2024-2025学年高二年级上册数学常考题专练：圆的方程（11类重难点题型）解析版

专题2-2圆的方程11类重难点题型汇总

直线与圆的方程式是一个承上启下的章节，让即将经历圆锥曲线毒打的同学们有个铺垫

直线与圆的方程作为解析几何中的基础，不仅帮助同学们构建起图形与代数之间的桥梁，更是通往

更复杂曲线——如椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线研究的必经之路。掌握好这两类基本图形的性

质及它们之间的位置关系，将为后续学习奠定坚实的基础，让同学们在面对更加抽象的概念时能够

游刃有余。

总览1题型解读

【题型1】圆的方程.................................................................1

【题型2】点与圆的位置关系........................................................4

【题型3】求圆的切线方程...........................................................6

【题型4】求弦长以及由弦长求直线方程............................................12

【题型5】圆与圆的位置关系，公切线及公共弦.....................................15

【题型6】轨迹问题（阿氏圆，相关点法，定义法）.................................19

【题型7】圆的4类常考最值问题...................................................22

【题型8】直线与半圆的交点个数问题..............................................26

【题型9】双切线模型与切点弦方程.................................................30

【题型10】直线与圆的联立：韦达定理计算.........................................35

【题型11】直线与圆的综合：定点，定值，定线模型...............................40

题型汇编1知识梳理与常考题型

【题型1］圆的方程

基础知识

圆的标准方程：（x—ay+（y—b）2=/，其中圆心为（a,b）半径为「

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（£>,£,尸为常数），当。2+后2_4尸>。

1.已知圆“过点0(0,0),A(2,0),3(2,-2),则圆M的标准方程是()

A.(x-l)2+(y+l)2=2

B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x+l)2+(j-l)2=2

【答案】A

【分析】由题意可得圆心半径r=0,即可得圆M的标准方程.

【详解】由0(0,0),4(2,0)在圆M上，故圆心在直线x=l上，

由4(2,0),8(2,-2)在圆“上，故圆心在直线y=-L上，

即圆心"(1,一1),半径r=后弄=0,

故方程为d)2+(y+l)2=2.

2.若圆C经过点A(2,5),8(4,3),且圆心在直线/：2尤+y-7=0上，则圆C的方程为(

A.U-3)2+(y-6)2=2B.(x-2)2+(y-3)2=4

C.(尤-2)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y-6)2=10

【答案】B

【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得.

【详解】设该圆方程为(x-4+(y-b)2=r2,

则圆心为(a,方)，有2a+6-7=0,

将点A(2,5),8(4,3)代入，

J(2i『+(5+27『=/J5八⑵+8=/

有[(4一a/+(3+2a-7『=/，间仔一24。+32=产

两式相减得12。—24=0,即有。=2,则。=7—2。=3,

/=5/—12a+8=4,

故该圆方程为(x—2)2+(y—3尸=4.

3.若方程//+6蛆一4y+9加之一2根=0表示圆，则加的取值范围为()

A.(-2,+oo)B.[-2,+oo)C.(-oo,-2)D.(-8,-2]

【答案】A

【分析】运用圆的标准方程即可求解

【详解】方程X?+y2+6mx-4y+9m2-2m=0表示圆，

则D2+E2-4F=36m2+16-4（W-2m）＞0,

解得相＞-2,即加的取值范围为（-2,+8）.

/u巩固练习/

【巩固练习1】（23-24高二上.山西运城.期中）已知A（0,5）,B（0,l）,C（3,4）,则ABC外接圆的半径

为（）

A.75B.2C.710D.5

【答案】A

【分析】求A8和BC的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解.

【详解】依题意可得，线段AB的垂直平分线方程为＞=3,

354-1

又BC的中点为,直线3c的斜率原。===1,

2123—。

所以线段BC的垂直平分线斜率为左=—1,得方程为y-万=-,即x+y—4=。,

fy=3[x=l/、

解方程组.“八得《即圆心坐标为（1,3）,

〔x+y-4=0[y=3

所以半径r=^（1-0）2+（3-1）2=亚.

