2024-2025学年北京某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京171中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线x+y-避=。的倾斜角为（）

A.45°B.60°C,120°D.135°

2.已知圆C的方程为%2+y2—2乂—4=0,则该圆的圆心坐标及半径分别是（）

A.（1,0）与5B.（1,0）与在C.（一1,0）与5D.（-1,0）与在

3.圆C1：久2+y2=2与圆。2：（久一2）2+0-2）2=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

4.圆*2+（y+2）2=4与直线3x+4y+2=0相交于4B两点,则线段48的垂直平分线的方程是（）

A.4x+3y+6=0B.3x+4y+8=0C.4x—3y-6=0D.4x—3y+6=0

5.“a=-1"是"直线A：ax+4y-3=0与直线&：x+（a-3）y+2=0”平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10,8,

a,8,7,9,6,8,如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（）

A.8B.9C,8.5D.9.5

7.已知P为椭圆C：:+^=l（a>b>0）上的点，点P到椭圆焦点的距离的最小值为2,最大值为18,则

椭圆的离心率为（）

A34

AB-5c.1D

-54-I

8.如图，在平行六面体ABCD-ZiBiGDi中，AAt=AD=AB=2,

Z.BAD-Z-BAA1—Z-A^AD=泰则=()

A.12

B.8

C.6

D.4

9.设动直线I与OC：（%+I/+俨=5交于48两点若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列

所给的方程中，直线，的方程可以是（）

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A.x+2y=aB.ax+y=2aC.ax+y=2D.x+ay—a

10.曲线C：久3+y3=1.给出下列结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；

③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②C.②③D.③

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.直线0：2x-y+1=0与直线心2x-y-l=0之间的距离为

12.已知空间a=(2,3,1),b=(—4,2,%),且五_L刃,则|1|=.

13.在正方体ABC。-48'C'D'中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为

14.由直线y=x+1上的一点向圆（久一3尸+y2=1引切线，则切线长的最

小值为•

15.如图,正方体力BCD-4/1的。1的棱长为2,点。为底面力BCD的中心，

点P在侧面BBiCiC的边界及其内部运动.若小。1OP,则△DiCiP面积的

最大值为.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题12分）

某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，他们的月收入均在［1000,4000）内.现根据所得数据画出了

该样本的频率分布直方图如下.（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在［1000,1500）

内）

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(1)求某居民月收入在［3000,4000)内的频率；

(2)根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数；

(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，需再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100

人作进一步分析，则应从月收入在［3000,3500)内的居民中抽取多少人？

17.(本小题12分)

如图，在棱长为2的正方体aBCD-A/iCiDi中，E为线段的中点.

(1)求证：BCi〃平面4ED1；

(2)求点占到平面的距离；

(3)直线力①与平面4ED1所成角的正弦值.

18.(本小题12分)

已知圆C的圆心在直线2久-y=0上，且与x轴相切于点(1,0).

⑴求圆C的方程；

(II)若圆C直线/：乂一丫+爪=0交于力，B两点，,求小的值.

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：圆C被直线/分成两段圆弧，其弧长比为2：1；

条件②：|4B|=2*；

条件③：AACB=90°.

19.(本小题12分)

已知％、?2分别是椭圆C：奈+居=l(a>6>0)的左、右焦点，&(2,0)，点P在椭圆。上且满足|P%

|+|PF2|=2A/6.

①求椭圆C的方程；

(II)斜率为1的直线I与椭圆c相交于a,B两点,若AAOB的面积为避，求直线1的方程.

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20.(本小题12分)

如图，四棱锥P-4BCD中，AD1平面4BP,BC//AD,/.PAB=90°,PA=AB=2,AD=3,BC=m,

E是PB的中点.

(1)证明：AE1平面PBC；

(2)若二面角C—2E—D的余弦值是孝，求m的值；

(3)若zn=2,在线段AD上是否存在一点F,使得PF，CE,若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理

由.

21.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，。为坐标原点.对任意的点P®y),定义|OP|=|%|+加任取点4(巧,%),B(x2,y2

),记4(久1必)，B'(x2,y^,若此时|。4|2+|。切22|。*2+|0即2成立,则称点a,B相关.

①分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①2(-2,1),8(3,2)；②C(4,-3),。(2,4).

(II)给定neN*,71N3,点集。n={(Xy)|-n<x<n,-n<y<n,x,yEZ].

①求集合4中与点2(1,1)相关的点的个数；

(讥)若SUOn,且对于任意的4BES,点4B相关，求S中元素个数的最大值.

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参考答案

1.D

2.B

3.0

4.C

5.4

6.C

7.B

8.B

9.D

10.C

11等

12.2述

13.嚅

14."

15.巡

16.解：（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在［3000,4000）内的频率为

（0.0002+0.0003）X500=0.25.

