2024-2025学年宝鸡市高二数学上学期10月考试卷附答案解析

2024-2025学年宝鸡市高二数学上学期10月考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.设加，〃是不同的直线，a,/?是不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若冽//%冽///?,则。//6B.若ml/a,nL/3,TnLn,则

C.若冽ua,冽_L/?,则。_L〃D.若加//a,〃_L£，加//〃，则1//，

2.已知三角形Z3C的三个顶点分别为4L0）,8（2,-3）,。（3,3）,则43边上的中线所在直线的方

程为（）

A.x-y=0B.x+y-6=0

C.3%—歹―6=0D.3x+y—12=0

3.过点尸（1,1）作直线/,与两坐标轴相交所得三角形面积为1,则直线/有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

4.已知圆C:（x-a『+（y-6）2=1过点则圆。的圆心的轨迹是（）

A.点B.直线C.线段D.圆

5.若a?+b?=2c2（cWO）,则直线ax+by+c=O被圆x?+y2=l所截得的弦长为（）

1J2I-

A.-B.1C.—D.V2

22

6.如图，在空间直角坐标系中有长方体/5CQ—45/CD,AB=\,BC=2,AAi=3,则点B

到直线小。的距离为（）

生G

fl

7.P是椭圆土+匕=1上一点，K、鸟分别是椭圆的左、右焦点，若忸周忸用=12,则4坐的

169

大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.若圆G与圆C2都和两坐标轴相切，且都过点（4,1）,则两圆心的距离|CC2|等于（）

A.4B.4V2C.8D.872

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列说法中正确的是（

A.加=1是直线加工-歹二1与直线％-叩-1=0平行的充分不必要条件

B.加=1是直线必->=1与直线x+m2y-l=0垂直的充分不必要条件

C.经过点尸（3,2）,且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是x-）-1=0

D.若一条直线沿％轴向左平移3个单位长度，再沿〉轴向上平移2个单位长度后，回到原来

2

的位置，则该直线的斜率为

10.已知圆:一+/=/，圆G：（%-。）2+（丁-92=/2,（r>0,且。，6不同时为。）交于不同的

两点/（%,乂），8（%2，%），下列结论正确的是（）

A.。（占一工2）+6（%一%）=0

B.2axi+26%=a2+b2

C.再+%=。

D.%+%=2Z?

ii.一块正方体形木料如图所示，棱长为打，点尸在线段4G上，且整=6-1,过点尸将木料

A.PC1BD

B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台

C.截面的面积为2G

D.以A为球心，43为半径的球面与截面的交线长为叵

2

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知O为坐标原点，^（1,0,0）,3（0,-U）,若次+2湍与砺的夹角为120。，则实数2=

2

13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点片，心在五轴上，48是椭圆的顶点，P是椭圆上一点,

且轴，PFJ/AB,则此椭圆的离心率是.

14.已知直线/：〃a-了+2加=0与曲线C：y=2-"^P"有两个交点，则加的取值范围

为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.设48两点的坐标分别为卜石刀），（V5,0）.直线4攸，可相交于点且它们的斜率之积

是T

⑴求点河的轨迹方程.

⑵若尸（0,1）,在M的轨迹上任取一点。（异于点P）,求线段P。长的最大值.

16.已知a,b,c分别为V48c三个内角/,B,C的对边，JIacosC+V3asinC-6-c=0.

⑴求力;

（2）若a=2,则V4BC的面积为g,求6,c.

17.从两名男生（记为及和与）、两名女生（记为G|和&）中任意抽取两人.

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8C。为直角梯形，AD//BC,CDl^D,AD=CD=2BC=2,

平面PAD_L平面ABCD,PA_LPD,P4=PD.

(1)求证：CDVPA

3

(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；

PM

⑶在棱尸3上是否存在点使得平面尸N8?若存在，求正的值；若不存在，说明理由.

19.已知点。为圆〃：(x-2)2+/=4上的动点，点N(6,0),延长N0至点S使得。为NS的中点.

(1)求点S的轨迹方程.

⑵过圆W外点尸向圆M引两条切线，且切点分别为43两点，求用.而最小值.

⑶若直线/：y=H+3与圆M交于。E两点，且直线的斜率分别为K，e，则匕+&是否为

定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

参考答案

1.【答案】C

【详解】对于A,由“〃/机//，可能得到%平行于久"的交线，不一定有a//£,即A错误;

对于B,不妨取正方体的一部分如下图所示：

此时机//%〃_1_夕,机_1_〃，可得e//。，即B错误；

对于C,由面面垂直的判定定理即可得出C正确；

对于D,由加〃£,〃_1夕,机//〃可得机-17?,可在平面a内找一条直线/满足/J■夕，可得a_L〃，即

D错误.

故选：C

2.【答案】C

【详解】边的中点为

y-3_x-3

・・・43边上的中线所在直线的方程三二二厂，即3x-y-6=0.