【巩固练习2]已知A（4,0）,B（1,V3）,圆M经过A,8两点，且圆的周长被尤轴平分，则圆〃的

标准方程为（）

A.[一野+=3B.（x-2）2+y2=4

C.x2+y2=4D.（尤-lf+y2=4

【答案】B

【分析】求出线段A8的中垂线，求得与*轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.

【详解】由题意，k8=9^诋=一且，48中点为

AB4-13

所以线段A3的中垂线为>一曰=君］尤一g］，令>=0得工=2,

所以“(2,0),半径厂=2,所以圆M的标准方程为(x-2y+y2=4.

【巩固练习3】方程*2+»2+4"a-2>+5机=0表示圆的充要条件是()

A.—<m<\B.>1C.m<—D.或加>1

444

【答案】D

【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为犷+后一4P>0,代入运算求解即可.

71

【详解】由题意可得：(4/n)+4-20m>0,解得加或口>1,

所以方程x?+y?+4nzx-2y+5根=0表示圆的充要条件是机<：或加>1.

【巩固练习4】已知圆。的方程为f+;/-2mx+4阳+4/+6m+27=0,若圆。的半径小于8,则

加的取值范围是()

A.(-7,13)B.(Y,-3)一(9,+8)

C.(3-2A/TT,-3)I(9,3+2A/TT)D.(-7,-3)(9,13)

【答案】D

【分析】将圆。的一般方程转化为标准方程，从而得到关于加的不等式，解之即可得解.

【详解】因为圆。的方程为V+y?-2mx+4冲+4〃/+6m+27=0,

所以圆0的标准方程为+(y+2加)2=m2-6m-T1,

i^0<m2-6m-27<82,角箪得一7(机<-3或9<机<13,

所以m的取值范围为(-7,-3)(9,13).

【题型2】点与圆的位置关系

基础知识

1.在圆的标准方程中，判断点与圆的位置关系

判断点M(%o,%)与二A：(x—tz)2+(y-b，=产位置关系的方法:

(1)几何法(优先推荐)

设到圆心A(a,Z?)的距离为d,则d=|A£4|

①d>厂。则点〃(%,%)在A外

②^二厂。则点M(Xo，%)在A上

③d<rO则点〃(%,%)在.A内

(2)代数法

将点〃(玉),为)带入「A：(x—a)?+(y—bp=产方程内

①点"(如为)在&外0(龙0-。)2+(%-力)2>产

②点〃(%，％)在A上o(X。—a)~+(%—。)2=广

③点M5,%)在A内o(%—a)?+(%-A)?</

2.在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系

已知点〃(%,%)和圆的一般式方程C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

则点M(x0,y0)与圆的位置关系：

2

①点M(%,%)在C外xQ+%?+Dx0+Ey0+F>0

②点〃(乙),先)在CXQ+y^+Dxo+Eyo+F=O

2

③点M(x0,%)在C内U>x0+%?+Dx0+Ey0+F<0

/“典型例题/

4.已知圆C的方程为(x+l)2+(y-3)2=12,则点41,6)在()

A.圆内B.圆上C.圆外D.不确定

【答案】C

【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可.

【详解】圆心为(一1,3),半径为a=2如，

因为J(l+1)2+(6-3)2=屈＞26,

所以A(l,6)在圆外

5.若点4(2,1)在圆尤2+k-2如-2＞+5=0(加为常数)外，则实数加的取值范围为()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(-g,-2)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得加＜2,再由圆的一般方程中。2+石2一4斤可得加＜一2,

最后求交集即可.

【详解】由题意知22+F_4〃2-2+5>0,

故加<2,

又由圆的一般方程x2+y2+r）x+ev+尸=0,

可得。2+52一4尸>0,即（-2峭2+（-2）2-4x5>0,

即m<-2或〃z>2,

所以实数加的范围为加<-2.

