期中）三棱锥A—3CD中，AB=BD=DA=2,BC=CD=①,

7T5冗

记二面角A-BD-C的大小为。，当时，直线A3与8所成角的余弦值的取值

OO

范围是.

10.（23-24高三上云南昆明•阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，BCLBA,AB^BC=1,

R4_L平面ABC,PA=2,E,尸分别为棱P8,尸C上的动点，目EFIIBC.

P

⑴证明：平面AEF_L平面

JTPF

（2）若平面与平面ABC所成角为:，求。的值.

4PB

11.（2024•辽宁葫芦岛•一模）如图，S为圆锥顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AB,8是

长度为2的底面圆的两条直径，AB^CD=O,且50=3,尸为母线SB上一点.

D

(1)求证：平面J■平面ADRA；

(2)已知点E在线段G。上(不含端点位置),且平面ABE与平面BCG片的夹角的余弦值为

”、"，求万DE•的值.

5

14.(23-24高二上•江西南昌・期末)已知平行四边形48C。如图甲，ZD=60°,DC=2AD=2,

沿AC将△ADC折起，使点。到达点P位置，且PCL3C,连接PB得三棱锥P-ABC如图

使二面角”-钿-。的余弦值为*'若存在’求出\PM|

(2)在线段PC上是否存在点M,

\PC\

的值；若不存在，请说明理由.

15.(23-24高二上•广东汕尾•期末)在图甲所示的四边形ABCP中，AB//PC,ZABC=90°,

AD//BC,PC=2AB=2,沿AO将ARW进行翻折，使得/PDC=90。，得到如图乙所示

的四棱锥P-AfiCD.四棱锥尸-ABCD的体积为正，”为边3C上的动点（不与端点8,C

3

重合）.

（2）设两=几互，试问：是否存在实数4,使得锐二面角5的余弦值为拽1?若

存在，求出实数彳的值；若不存在，请说明理由.

16.（20-21高三上•山东青岛•期中）在多面体ABCD跖中，平面ABCD为正方形，AB=2,

AE=3,DE=45,二面角E-AD-C的平面角的余弦值为支EFIIBD.

⑴证明：平面ABCD1平面DCE；

（2）若砺=ADB（2>0）,求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围.

专题03平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：求二面角......................................2

题型二：已知二面角求参数..............................4

题型三：求二面角最值（范围）..........................7

三、专项训练.............................................9

一、必备秘籍

1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点尸，在二面角的两个半平面内分别作

棱的垂线？A、则ZAPB称为二面角的平面角.

2、二面角的范围：［0,扪

3、向量法求二面角平面角

（1）如图①，AB，CD是二面角夕-/-分的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角

的大小。=＜丽，丽＞.

大小e满足:

cos（点,>=-3之；cos^=±cos<n?,zT>（特别说明，有些题目会提醒求锐二面

I%II%I~

角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）

二、典型题型

题型一：求二面角

1.（2024•河北沧州•一模）已知正四棱柱A8C。-44GR的底面边长与侧棱长之比为1:3,

则平面DAXB与平面A.BC,夹角的余弦值为.

【答案壮

【分析】建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解.

【详解】如图，以点。为原点，以为MV*轴，建立空间直角坐标系，

正四棱柱的底面边长为。,（。>0）,贝=3a,

所以6（a,a,0）,A（«,0,3tz）,Cx（0,a,3a）,

则A8=（0,a,-3a）,DB=（〃,〃,0）,AQ=（一a,0）,

设平面DA16与平面ABC1的法向量分别为为=a,X,4）,布=（为，，Z2）,

n-A.B-ay.-3azi=0

则｛-,，令芯=3,贝lj而=（3z,-3,-1）,

n-DB=axx+ayx=0

m-AB=ay0—3az0=0

<____,令之2=1,则碗=（3,3,1）,

玩•AG=-ax2+ay2=0

!u„nm3x3-3x3-l1

设向量〃，加的夹角为e,则as"同祠=岳x岳=一历，

所以平面DA.B与平面A8G夹角的余弦值为'.