J3

2-----2

故选：C

3.【答案】B

【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为歹-1=左(工-1)(左W0),

令x=0,解得)=1-左；令)=0,解得x=l_?.

k

4

化为(k-l)2=±2左，即*一4上+1=0①，F+l=0@,

由于方程①A>0,方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.

因此直线/共有2条.

故选：B.

4.【答案】D

【详解】圆C的圆心为(。力)，半径为1.由于A在圆C上，故(1-『+62=1,也即圆C的圆心(。,6)

满足方程所以圆C的圆心的轨迹方程是=1,所以圆C的圆心的轨迹是

圆.

故选：D

5.【答案】D

\C\1(1：

【详解】试题分析：因为力=忑，所以设弦长为/,贝！I(+d2=r2,即/=2必工7=夜・

考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.

6.【答案】B

【详解】过点8作AB垂直4C,垂足为E,设点E的坐标为(x,y,z),贝UN/(0,0,3),5(1,0,0),

C(l,2,0),丘=(1,2,-3),rk=(x,y,z-3),焦=。-1,y,z).

\A：E//A：C

因为，所以12-3,

BE*AiC=QIjr—1+2v•—3z=。

r5

解得<y=y>所以丽=(一,，1)>

6

,Z=7

所以点3到直线AiC的距离|赤尸处回1,

7

故答案为B

7.【答案】B

22

【详解】•:P是椭圆上+匕=1上一点，K、£分别是椭圆的左、右焦点，

169

尸团+|尸蜀=8,闺阊=24

5

•••1^1-1^1=12,

.•.(忸用+|尸闾)2=64,

:.\PFf+\PF^-40,

在钻尸石中，cosZ^=440——=-1,

2x122

/.ZF{PF2=60°,

故选3.

8.【答案】C

【解析】：两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1),...两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、

纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(生。),(6,6),则有(4七)2+(1七)2=后,(41)2+(11)2=死

即a,b为方程(4-x)2+(l-x)2=》2的两个根,整理得x2-10x+17=0,/.a+b=\0,ab=17.

(a-b)2=(a+b)2-4a6=100-4x17=32,

|CiCi\=^(ci—b)2+(a—b)2=V32x2=8.

9.【答案】BD

777—1—1

【详解】对A,若直线必―>=1与直线x—叼—1=0平行，即一二一w—o加=—1,

1—m—1

故机=1是直线mx-V=l与直线x-W-1=0平行的即不充分又不必要条件，A错；

对B,直线mx—=1与直线x+1"?>一1=0垂直,HPm-=0<=>m=0或〃？=1,

故机=1是直线蛆-了=1与直线工+机2了-1=0垂直的充分不必要条件，B对；

对C,截距相反的直线可能过原点，C错；

对D,该直线显然有斜率，设直线为"+勿+c=0,则沿x轴向左平移3个单位长度，再沿V轴向

上平移2个单位长度后的直线为a(x+3)+b(y-2)+c=0,

即有a尤+6y+c+3tz—2Z>=0,由两直线重合贝!］有3a—26=0=4==—,D对.

b3

故选：BD

10.【答案】ABC

【详解】根据题意：圆G：x2+/=/和圆C2:(x-ay+(y-b)2=/(厂>0)

交于不同的两点N,B,

两圆方程相减可得直线48的方程为：a2+b2-2ax-2by=0,

即2ax+2by-a2-b2=0,

6

分别把点4（无力yi）,B{X2,丫2）两点坐标代入2QX+2勿-/一/二0得：

2axi+—tz2—Z>2=0,2ax?+2by?-a?—=0,

上面两式相减得：2a（石-9）+2b（%-％）=0,即。（再-工2）+伙%）=。，所以选项A正确；

由上得：23+2加=/+/,所以选项B正确；

•・•两圆的半径相等，

，由圆的性质可知，线段与线段互相平分，

EI-占+0+。。+歹20+6b

贝JJ==,==—，

222222

变形可得再+%=。，%+%=6，故C正确，D错误.

故选：ABC.

11.【答案】ACD

【详解】对于A,/CG4是正方体/BCD-45c〃的对角面，则四边形/CG4为矩形，ACHAXCX,

由C£_L平面/BCD,BDu平面得CQ工BD,而4C上8D,

ACnCC^C,AC,CGu平面ACCXAX,则&D/平面ACCXAX,

又尸Cu平面NCG4，因此尸A正确；

对于B,过点P作直线平行于用G交4g，G2分别于N,M,连接BN,CM,

显然MN//4G//BC,则四边形为过点尸及直线BC的正方体的截面，

截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误；

对于C,由选项B得，（=m=W，则C]M=1,CM=J（V3）2+12=2»

因此截面矩形BC九W面积S=8C-CM=2VLC正确；

对于D,过A作力O_L3N于O,由3C_1_平面48片4,ZOu平面48耳4，

得40上BC,而BNCBC=B,BN,BCu平面BCMN,贝1J4。_L平面BCWV,

因此。为以A为球心，NB为半径的球面被平面8CW所截小圆圆心，

球面与截面的交线为以。为圆心，8。为半径的半圆弧，显然NBAO=NB\BN=30。，

B0，AB=2,因此交线长为叵，D正确.