/“巩固练习/

【巩固练习1］若点a（a,3）在圆。:/+（卜1）2=5外，则实数。的取值范围是（）

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-1,1)

【答案】C

【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.

【详解】由题意可知：圆C:x2+（y_i）2=5的圆心C（0,l）,半径r=6，

若点A（a,3）在圆C外，则|AC|=,J（a-0）2+（3-l）2=Va2+4>#,

解得a>l或。<—1,所以实数。的取值范围是（TO,—l）u（l,+oo）.

【巩固练习2】若点+在圆*+y、2冲-4=0的内部，则。的取值范围是（）.

A.a>lB.0<。<1C.—1<a<-D.a<1

【答案】D

【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，半径升=五2+4,所以。eR,把点（a+l,a—1）代入方程，

则（a+iy+（a—l）2—2。（。-1）一4<0,解得a<l,所以故a的取值范围是a<1.

【题型3】求圆的切线方程

基础知识

直线与圆相切的问题

（1）圆的切线方程的求法

①点M（x（）,%）在圆上，

法一：利用切线的斜率用与圆心和该点连线的斜率心.的乘积等于T,即向“％=-!.

法二：圆心。到直线/的距离等于半径厂.

②点M（%，％）在圆外，则设切线方程：y-yQ=k{x-xQ）,变成一般式：kx-y+y0-kx0=0,因

为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出左.

注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还

有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上

///典型例题/

6.已知圆O:f+y2=5,直线/经过点（1,2）,且/与圆。相切，贝心的方程为（）

A.x+2y—5=0B.x-2y+3=0C.1x-y=0D.2x+y-4=0

【答案】A

【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.

【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为>-2=左（》-1）,

圆心到直线的距离为d=/,因为/与圆。相切，所以d=y/5,

V1+F

即—=L=,解得上=—,即/的方程为x+2y—5=0.

J1+严2

7.（23-24高二上•湖南长沙•期中）过点（4,0）的直线/与圆Y+y2-4x-8y+16=0相切，则直线/的

方程为（）

A.3尤+4、-12=0或y=0B.3%+4y-12=0或X=4

C.4x+3y—12=0或y=0D.4x+3y-12=0或％=4

【答案】B

【分析】分2种情况讨论：①直线1的斜率不存在，则其方程为x=4,易得其与圆相切；②直线1

的斜率存在，设其方程为>=左（％-4）,根据直线1与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k

的值即可.

【详解】圆d+y2-4x-8y+16=0化为标准方程为（x-2）2+（y-4）2=4,得圆心（2,4）,半径为2,

当直线1的斜率不存在时，直线/：x=4,

此时直线1与圆X?+/-4x-8y+16=0相切，符合题意；

当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为了=左（%一4）,即fcv-y-4左=0,

,、|2左一4一46\2k+4\

圆心（2,4）到直线1的距离为d=।-1

由相切得d=r=2,

\2k+4l3

所以,1=2,平方化简得上=-1求得直线方程为3x+4y-12=0,

“2+14

综上，直线1的方程为3x+4y-12=0或％=4.

8.过坐标原点。作圆C:Y+y2-4x+3=0的两条切线，切点分别为M,N,则|MN|=（）

A.走B.-C.gD.2

22

【答案】C

【分析】

根据题意可得△MON为等边三角形，可得结果.

【详解】圆炉+〉2-以+3=0化为标准方程为(x-2y+y2=i,

其圆心为C(2,0),半径为1,

由题意知，|因=|NC|=1,|0闸=|ON|,ON，QV,|。4=2,

CN|：所以

所以sinZNOC==,NNOC=30°

OC\

所以AMON=2ZNOC=60。.且|ON|=2cos30。=6,

所以△MON为等边三角形,

所以|ACV|=|ON|=百.