故答案为：—

19

2.（2024高三•全国•专题练习）已知正三棱柱的棱长均为。，。是侧棱CG的

中点，则平面ABC与平面ABjD的夹角的余弦值为.

【答案】叵

2

【详解】

以A为坐标原点，以面A8C内垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以44/所

因为ABC-4SG是各棱长均等于a的正三棱柱，。是侧棱CG的中点，所以4（0,0,0）,

Bi（3a,崇a）,D（0,a,3），Ci（Q,a,a},故A历=（乎a,a）,就=（0,a,今），DCi

=（0,0,界

设平面A5/O的法向量为n=（x,y,z）,

[nAB\=G

则V_即<

•力=0,

令y=l,则Z=—2,x=S，故n=（S，1,—2）.

又平面ABC的一个法向量为m=（0,0,1）,所以|cos<m,n）|=""=卜上一人二=也,

\m\\n\\;3十1十4x17

所以平面ABC与平面ABiD的夹角的余弦值为啦.

7

【考查意图】

考查向量法求二面角

3.（2024高三•全国•专题练习）在四棱锥。-ABCD中，底面ABQ）是正方形，若

AD=2,QD=QA=^5,QC=3,则二面角B-QD-A的平面角的余弦值为.

Q

【答案】|

【分析】

设点O是线段AD的中点，由Q。=QA得。。1A。，根据已知得CDVQD,进而得到CD1

平面CDLQD,可建如图所示的空间坐标系，利用向量法求解.

【详解】

设点O是线段AD的中点，连接。。，由QD=QA得。0，A。，

由AO=2,QD=6,QC=3得QC?=QD2+CD2,所以CD_LQ£>,

又正方形中CD1AD,8。AD=。QDu平面Q4D,功u平面QA，

故CDl平面QW,又OQu平面04,所以CD，。。，

在平面A8CD内，过O作OT//CD,交BC于T，则。TLAD，

故可建如图所示的空间坐标系.

则。(0,1,0),0(0,0,2),5(2,—1,0),故里=(-2,1,2),丽=(-2,2,0).

n-BQ=0f—2x+y+2z=0

设平面。阳的法向量"x,y,z),则二即.1c,

n-BD=O[-2x+2y=0

取x=l,则y=l,z=g,故万=[1,1,g].

而平面出。的法向量为沅=(1,0,o),故cos(/方)=7=§.

1X一

2

二面角3-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为|.

故答案为：|.

4.（2024•湖北黄石,三模）如图，在三棱锥P-ABC中，A,凡,G分别是侧棱以，PB,

PC的中点，AB1BC,AC,平面

（1）求证：平面A14C_L平面A4G；

（2）如果4。=4。，AB=BC=4,求二面角4-35-c的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

（2）2

17

【分析】（1）易得根据线面垂直的性质证明A。，4G,再根据线面垂直的

判定定理证明4G，平面A4C,再根据面面垂直的判定定理即可得证；

（2）易得CVS?,。吕两两垂直，求出4C，4C,以点。为原点，建立空间直角坐标系，利

用向量法求解即可.

【详解】（1）因为A,G分别是侧棱以，PB,PC的中点，

所以44〃A&BIG〃BC,

因为所以44,8。，

因为AC，平面BB.C.C,4Gu平面BB&C,

所以4。，月孰，

又=A，AC，A©U平面AB£,

所以笈G，平面AB。，

又因为4Gu平面A4C,

所以平面4BC1•平面A4C；

（2）因为AC，平面25clC,3c，5Cu平面

所以4C，BC，ACJ_3C,

因为他=BC=4,所以A4=4G=2,

所以4。=4。=无，

因为笈G，平面A4C,B}CJ/BC,

所以BC1平面A4C,

又用Cu平面AB£,所以BC_LB0,

所以C4,,CB,CBl两两垂直，

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

则3（4,0,0）1（0,0,0），4仅,。,&）,与仅,虚,0）,

故病=（0,也,-0）,朋=（4,0,-0）,

设平面ABB1的法向量为为=（%,y,z）,

则有四，y”=°,可取"（1,2a,2&）,

力・A8=4无一及z=0''

因为AC,平面84GC,

所以G=（0,0,0）即为平面BB£C的一条法向量,

所以二面角4-BB「C的余弦值2叵.

