2024-2025学年河北省唐山市高二年级上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省唐山市高二上学期10月月考数学

检测试题

一、单选题：（每题5分共40分）

1.空间直角坐标系中，己知'O'3）,网―2,3,1）,点人关于xQy平面对称的点为0,则民°两点间的

距离为（）

A.6B.2A/6C.26D.回

【答案】A

【解析】

【分析】由对称关系可知C（2,l,-3）,即可得瑟=（4,-2,-4）,再由空间向量模长的坐标表示可求得

~BC=6.

【详解】根据题意可知，点A关于xQy平面对称的点。的坐标为c（2,l,-3）；

又8（—2,3,1）,可得就=（4,-2,-4）

所以民。两点间的距离为|前卜也2+（一21+（—4）2=6.

故选：A

2.已知（-3,、回）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角为（）

717127c57t

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】

【分析】由直线/的方向向量可知直线/的斜率，进而可得倾斜角.

【详解】设直线/的倾斜角为ae[0,7i）,

由直线/的方向向量可知直线/的斜率左=tana=-且，所以a=2.

36

故选：D.

3.如图，〃是四面体045C的棱3C的中点，点N在线段（W上，点尸在线段4N上，且

13——

MN=-ON.AP=-AN,用向量力,无，反表示而，则无=（）

o

1—■1—.1—-

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

444333

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

433344

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

［详解］由题意可知而砺+*）,而=:而"=|^:（砺+"）=;（赤+*），

左=而_厉=;（砺+*）_^2,方=:左=|^;（砺+反）_:厉,所以

OP=OA+^P^OA+-X-（OB+Oc\--OA^-OA+-OB+-OC

43、'4444

故选：A

4.设x,jeR,向量2=（x,l,l）,3=（1,刈,c=（2,-4,2）,且行/3，b//c>则归+同等于（)

A.2A/2B.V10C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的位置关系列式求出XJ,根据模的计算公式计算即可求解.

【详解】•/Ell/,

2j=-4x1,

'：aLb

.ci,b=x,1+1x(-2)+1=0,

x=l,:.a-（1,1,1）.

.•万+B=（2,_1,2）,

:.\a+b\=M+（—l『+22=3.

故选：C.

5.若点（1,1）在圆必+「一%—。=0的外部，则°的取值范围为（）

A.1一（JB.生）C.（fl）D.（1,+co）

【答案】A

【解析】

【分析】根据V+v2-x-。=0表示圆得a>-又利用点在圆外得。<1,从而可得结果.

4

【详解】因为/+y2—x—a=o可化为[x—g]+y2=a+；,则a+；〉o,所以a>—；.

又点（1/）在圆—+j?一X-Q=0的外部，所以仔+]2一1一〃>o,故。<1,

综上，---<Q<1.

4

故选：A.

3

2

6.已知直线4:x+（2a-l）y+2a—3=0,/2:ax+3v+a+4=0,贝『a='”是“〃〃2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据直线〃〃2求出a的值，再判断充要关系即可.

【详解】若“〃2,则"2a—1）=3,解得。=5或a=—1.当a=—1时，直线4的方程为x—3y—5=0,直线（

33

的方程为-x+3y+5=0,两直线重合，所以。=5,所以“。=2”是““4”的充要条件

3

易错警示:很多考生根据"〃2求出。=5或a=-1后,直接得出结论，而忽略排除两直线重合的情况，从而错选

A.

故选：C

【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.

7.已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称，则圆C的标准方程为()

A.(x+l)2+(j-l)2=9B.(x-l)2+(j-l)2=81

C.X2+(v+l)2=9D.x2+y2=9

【答案】C

【解析】

【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3,即可求解.

【详解】设圆心坐标。(。力)，由圆心C与点尸关于直线＞=x+l对称，

得到直线C尸与N=x+1垂直，

结合y=x+1的斜率为1,得直线CP的斜率为-1,

所以上d=—1,化简得a+b+l=0①

-2-a

再由CP的中点在直线＞=x+l上，*2=伫2+1,化简得a—6—1=0②

22

联立①②，可得。=0,6=—1,

所以圆心C的坐标为(0,—1),

所以半径为3的圆C的标准方程为x2+(j+l)2=9.

故选：C

8.直线/的方向向量为浣=(1,1,0),且/过点/(LU),则点P(2,2,-l)到直线/的距离为()

A.72B.V3C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.