9.(2024•广东韶关.二模)过点尸(-2,3)作斜率为一2的直线，若光线沿该直线传播经》轴反射后与

圆C:(x-3f+(y-2)2=，(r>0)相切，贝什=()

A.72B.73C.2D.V5

【答案】D

【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线E4,进而求出点A,利用反射光线的性质求出直线

BA,结合点到直线的距离公式计算即可求解.

【详解】如图，设经过点P的直线交x轴于点A,反射直线与圆C相切于点8,

直线尸A:y-3=-2(x+2),即y=-2x-l,

令y=o,解得x=-g,即A(,0),

又kpA+上。，所以或=2,

所以直线BA:y-0=2(x+g),即2x-y+l=0,

则点c(3,2)到直线直线划：2x-y+1=0的距离为d=但二出

即r=G

/“巩固练习/

【巩固练习1】过点A(2,3)作圆M：尤2+9=1的一条切线，切点为所则|AB|=()

A.3B.273C.77D.V10

【答案】B

【分析】先求得圆M的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得恒目的值.

所以圆M的圆心为/(0,0),半径为厂=1,

因为AB与圆A7相切，切点为B,

所以贝=|AM『，

因为\AM\=>/22+32=V13,

所以|AB|=yj\AM^-r2=V13-1=2A/3.

【巩固练习2】已知圆C：x2+y2-4x=0,直线/恒过点?(4,1).若直线/与圆C相切，求/的方程

【答案】无=4或3x+4y-16=0

【分析】分类讨论直线/的斜率存在与不存在，利用圆心到直线/的距离等于圆的半径计算即可；

(2)由题意知直线/的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即

可.

【详解】(1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0),半径厂=2,

①当直线/的斜率不存在时，即/的方程为x=4时，此时直线与圆相切，符合题意；

②当直线/的斜率存在时，设斜率为左，，直线/的方程为y-l=Mx-4),

化为一般式：kx-y+l-4k=0,若直线/与圆相切，

\\-2k\〜3

则dJ=^PT7=2，即1一4左+4左2=4左2+4,解得k=_1

3

:.l：——x-y+4=0,即/：3x+4y-16=0,

4

综上，当直线/与圆C相切时，直线/的方程为无=4或3x+4y-16=。

【巩固练习3】(23-24高二下.全国•随堂练习)已知圆C：(x-l)2+(y-2)2-4.若点加(3,5),求过

点M的圆C的切线方程；

【答案】x=3或512y+45=0

【分析】求出圆C的圆心与半径，分过点M的直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线

距离等于半径，即可求出切线方程；

【详解】解：由题意知圆心的坐标为C。,2),半径厂=2,

当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x=3.

由圆心C(l,2)到直线x=3的距离3-1=2=广知，此时，直线与圆相切.

当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y-5=k(x-3),

即日一y+5—3左=0.由题意知----,----=2,

U+1

解得*=得，二方程为5x—12〉+45=0.

故过点M的圆C的切线方程为x=3或5尤-12>+45=0.

【巩固练习4】(23-24高三上.河北秦皇岛.开学考试)从点(0,3)射出的光线经x轴反射后，与圆

(X-3)2+(y-2)2=2有公共点，则反射光线所在直线斜率的最小值为()

23-1

A.1B.—C.—D.—1

77

【答案】A

【分析】根据光学性质可得反射光线一定经过(0,-3),然后根据点到直线的距离计算经过(0,-3)的

直线和圆心的距离不超过半径即可.

【详解】根据光学性质可得，反射光线一定经过(。,3)关于x轴的对称点(0,-3),

反射光所在直线斜率不存在时，反射光的直线方程为尤=0,

—Q

由‘(X一3『+(y-2『-2，易得该方程组无解，于是反射光所在直线斜率存在，

设经过(0,-3)的直线为y=履-3,若反射光和圆有公共点，则圆心(3,2)到直线的距离不超过半径,

根据点到直线的距离公式，-k===-,整理得7左2—30左+2340,即(化-1)(7左—23)<0,

收+1

23

解得14%工亍，故斜率最小值是1.