5.（23-24高二下•湖北•期中）如图，在三棱柱ABC-A4G中，底面侧面ACQA,

AC=M=2,BC=1,ZACB^9Q0.

(1)证明：A<^±AB1；

(2)若三棱锥A-ABC的体积为更，NHAC为锐角，求平面ABC与平面8CC的夹角.

3

【答案】⑴证明见解析；

(2)30°.

【分析】(1)先利用面面垂直的性质结合已知证明四边形ACGA为菱形，再由线面垂直的

判定定理证明AC，平面AB£,最后可得结果；

(2)由等体积法和三角形的面积公式可求出/AAC=60。，进而得到，然后以C为原点建立

如图所示坐标系，求出平面gGC的法向量为而=(有,0,1),最后代入空间二面角的向量公

式求出即可.

【详解】(1)•.・平面ABC/平面ACGA,BCu平面ABC,

平面ABCc平面ACGA=AC,ZACB=90°,

平面ACGA,

■「acu平面ACGA,BCLAXC,

•「BC〃Bg,/.BXCX_LAC,

••・AC=M,四边形ACGA为菱形，

AC.±A.C,

•.•4anAG=G,4G，A£u平面ABg,

/.AC_L平面AB]C].

又AB'平面AB£「.AC_LABX,

(2)设/z为点B到平面441c的距离，

由(1)知/z=8C，工工即Sc.=6,

—AC-AAjsin^AtAC=-\/3sin/LA^AC=,

NAAC为锐角*AC=60。，

取AG中点R,则

以C为原点，以04、CB、CA分别为X轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标系.如图所示:

则A（2,0,0）,C,（-1,0,73）,8（0,LO）A。，。，括）而=前=（0,-1,0）,

CC]=9=卜1,0,也），设平面的法向量为身=（x,y,z）,

x=A/3

-x+y/3z=0,

则0取y=0,则沅=（若,0,1）,

-y=0

z=1

由（1）知，式为平面ABC的法向量f=卜1,0,-右），

乐沅，而卜述

1仆1|m||AC2x22

所以，平面AB&与平面4G。的夹角为30°.

6.（2024•广东深圳•二模）如图,三棱柱ABC-44G中，侧面BB&C，底面ABC,且他=AC,

AtB=4c.

（1）证明：平面ABC；

⑵若蝴=BC=2,ZBAC=9Q°,求平面ABC与平面ABJ夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；

（2）叵.

5

【分析】（1）取BC的中点连结MA、M\,根据等腰三角形性质和线面垂直判定定

理得BC1平面4始，进而由AA〃43得48ABC,再证明48,平面ABC即可得证.

（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于A5的垂面，从

而得出二面角的平面角再进行求解即可.

【详解】（1）取BC的中点连结MA、MA,.

因为他=AC,\B=A,C,所以BC1AM,BC±A,M,

由于AM,A]叔u平面AM4,且AA/cAM=M,

因此BC1平面4始，

因为AAu平面型出，所以BC，4A,

又因为AA〃43,所以人BC,

因为平面B4GC，平面ABC,平面BBCCH平面ABC=BC,且48u平面84GC,所以

与2J_平面ABC,

因为AA〃48，所以虫~L平面ABC.

（2）法一：因为NB4C=90。，且8c=2,所以AB=AC=A^.

以AB,AC,AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

zfC人

则A（0,0,2）,网a,0,0）,C（0,V2,0）,q（0,72,2）.

所以质=（60,-2）,AC=（0,72,-2）,而=（o,"o）.