【详解】•••幺(1,1,1),P(2,2,-l),

/.AP=(l,l,-2),又成=(1,1,0),

:・P到/距离d=7lAPI2-(V2)2=后工=2.

故选：C

二.多选题(每题6分共18分)

9.给出下列命题，其中正确的命题是()

A.若直线/的方向向量为0=(1,0,3),平面a的法向量为为=1—2,0,g],则直线/〃a

—■1—■1--1—.

B.若对空间中任意一点O,有。尸=—CM+—08+—OC,则尸、/、B、C四点共面

442

c.若｛/，可为空间的一个基底，贝版+3石+乙1+.构成空间的另一个基底

D.同一*k+同是痴共线的充要条件

【答案】BC

【解析】

【分析】根据线面垂直、基底、共面、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，虽然＞♦=-2+2=0,但是无法判断/是否在平面&外，所以A选项错误.

B选项，由历=1次+工砺+工反，

442

得丽_反=：@_沅)+；(赤—瓦)，

--1—-1—.—.—.—.

所以。尸=^口+^。8,所以CRC4,CB共面，所以P,48,C四点共面，所以B选项正确.

C选项，用反证法，若｛a+B,B+U,己+5｝共面；

设1B=x(b+c)+y(c+2)=＞(y—1)5+(x—1)B+(x+y)c=6,因为N,B,c不共面，

J-1=0

所以＜x-i=o,方程无解，所以3+B,B+乙不共面，

x+y=0

｛Z+B,B+乙己+湃可以构成空间的一个基底，所以c选项正确.

D选项，同—忖=卜+可是原B反向共线，a9b同向共线得出同+|可=5+可,

a,b共线不能得出同-片卜+,,同-忖=5+同是/共线的充分不必要条件，D选项错误.

故选：BC.

10.下列说法正确的是（）

A.直线瓜+>+1=0的倾斜角为120。

B.经过点尸（2,1）,且在轴上截距互为相反数的直线方程为x-y-l=0

C.直线/：%x+y+2-%=0恒过定点（1,一2）

D.直线4:x+2ay+l=0,12:（a-l）x-j-4=0,若上%，则°=一1

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于

B,由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C,整理函数的一般方程，建

立方程组，可得答案；对于D,利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.

【详解】对于A,由直线方程Kx+y+1=0,可得其斜率尢=-6,设其倾斜角为6,

则tand=—括，由。e[0,兀），则解得。=120°，故A正确；

对于B,由题意，直线斜率一定存在，可设为《（质片0），由过尸（2,1）,则y—l=&（x—2）,

令y=0,则x=2-;，令％=0,则y=l-2左2，由题意可得2-；=—。一2左2）,

7^2/v2

,1

整理可得2后一3左2+1=0,解得&=5或1，所以直线方程为x—2y=0或x—y—1=0,故B错误；

对于C,由直线方程加x+y+2=0,整理可得（x-l）掰+y+2=0,

%—1=0[x=1,、

令〈cZ解得〈c，所以直线过定点（1，-2），故C正确；

j+2=0U=-2

对于D,当a=l时，直线4:x+2y+l=0,贝!）4=1,8]=2,直线/2：>+4=0,则4=0,82=1,

由44+男生=lx0+2xl=2w0,则此时不符合题意；

当awl时，直线4:x+2ay+l=0,则4=1,用=2。，直线右：（aT）x-y-4=0,则

4=a-1,——1,

由4J_42，贝!]44+男2!=lx（a—1）+2ax（―1）=0,解得°=一1,则此时符合题意，故D正确.

故选：ACD.

11.如图，在正方体4BCD—44GA中，。是上底面46。的中心，E,尸分别为48,2。的中点，则

下列结论正确的是（）

B.直线4。与平面481Goi所成角的正切值为企

77

C.平面跳4与平面ABGC的夹角为7

D.异面直线4。与4E所成角的余弦值为画

10

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解4。，£尸，利用线面角的定义，求解直线4。与平面

4AGQ所成角的正切值，先做出平面瓦耳与平面Rgqc的夹角的夹角，在利用解三角形的知识求解,

利用异面直线的夹角的定义求解异面直线4。与B〔E所成角的余弦值.

【详解】选项A：因为在正方体4BCD—中，。是上底面4SCZ）的中心，E,F分别为AB,AD

的中点，所以£尸，/0,

AAX1面ABCD,u面ABCD,所以，EF,又40,初1u面AAXO,A0{\AAx=A,

所以跖工面力公。，4。u面44i。，所以4。，£7"正确；

选项B：连结4G,5Q］交于q,连结。。1，则N04R为直线4。与平面481Goi所成角,

设正方体边长为a，则正切值为年11/。4a=71正确.