故选：A

【巩固练习5】（23-24高二上.山西朔州.期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，

则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在

平面直角坐标系。孙中，一条光线从点“（2,3）射出，经'轴反射后与圆。:/-6欠+;/+4>+12=0相

切，则反射光线所在直线的斜率为（）

4、31553

A.——或——B.——或——C.—D.—

347774

【答案】A

【分析】先得到M关于丁轴的对称点5,然后根据反射光线经过3,设出反射光线的方程，根据反

射光线与圆相切列出关于人的方程，则结果可求.

【详解】如图，设点B与点M（2,3）关于y轴对称，则点B的坐标为（一2,3）,

反射光线所在直线经过点8,且与圆C:（x-3y+（y+2）2=l相切，

设反射光线所在直线的斜率为左,则反射光线所在直线的方程为y-3=k（x+2）,kx-y+2k+3=0,

圆（X—3）2+（y+2）2=1的圆心为C（3,—2）,半径r=l,

/、\5k+5\

则由圆心C（3,-2）到反射光线所在直线的距离等于半径，可得%~章=1，

43

即12公+25左+12=0,解得％=—彳或左=一二.

34

故选：A.

【题型4】求弦长以及由弦长求直线方程

基础知识

利用垂径定理：半径厂，圆心到直线的距离d,弦长/具有的关系户=储+咳）2,这也是求弦长最常

用的方法.

典型例题

10.直线3x+4y=o与圆M：（x-2『+（y_l）2=16交于A,8两点，则AM钻的面积为（）

A.473B.40C.2y/3D.2亚

【答案】A

【分析】利用点到直线的距离公式，以及弦长公式即可求解.

【详解】圆M：（x—2y+（y-1）2=16的圆心为河（2,1）,半径为4,

由题意得圆心M到直线3x+4y=0的距离［=色£^=2,

732+42

则|4却=2/16—4=4百,

所以AAMB的面积为工X46X2=46.

2

故选：A

11.已知直线，=辰+1与圆d+V=4相交于M,N两点，若=则闷=（）

A，—2B.1C.V2D.2

【答案】B

【分析】先计算直线版->+1=0到圆心。的距离d,然后根据勾股定理得到屋+：|MN「=4,从而

代入条件即可解出从而得到四

【详解】如图所示：

0左一0+11

设坐标原点0到直线点一丁+1=。的距离为d,则d=—>=

〃2+1”I2+1

设线段脑V的中点为P,则WOP,根据勾股定理，4=|OM|2=|<?p|2+|PM|2=d-+^\MN\".

^j\MN\=y/14,得4=『+』肱V「=目^+与，故=；解得/=i,故阳=1.

4/v-r1/CiIN

/“巩固练习/

【巩固练习1】（河北石家庄•期末）圆/一4x+4y-l=0被直线3x-4y-4=0截得的弦长等

于.

【答案】25

【分析】求出给定圆的圆心和半径，再利用圆的弦长公式计算即得.

【详解】圆（了一2）2+0+2）2=9的圆心（2,-2）,半径厂=3,

13x2—4x（-2）—41

2

则点（2,-2）到直线3x-4y-4=0的距离d=---/<八2-=，

所以所求弦长为24户-屋=26.

【巩固练习2】两平行直线4：fcr+y=O与直线4：区+，+2=。分别与圆M:Y+y2-4x-4y=0相交

于点A,B和C,D,若|AB|=4&,则ACD的面积为（）

A.272B.2A/3C.4D.372

【答案】B

【分析】将圆转化为一般方程，根据|A5|=4五知直线人过圆心，进而求出k=-1,然后求出|CD|,

最后求出面积.