/、mAB=0yf2x.—2z,=0

设平面ABC的法向量为加=（X1，M，4）,贝叶一.,可得IL,

m-A^C=0[J2y]-2zi=0

令4=1,则应=（衣衣1）,

n-AB=0fA/2X—2Z=0

设平面48G的法向量为为=（巧，力,zj,贝"」_，可得广一99

方,AG=o叵y1=0

令4=1,则为=（应,0,1）,

\m-fA

设平面A3C与平面ABG夹角为例则cos6=SJ=

所以平面AtBC与平面夹角的余弦值为正.

5

法二：将直三棱柱ABC-45c补成长方体A5DC-A42G.

连接G。，过点C作垂足为P,再过P作PQ^AB,垂足为。连接CQ,

因为应）1平面CDDG,且CPU平面CDDG,

所以BD1CP,

又因为CP_LCQ，由于2。，CQu平面AB。。，且BOnGD=D,

所以CP,平面ABDQ,贝UACPQ为直角三角形，

由于A8U平面ABZ）G，所以48,CP,

因为CP,PQu平面CP。，且CPnPQ=P，所以A3,平面CP。,

因为CQu平面CP。，所以CQ^AB,

则NCQP为平面与平面A8G的夹角或补角，

在△4石。中，由等面积法可得。。=浮，

因为PQ=AG=^2,所以cosNCQP==@5,

CQ5

因此平面A.BC与平面\BCX夹角的余弦值为正.

5

题型二：已知二面角求参数

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）如图，在多面体MCDEF中，四边形A8CZ）为菱形，四边

形BDEF为矩形,且ED1DC，/区位>=60,,3£>=2£0=2,知是线段郎上的一个动点，且

EM=AEF.

E

⑴试探究当力为何值时，DMII平面AC尸，并给出证明；

⑵若平面ADM与平面BDEF夹角的余弦值为—，求力的值.

7

【答案】（1）2=;,证明见解析

【分析】（1）若DMII平面ACF,根据线面平行的性质可知2=若九=；，由线面平

行的判定定理可知。0II平面ACF,即可得结果；

（2）取AB的中点G,连接。G,可证£D1平面MCD,建系，利用空间向量处理面面夹

角问题.

【详解】（1）当彳=；时，。|人1平面4。孔证明如下：

设Acn〃）=。，则。为BD的中点，连接OF，

若DMu平面ACF,且OMu平面8/）即，平面ACFc平面8。即=0F，

可知。0IIOF,

又因为MFIIDO,可知为平行四边形，

则MF=OD,可知2=工；

2

当九=；时，也为胡的中点，

因为府为E尸的中点，四边形比）即为矩形，所以

又因为MFIIOD,所以四边形。0成为平行四边形，所以。0UOF,

且DM（Z平面ACF,OFu平面4方，

所以。0II平面ACF；

综上所述：当且仅当彳=；时，DWU平面ACF.

（2）因为四边形ABCD为菱形，且一区4。=6。。,3£>=2,

所以为等边三角形，且AB=AD=2.

取48的中点G,连接。G，则QGLDC,

又EDLDC,ED±BD,BDcDC=D,BD,DCu平面ABCD,

所以劭1平面ABCD，

以£＞为坐标原点，方弓反，力2的方向分别为％，%z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系.

则D（0,0,0）,B（A1,0）,C（0,2,0）,E（0,0,1）,尸（）,1,1）,A/,一1,0）,

设M（%，No,z0）,由EM=2EF（0S2S1）可得（%,%,Z（）-1）=X（V3,l,0）,

所以％=2,Zo=1,即

所以次=（石,-1,0）,丽=（石；u,l）.

/、n•DA=y/3x—y=0

设平面ADM的法向量为为=（%，yz）,贝"___,,

n-DM=yJ3Ax+Ay+z=0

令4=1,则y=z=-20丸.可得力=（1,右,一2班几），

由题意可知：衣=卜后3,0）为平面应）£尸的一个法向量，

设平面与平面3D郎的夹角为。，

I—.1\n-AC2后

贝|Jcos0^\cosn,AC\=,,=,—=—,

11同AC"+12万.近7

整理得力=L解得彳=!或力=-工（舍），

422

所以％的值为方.