----CI

选项C：延长CB,FE交于〃，其中5G=BH,连结BXH,取BC中点设为G,则尸G，面BCC.B,,

因为男,〃e面B.HF和面BCCE，所以与8为面BXHF和面BCCR的交线,

则过G作GJ，B.H,连结FJ,则AGJF为平面EFB｝与平面BB&C的夹角的平面角.

=2!LaBlH=^a,HG=a,

在AGHB1中，设正方体边长为a,则GH=BC=a,B[G=

22

2、2

——VsaY-rv——sa

在中，由余弦定理得©osH_HG?+HB；—4G?(2J(2

2HG•HB[-5'

2xax旦a

2

275

sinH>O,sinH=

"I"

选项D：取4。的中点设为Q,连结0242则44。。为异面直线4。和。。的夹角,

=好

a=a,

在A40Q中4。=J片+~^~^~0Q=4Q=~^2

rv6丫即丫萌

(2JI2JI2

730正确.

cosZArOQ=

2xAlOxOQoV6V?记

2XciXQ

22

故选：ABD.

三.填空题(每题5分共15分)

12.平面1的法向量是蔡=(一2,-2,1),点幺(—1,3,0)在平面a内，则点尸(—2,1,4)的到平面a的距离

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用空间向量的方法求距离即可.

【详解】解：设直线山与平面2所成的角为，,

秒=(12-4),

则点尸(一2,1,4)到平面a的距离为0Z市“=PA-\cos<PA,n>=PA-=—.

111叫〃3

故答案为：—.

13.已知圆C:(x—1『+歹2=1,以圆心。和尸(3,2)为直径的圆的标准方程是.

［答案］(x_2『+(y_l)2=2

【解析】

【分析】由题可得c(i,o),进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径,

进而可得该圆的标准式方程.

【详解】由题得。(1,0),故以。和尸(3,2)为直径的圆的圆心为(2,1),半径为

；巾=/(3-球+(2-0)2=收，

所以以圆心。和尸为直径的圆的标准方程是(x-2)2+(y-=2.

故答案为：(X-2)2+(J-1)2=2.

14.直线/的方程为(X+2)x+(2—l)y—3X=0(2eR),当原点O到直线/的距离最大时，X的值为

【答案】-5

【解析】

【分析】先确定直线过定点，再数形结合得出参数值即可.

/、Ix+y-3=0Ix=1

【详解】直线方程可化为(x+y—3"+2x—歹=0,令＜”

[2x-y=0[y=2

即直线/过定点幺(1,2),过。作于5点，

则原点0到直线/的距离V=45,当且仅当A,B重合时取得最大值，

jI21

此时k=k=2,则直线I的斜率k=------二——n%=—5.

OBOAA—12

故答案为：-5

四.解答题(共77分)

15.已知△NBC顶点2(3,3),边NC上的高昉■所在直线方程为x-y+6=0,边4g上的中线CM所在

的直线方程为5x—3〉—14=0.

(1)求直线NC的方程；

(2)求顶点。的坐标与的面积.

【答案】(1)x+y=6

(2)C(4,2),20

【解析】

【分析】(1)由NC边上的高8〃所在直线方程为x-y+6=0可得直线8〃的斜率为1,根据垂直时斜率

乘积为T可得直线/C的斜率为T,且过工(3,3)即可得到NC边所在直线方程；

(2)联立直线/C和直线CM,即可求出顶点C的坐标.求出ZC的长和2到NC的距离，结合面积公式

即得.

【小问1详解】

,:AC工BH,kBH=1,=-1,，4C方程为：>一3二—(x—3),即x+y—6=0.

【小问2详解】

“x+y3=y6—14=0解得|x=4

联立〔口，C（4,2）.

3+,9+,)_3+，9+z

设巩0+6）,则又5x------3x-------14=0,・・・"20.

22

.,.5（20,26）,2到直线ZC距离为d=|20三—6|=20H而1/二万

"BC的面积为工x20后x&=20.

2

16.如图所示，四棱柱/BCD—481GD1中，底面为平行四边形，以顶点/为端点的三条棱长都为1,且

两两夹角为60°.

⑴求的长；

（2）求证：ACi±BD；

⑶求BDi与AC夹角的余弦值.