【详解】f+y2-4x-4y=0可化为（x-2）2+（y-2）2=8,

故圆M的圆心M的坐标为（2,2）,半径为20,

因为|AB|=4及，所以直线4过圆心（2,2）,即％=—1,

所以:%+y=0,/21—X+y+2=0.

2

圆心M到，2的距离d=gw=,

所以|CD|=2后三=2"，

所以ACD的面积为gx应x2后=2石.

【巩固练习3】已知圆C：x2+y2-4x=0,直线/恒过点?（4,1）.当直线/与圆C相交于A,8两点,

且|A2|=2百时，求/的方程.

【答案】y=1或4%-3》-13=0

【详解】由题意可知，直线/的斜率一定存在，设斜率为七,

.•直线/的方程为y-l=k（x-4）,即Ax_y+l_4左=0,

」\l-2k\

设圆心到直线/的距离为d,则d=/

Vv2+i

由垂径定理可得，/+（绊）2=4,即空龙+3=4,

2F+1

4

整理得，3左2一4左=0,解得左=0或左=§,

则直线/的方程为y=1或4x-3y-13=0.

【巩固练习4】（23-24高二下•安徽亳州•期中）已知圆。：/+/+依一打=0（。＞0）关于直线y=-2x

对称，且过点尸（0,8）.

（1）求证：圆C与直线x+2y-16=0相切;

⑵若直线/过点(1,0)与圆C交于A、3两点，且|AB|=4,求此时直线/的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)丁=0或24%-7、-24=0.

【分析】(1)根据圆心在直线y=-2x以及点(0,8)在圆上，即可求解6=8,0=4,进而根据点到直

线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解，

(2)利用圆的弦长公式可得d=4,结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程.

【详解】(1)圆C:x?+y2+依-外=0化为标准方程，即,+晟[+,一|)

则因为圆C关于直线y=-2x对称，所以■|=一2(/J,所以b=2。，

因为圆C过点(0,8),所以82_》X8=0,所以匕=8,

得。=4,所以圆C方程为C：/+/+4]-8y=0,

圆心坐标为(-2,4),半径为2百，

1-2+8-161

故点。到直线%+2丁-16=。的距离为J------=——-=2Vr5,

所以。与直线％+2>-16=。相切，

(2)设直线/方程为y=k^x-i),即"一y-k二0,

设圆心。到直线/的距离为d=42⑸一2?=4,

\-2k-A-l<\

所以=4,

a+1

24

得7犬+24左=0,所以左=0,左=亍，

所以直线/的方程为y=o或>=亍(了一1).

即y=。或24%—7y—24=0.

【题型5】圆与圆的位置关系，公切线及公共弦

基础知识

1、圆和圆的五种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含，并结合图像掌握它们的代数表示方式

以及公切线条数

2、若两圆相交，则它们方程相减即为公共弦所在直线的方程

12.圆C：x?+/-2x+4y=尸-5(r>0)与圆Z>:/+,2=6的位置关系不可能()

A.内含B.内切C.相交D.外切

【答案】D

【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.

【详解】由题可得圆C:(%-l)2+(y-2)2=r2,则其圆心(1,2),半径为「；

圆。：x2+y2=6,则其圆心为(0,0),半径为

则两圆圆心距为75<V6+r,

故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.

22

13.已知圆£+V=1与圆c2；(x_fl)+(y-l)=16(。>0)有4条公切线，则实数a的取值范围是

()

A.（0,2&）B.+co）

C.(0,2A/6)D.(2跖+对

【答案】D

【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：d>t[+r2Q

22

【详解】根据题意可知，圆G，G外离，d>rx+r2,y/a+1>l+4-a>24,又一a>0,;.a>2".

14.圆/+>2+》-2>-20=0与圆V+y=25相交所得公共弦长为.

【答案】4布

【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得C2到直线/的距离d,

最后由2/2_相即可得解.