2.（2024•全国•模拟预测）在四棱锥尸-ABCD中，底面ABGD为矩形，点石为PC的中点,

且3E_LAC,PD=AD,AB=y/2AD.

Pz

E

修---------%

（1）求证：PDLAC.

（2）若PD1DC,点尸为棱依上一点，平面前尸与平面8/用所成锐二面角的余弦值为半，

PF

求诟的直

【答案】⑴证明见解析；

,PF1

（2）----=—.

PB2

【分析】（1）根为OC的中点，有MEIIPD,通过△?!5c〜ABCM证得M81AC,可得AC1

平面M8E，则有AC1ME,可得PQ1AC.

PF

（2）—=以点。为原点建立空间直角坐标系，由平面■与平面BDE所成锐二面角

的余弦值为反，求两个平面的法向量，解出r的值.

5

【详解】（1）取DC的中点根，连接ME,M3,如图（1）.

图⑴

因为点E,M分别为尸C,DC的中点，所以PD//ME.

「位ABBC/r

因为F=7^=，2,ZABC=ZBCM=90,

BCCM

所以△ABC〜△BCM,得NCAB=ZMBC,

所以2048+/朋34=/加8。+/^&4=90',所以MB1AC.

又BELAC,MB,BEu平面胆£,所以AC1平面MB£.

因为MEu平面MBE，所以AC1ME.

又MEIIPD,所以PD1AC.

(2)因为尸D，DC,PD，AC,DCnAC=C,DC,ACu平面480),

所以尸£）1平面ABCD.因为D4u平面ABCD，所以PDlDt

如图（2）,以点。为原点，分别以ZM,DC,。尸所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角

坐标系.

图⑵

令AD=2,则。（0,0,0）,4（2,0,0）,川2,2衣0）,尸（0,0,2）,网0,在1,

所以汉=（2,0,0）,丽=（2,2"0）,诙=（0,应,1）,而=仅,2忘,-2）,加=（0,0,2）.

设竺=入贝°丽=.而=3,2万,-2，，所以访=丽+丽=（27,2万,2-2，.

DE-m=y(2y+z=0,

设平面B/）E的一个法向量为沅=（%，y，z）,则有＜

DBm=2x+2在y=0,

令y=-1,得％=V5,z=V5,则沆=(A/J,—.

DA-fl=2a=0,

设平面ADF的一个法向量为为=（qb,c）,则有＜

DF•n=2ta+2y[2tb+(2—20c=0,

令b=t—1,得〃=0,c=y/2t,则为=仅,，一

因为平面延与平面B/用所成锐二面角的余弦值为半，

fh'h\l-t+2t\岳

|cos（泣砌二

所以利万5

解得V•故胃=;

3.（2024•全国•模拟预测）如图所示，AABC内接于圆O,AB为圆O的直径，AB^IO,BC=6,

CD=8,且CD1平面ABC,石为AQ的中点.

D

(1)求证：平面3CE_L平面ABD；

⑵在线段4B上是否存在一点尸，使得平面CEF与平面BCE所成的夹角的余弦值为赵，若

3

存在，请指出点尸的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

2

⑵存在点尸且=

【分析】(1)由AB是圆O的直径，得到AC/BC，再由CD1平面ABC,得到CD1AC,

CDLBC,然后以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BCE和平面顺的

法向量，由两法向量的数量积为零求解；

⑵假设存在点尸，设诟=2丽=2(-8,6,0),2e[0,l],求得平面。郎的一个法向量为

m=(x,y,z),然后由|85%,词=乎求解.

【详解】(1)解：由题意知：48是圆O的直径，则AC/BC,

因为CD1平面ABC,ACu平面ABC,BCu平面ABC,

所以CD1AC,CDLBC.

以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则4(8,0,0),5(0,6,0),£>(0,0,8),£(4,0,4).