（2）由频率分布直方图可知，0.0001x500=0.05,0.0004x500=0.20,0.0005x500=0.25,

从而有0.0001X500+0.0004X500+0.0005X500=0.5,

所以可以估计居民的月收入的中位数为2500元.

居民月收入在［3000,4000）内的频率为

（3）由频率分布直方图可知，居民月收入在［3000,3500）内的频率为0.0003x500=0.15,

所以这10000人月收入在［3000,3500）内的人数为0.15X10000=1500,再从这10000人中利用分层抽样的

方法抽取100人，

则应从月收入在［3000,3500）内居民中抽取100X=15人.

17.解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCDY/iCiDi中，E为线段的中点，

AB//C\D1,且48

四边形48的。1是平行四边形，BC1//AD1,

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•••BMC平面AEDi，皿＜=平面AEDi，

BCi〃平面4町；

(2)以2为原点，建立空间直角坐标系，如图,

则4式0,0,2),2(0,0,0),。1(2,0,2),£(0,2,1),

则诟=(0,0,2),赤=(2,0,2),族=(0,2,1),

设平面4ED1的一个法向量为五=(x,y,z),

则郎:占取…得—,

则点A到平面ZED1的距离为：

d_\AA-j-n\_4

I丽*|•同3，

(3)•••。(2,0,0),.••而=(2,0,0),

设平面/EO的一个法向量访=(a,b,c),

则"4而•荏=2b+c=0'取匕=1，倚山=(0，1L2),

设直线44I与平面4EDI所成角为仇

则直线力公与平面4ED1所成角的正弦值为：

.a\AAi-m\42A/5

\AAT.\■\m\2J55

18.解：①设圆心坐标为C(a,b),半径为r.

由圆C的圆心在直线2x—y=0上，知：2a=b.

又；圆C与x轴相切于点(1,0),

a-1,b=2,贝！|r=|b—0|=2.

.••圆C圆心坐标为(1,2),则圆C的方程为(%-1)2+(y—2)2=4；

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(II)如果选择条件①：Z.ACB=120。，而|C4|=\CB\=2,

圆心C到直线I的距离d=1,

以弓=解筌=1,

N_L十J.

解得m="+1或爪=_&■+1.

如果选择条件②;\AB\=2*,而|C*=\CB\=2,

圆心C到直线1的距离d=也,

,,|1-2+刑

则mid=an

解得zn=-1或3.

如果选择条件③；乙ACB=90。.而|C4|=\CB\=2,

・•・圆心C到直线，的距离d="，

|1—2+m|

则d==

解得zn=-1或3.

19.1?：(I)由c=2,2a=276,

又小=抉+C2.

解得小=6,b2=2,

所以椭圆C方程为1+4=1,

62

(2)设直线1的方程为y=%+m,

(#+乃=1

由，62得：4x2+6mx+3m2—6=0,

y=x-\-m

A=-12m2+96>0,得<g,

角军得一2，^<m<2\^,

设B(X2/2)，

+忆21(巧+%2)2-4%1久2

_1219m237n2-6_my/gni2

。到直线，：x—y+m=0的距离4=震=耳加，

所以△力。B的面积为S^BC=^\AB\-d=|x驾E至xq加=平,

乙乙乙乙

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化简得m2(8—m2)=16,

解得：m2=4,所以m=±2,

所以直线/的方程为y=x+2或丫=x-2.

20.解：(1)证明：因为力。_L平面PAB,BC//AD,

所以BC_L平面/MB,

又因为4Eu平面R4B,

所以4E1BC,

在△PAB中，PA=AB,E是PB的中点，

所以4E1PB,

又因为BCnPB=B,

所以4E，平面PBC.

(2)因为4。J.平面P4B,

所以力£＞1AB,AD1PA,

又因为PA1AB,

所以分别以4P，AB,4。所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系力-xyz,

则4(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,m),E(l,l,0),P(2,0,0),£)(0,0,3)>

AC=(0,2,m),AE-(1,1,0),

设平面4EC的法向量为元=(x,y,z),

喘配,噌+H,

o

令％=1,则y=—1,z=—,

所以n—(1,-1A),

因为力。1平面P4B,

所以an1PB,

又PB1AE,ADQAE=A,

所以PB_L平面4ED,

又因为丽=(-2,2,0),

所以取平面AED的法向量为帚=(一1,1,0),

所以|cos＜词＞|=曲湍=导即£；；；［=亭

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解得Tn2=1,

又因为m>0,

所以m=1.

(3)结论：不存在.理由如下：

证明：设F(0,0,t)(0<t<3),

当爪=2时，C(0,2,2).PF=(-2,0,t)，CF=(1-1-2),

因为PF1CE,

所以而=0,即一2—2t=0,

解得t=-1，与0Wt<3矛盾，

所以在线段AD上不存在点F,使得PF1CE.

21.解:若点40141),8(久2》2)相关，不妨设X