【详解】记圆Ci：x2+y2+x-2y-20=0,圆C?:/+_/=25,

两个方程作差可得，尤-2y+5=0,

所以两圆公共弦所在直线方程为/：x-2y+5=0,

圆心C2(O,O)到直线/的距离为"=1+；_2)2=若，

所以公共弦长为2x/2_g2=4正.

15.(多选)已知圆Q：x2+y2-2尤-3=0和圆Q:xZ+V-2y-l=0的交点为则下列说法正

确的是()

A.两圆的圆心距。1。2=V2

B.直线AB的方程为x-y_]=0

C.圆。2上存在两点尸和Q,使得PQ>AB

D.圆。j上的点到直线AB的最大距离为2+0

【答案】AD

【分析】A选项，求出两圆的圆心，得到圆心距；B选项，两圆相减得到直线AB的方程；C选项，

线段是圆。2的直径，故C错误；D选项，求出圆心。|到直线AB：x-y+l=O的距离，从而得到

最大距离.

【详解】对于A,因为圆。1的圆心坐标为(1,0),圆。2的圆心坐标(0,1),

因为两个圆相交，所以两圆的圆心距O[Q=J(1—OP+(0—1)2=夜,故A正确；

对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,

即得公共弦AB的方程为x-y+l=0,故B错误；

对于C,由B选项可知，直线AB的方程为x-y+l=。，由于(0,1)满足x-y+l=0上，

故直线A8经过圆。2的圆心坐标(0,1),所以线段AB是圆。2的直径，

故圆。2中不存在比A3长的弦，故C错误;

对于D,圆0的圆心坐标为(1,0),半径为2,

圆心到直线AB:x—y+l=0的距离为-=y/2,

V2

所以圆。1上的点到直线AB的最大距离为2+0,故D正确

/“巩固练习/

22

【巩固练习1】若圆C]：x+y=1^0C2：/+丁-8》-6>+机=0内切，则机=()

A.29B.9C.-11D.19

【答案】C

【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.

【详解】由圆C]：x2+y2=l,可得圆心G(0,0),半径3=1；

圆C?：x?+丁-8x-6y+m=0可化为(x-4)2+(y-3)2=25-m>0,

可得圆心G(4,3),半径r,=425-m>0,

所以|CG|="2+32=5,

由圆C1圆C2内切，所以iGCj=卜一目，即5=|125_〃？_1|,

解得：m=

【巩固练习2】设〃>0,若圆(％-4+^=1与圆f+y2=25有公共点，贝IJQ的取值范围为()

A.（0,4）B.{4}

C.（4,6）D.[4,6]

【答案】D

【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.

【详解】ffl（x-a）Z+y2=l,圆心为1,0）,半径为1,

圆Y+y2=25,圆心为（0,0）,半径为5,

若圆（x-a）~+J=1与圆/+>2=25有公共点，

则4<时46,又。>0,所以44a46.

【巩固练习3】（23-24高二上•山东日照・期末）若两圆G：/+^+2尤=0与C”

Y+y2-4x-8y+机=0外离，则实数加的取值范围为（）

A.m>4B.m<4C.0<m<4D.4<m<20

【答案】D

【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解.

【详解】由题意G：V+y2+2x=0即C]：（尤+1）2+9=1,它的圆心半径分别为G（T0）d=l,

2222

G:x+y-4x-8y+m=0即C2：（%—2）+（y—4）=20—m,它的圆心半径分别为

C?（2,4）,2=^20-m,（m<20）,

所以圆心距满足CG|=J9+16=5>4+4=1+J20-7〃,解得zn>4,

所以4〈机<20.

【巩固练习4】已知圆a：x2+2x+V=io与圆。2：，+丫2-尤-3>=4交于两点，贝||AB|=（）

A.半B.5C.726D.3g

【答案】C

【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.