设％=(岑小4)是平面BCE的法向量，

4•CE=4玉+44=0,

匕-CB=6yl=0,

令石=1.则4二一1,故居=(1,0,—1).

AB=（-8,6,0）,AD=（-8,0,8）,

设%=（巧+%+z2）是平面ABD的法向量，

h2•AB=-8X2+6y2=0

n2•AD=-8X2+8Z2=0

令出一3,%-4,22—3,故%=（3,4,3）.

4•电=（）,则平面平面川第.

2

（2）存在点/，且

使得平面CEF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为国，

3

理由如下：

设酢=4丽=2（-8,6,0）,Ae[0,l],

故而=枳+屈=（8-8462,0）,CE=（4,0,4）.

设平面CEF的一个法向量为m=（x,y,z）,

[CE-m=OJ4x+4z=0,

贝1J[而.用=O=j（8—82）x+62y=（T

令x=-3X,则y=4—44,Z=32,

所以加=（一3办4一4432）.

由（1）知％=（1,。,-1）是平面BCE的法向量，

|cos方利=包引=—,_6

''惬同>/2^（-32）2+（4-42）2+（32）23,

2

整理得54?+82—4=0,解得2=5或％=-2（舍去）.

4.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，

△S4D是正三角形，且平面S4D_L平面4BCD,AB=\>尸为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD

（2）在棱&4上是否存在点收，使得平面尸MB与平面SAD所成夹角的余弦值为差？若存在,

求出线段AM的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

4

⑵存在，—

【分析】（1）合理构造图形，利用线线平行证明线面平行即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法处理即可.

【详解】（1）取SC中点尸，连接尸分别为S3,SC的中点，

：.EF\\BC,EF=^BC,

•••底面四边形ABCD是矩形，尸为棱AD的中点，

：.PD//BC,PD=-BC,

2

:.EF〃PD,EF=PD,

故四边形阳D是平行四边形，，PE〃fD，

又：u平面SCO,PEz平面SCD,

:,PE〃平面SCD.

（2）假设在棱&4上存在点也满足题意，如图：连接SP,MP，MB，

在等边ASW中，尸为AD的中点，所以SP1AD，

又平面&⑦，平面ABCD,平面S4DC平面ABC»=AD,SPu平面W）,

.•.SP1平面ABCD,则SP是四棱锥S-筋CD的高，

设池=相加＞0），则/s矩形"8=根，

[12'^^"

二%I棱锥S-ABCD=§S矩形尸=§7"X3"7=三—，所以冽=2，

以点尸为原点，可，会，方的方向分别为％,%z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系，

z,

则尸（0,0,0）,A。,0,0）,8（1,1,0）,S（0,o,6）,

故西=（1,0,0）,方=（1,1,0）,旃=卜1,0,6b

设两=%旃=卜九0,0/1）（04241）,

.•.两=丽+谢=（1-彳,0,后）.

设平面尸MB的一个法向量为%=(羽y,z),

4-PM=（1—Z）x+-\/3Az=0,

所以可取1=(屈，-屈,2-1).

%•PB=x+y-

易知平面出⑦的一个法向量为1=（0,1,0）,

।..I%近2—用_273

COS（%,%）=r一=/==-L—

1\71-22+15

0<A<1,/.A=^,「.AM=|AM|=Jg+0+导=g

4

故存在点M,AM满足题意.

TT

5.（23-24高二下•江苏南京•期中）在三棱柱ABC-A4G中，已知/54C=ZB^C=§,

AC=2AB=2,CC、=BC,CQIAB,M是BC的中点.

B

(1)求证：BXM±AC-

(2)在棱AA上是否存在点P,使得二面角尸-8C-A的正弦值为《？若存在，求线段AP的

长度；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在，步的长度为由.

3

【分析】（1）根据余弦定理得到AB18C和aw，gw,再由线面垂直的判定条件得到AB1

平面BBQC，然后证明，平面ABC,进而证明与MLAC.

（2）建立空间直角坐标系，根据点?在棱上设出市5=2阳，再求出两个半平面的法向

量，根