【答案】（1）V6（2）证明见解析（3）逅

6

【解析】

【分析】（1）设=1，AD=b»44=。.由4G=Q+1+C,利用向量法能求出的长.

（2）用加=£,AD=b^五彳="表示出行与赤，计算它们的数量积。

+

(3)由西4+~AC=a+b>cos<BD],AC>=,能求出与NC所成角的

\BDi\\AC\

余弦值.

【详解】(1)解：设方=Z，AD=b^~AAx=c

由已知得，a-b=^,b-c=-^,a-c=^,|a|=|&|=|c|=1

又4G=Q+b+0，

.\|AC|=+b+c)=Jl+1+1+1+1+1=V6•

(2)证明：vACX=a+b+c,BD=b-a^

ACX.BD=(a+B+c).仅-a)

=〃.3+忖+c-6-|^|-a'b-a'c

—C'b-a'c

二0

:.AC[1BD

:.ACXVBD

(3)解：*/BDX=b+c-a,AC=a+b-

-77;(b+c—a)-(a+b)

cos<BD,,AC>=-----,—>------

\BDJAC\

Li+3-1

2224

\[2*y/3

y/6

~6

【点睛】本题考查线段长的求法，考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向

量法的合理运用.

17.如图，在四棱锥尸—Z5CD中，底面/BCD为菱形，NBAD=60。,△尸CD为等边三角形，£为棱

PC中点，平面尸。平面45CZ).

■＜，

/l:I\E

/应/:W//\c

/x\\/

/

--------

(1)证明：R4〃平面ADE；

(2)求直线尸2与平面8Z)£所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)V26

IT

【解析】

【分析】（1）利用线线平行证明线面平行;

（2）建立直角坐标系，利用向量法，即可求直线可与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

证明：连接4C交BD于尸，连接E尸，

•••底面4BCD为菱形，・••厂是中点，又•••£为棱PC中点，故EE||PN,

又•；EFu平面BDE,尸平面ADE；.•./》//平面ADE.

【小问2详解】

取CD的中点。，连接OBQP,•:&PCD为等边三角形，・•.PO±CD,

•••平面尸。平面48C。，平面尸£>Cc平面48CD=C。，尸Ou平面尸DC

・•.0尸1.平面48CD,

又••・底面/BCD为菱形，ZBAD=6Q°,：.0BLCD,

故以。为坐标原点，03,OC,。尸所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设C0=4,则5（2百,0,0）,£>（0,—2,0）,0（0,2,0）,尸（0,0,2百）,£（0,1,百），

则反=（0,3,0），丽=（2百,2,0）,设平面BDE的一个法向量为n=（x,y,z）,

nDB=2百x+2y=Q

二平面5DE的一个法向量为拓=（-1,百,-3）,

又•••丽=（2百,0,—20），

设直线PB与平面BDE所成角为，，

・C/成八尸叼4gV26

sin6=cos(PB,n)=__】=/——/=-----.

'/叫司71+3+9x712+1213

故直线PB与平面BDE所成角的正弦值为叵.

13

18.已知坐标原点在圆C:/+>2-2mx+2G叩+4加一4=0的内部.

（1）求实数比的取值范围；

（2）若圆。关于直线/：丘—>—左=0对称，求上的取值范围.

【答案】（1）-1</«<1；

（八1V3

（2）k>-----

2

【解析】

【分析】（1）根据点与圆的位置关系可求式的取值范围；

（2）根据圆关于直线对称可得圆心在直线上，代入圆心坐标得到左与冽的关系式，通过分离常数法求上的

取值范围.

【小问1详解】

:原点在圆。的内部，

4掰2-4<0>

—1<m<1,

【小问2详解】

由圆C方程得。（加，-6加）.

・・,圆。关于直线/对称，

，圆心。在直线/上，即km+y/3m一左二0，

k（jn-1）=-y[3m.

当加=1时，0=一百不成立.

当加工1时，一且一向…+包一回巫,

m-1m-\m-1

-2<772—1<0,

11

.•----<，

m-12

•.•--V-3--<--V-3-，

m-12

s旦>_旦即上的取值范围为左>—也.

m-122

【点睛】思路点睛:本题考查点与圆、直线与圆的位置关系，给出圆的一般方程，点（x°,%）在圆内需满足

xl+yl+Dxo+Eyo+F<O,圆关于直线对称则需圆心在直线上，利用条件得出左与加的关系式，形如

）=竺土二的表达式求取值