【详解】圆。]：（%+1）2+）?=11的圆心0]（一1,0）,半径a=jn,

22

圆O2:（X--）+（y--1-）=彳的圆心。2（5，1）,半径=—--,

I。021=3f£（/一/居+/）,圆。1与圆。2相交，两圆方程相减得直线AS:x+y=2,

13

显然点。2（5，万）在直线AB上，因此线段是圆。2的直径，

所以|AB|=而.

模块二

【题型6】轨迹问题(阿氏圆，相关点法，定义法)

/核心•技巧/...................................................

求与圆有关轨迹方程的常用方法

i.定义法

当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.

2.直译法

直接将题目条件翻译成代数方程，求解软迹方程.

3.直接法

当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.

4.几何法

利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程.

5.代入法(或相关点法)

当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关

系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程

/"典型例题/

16.动圆%2+y1-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是.

【解答】解：把圆的方程化为标准方程得[尤-(2根+l)f+(y-m)2=病(根*0)

fx=2m+1

则圆心坐标为《，因为得到xwl,所以消去〃7可得x=2y+l即x-2y-l=0

[y=m

故答案为：x_2y-l=0(尤力1)

17.已知圆C：(x-iy+(y-2)2=8,若41,0),点3是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹

方程，并说明表示什么曲线.

【解答】设M(x,y),B(XQ,%),则有等=》，A=y,

解得尤°=2x-l,%=2y,代入圆C方程得：(2x—2y+(2y-2)2=8,

化简得(x_1)2+(y-1)?=2

表示以(1,1)为圆心，、口为半径的圆

18.已知点4-3,2)、8(1,-4),过A、3作两条互相垂直的直线4和则4和4的交点M的轨迹

方程为(化为标准形式)

【解答】解:设加答J),则

.•.过A、3作两条互相垂直的直线4和4的交点M，

MA>MB=O，，(-3-x,2-y).(l-x,-4-y)=0,

(-3-x)(l-x)+(2-y)(-A-y)=0，化简整理可得(无+1)?+(y+l)2=13.

故答案为：(龙+l)2+(y+l)2=13.

19.已知在平面直角坐标系中，点M(x,y)到两个定点。(0,0),4(3,0)的距离之比等于1.

(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)已知点P(x,y)为所求轨迹上任意一点，求2/+y2的最大值.

【解答】解：(1)由题意可知：7^7=1，由点到直线的距离公式，可得：

1^12J产dy:+yV",2

化简整理得：x2+y2+2x-3=0,即(》+1)2+尸=4,

.•.点M的轨迹方程(尤+1)2+丁=4,轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；

(2)由(1)可知,尸(羽丁)为圆(％+1)2+]=4上任意一点,

/.-3M1,

由y2=_f_21+3,

/.2X2+y2=2/+(―/—2%+3)=无?—2x+3=(x-1)2+2,

・・・当x=-3时，y=。时，

2x2+y2的最大值18.

/“巩固练习/

【巩固练习1】已知线段AB的端点3的坐标是(8,6),端点A在圆(尤+1)2+9=4上运动，则线段钻

的中点尸的轨迹方程为.

【解答】解：设4再，必)，线段钻的中点尸为(x,y).

则菁=2x—8,y=2y—6,

•,,端点A在圆(x+l>+y2=4上运动,

;.(2x-7)2+(2y-6『=4.

7

线段AB的中点Af的轨迹方程是：（x-/）2+（y-3）2=1.

7

故答案为：（无一5）2+（、-3）2=1.

【巩固练习2］（24-25高三上•广西南宁•阶段练习）已知曲线C:Y+y2=1,设曲线C上任意一点A与

定点3（3,0）连线的中点为尸，则动点P的轨迹方程为（）

A."1+7

I2J-4

C.

【答案】B

【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程.

X。+3

X=----

x=2x-3

【详解】设「（匕力人优,为）,因为尸为A3的中点，所以，2,即0

.%=2y

I-2

又因为点A在曲线尤2+丁=1上，所以其+需=1,所以（2x—3）2+4y2=l.

所以点P的轨迹