222

故选：ACD

7

12.【答案】-逅

6

【详解】。(0,0,0),A(l,0,0),5(0,-1,1),

04+203=(1,-A,㈤，OB=(0,-1,1),

UU±UULU,---,,..、r

CM+；IOB与03的夹角为120。,

.•.cosl200=(与―」)=〒卫

Vl+2/l2-42V1+2A2-V22

解得八_逅.

6

故答案为：-逅

6

13•【答案】用

5

22

XV

【详解】根据题意设椭圆的标准方程为/十记=1(Q>b>0)f

如图所示则有片（-。,0）,乙（G0）,4（。,0）1（0,6）,

直线3方程为一，代入方程可得所以尸卜，口，

又PF拼AB,所以上巡=薪，

即1°…,整理可得6=2c；

-c-c0一。

…r21

所以=Z?2+=4c2+c2=5c2，BP—=-,

a5

即可得椭圆的离心率为e，=J：=/=@

a\a2V55

故答案为：叵

5

14.【答案】

【详解】由题意得，直线/的方程可化为y=〃?（x+2）,所以直线/恒过定点4-2,0）,

8

又曲线了=2-，4二7可化为/+（〉一2）2=4（04^42）,其表示以（0,2）为圆心，半径为2的圆的下

半部分，如图.

\-2+2m\

当/与该曲线相切时，点（0,2）到直线的距离解得加=o,

7m+1

72-01

设2（2,2）,则卜近2_（_2）=5'

由图可得，若要使直线/与曲线y=2-4?有两个交点，须得0＜加

即m的取值范围为.

故答案为：［o,1.

2

15.【答案】⑴,+/=1(/土行)

（2）1

【详解】（1）设点无，》）,因为/卜囱,0）,如下图所示:

所以直线的斜率勤=六（"

同理直线BM的斜率kBM=*丫加（xW逐卜

-1(x^±V5),化简可得］+/=l(xw

由已知可得=

X+A/5x-75

2

即点M的轨迹方程为获+必=1卜/±码，即点M的轨迹是除去卜石,0）,（技0）两点的椭圆.

（2）设。（/，为），则^_+%2=1,

9

所以忸考+(%-1)2=5-5*+(%_琰，

即间「=-2yo+6=-4b°+；)+*,

根据椭圆范围可得

1,75

所以为=-:时，I尸。I最大为宁,

所以线段尸。长的最大值为g.

16.【答案】（1）5

（2）b=c=2

【详解】（1）根据正弦定理可得sinZcosC+Gsin/sinC=sin3+sinC,

又易知sin易+C）=sinB,

所以sinAcosC+VJsinAsinC=sin（Z+C）+sinC,

可得sinAcosC+V3sin^4sinC=sinAcosC+cos74sinC+sinC,

又sinCwO,整理得6sin/-cosZ=l,即$出（/-。=；，又/e（0,兀），

所以N_巴=乌，即/=巴.

663

（2）由/=乙，S=—besinA=-\/3,得be=4.

32

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA,

所以6+c=4,又bc=4,所以6=c=2.

17.【答案】（1）详见解析（2）0.25;0.167;0

【解析】（1）设第一次抽取的人记为不，第二次抽取的人记为马,则可用数组（网,％）表示样本点.，

有放回地抽样，任取一个，然后与所有的组合，包括自身；无放回抽样，任取一个，然后与剩

下的所有组合；按性别等比例分层抽样，取一个男的，只能与一个女的组合，同样取一个女的，

只能与一个男的组合.这样可一一列举出所有样本点.

（2）分别求出各种抽样中事件A所含样本点的个数，然后计算概率.

【详解】解：设第一次抽取的人记为毛，第二次抽取的人记为马,则可用数组（国,%）表示样本点.

（1）根据相应的抽样方法可知：

有放回简单随机抽样的样本空间

10

Q=｛（4,⑷,（昂矽，（4GJ,（综G2）,（巴,⑷,（鸟㈤）,（刀,G）,（鸟,GJ,

（G，g）,（G，刍）,（G|,GJ,（GI,GJ,G，4）,6也）,（&q）,（0,G2）｝

不放回简单随机抽样的样本空间

5=｛（耳,鸟）,（旦居）,（耳©）,（不国）,（功,5）,（坊&）,（G由）,（G，与）,（GO，

@,4）,但也）,6，5）｝

按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间

R=｛（综GJ,（综G?）,区,5）,（层©）｝

（2）设事件/="抽到两名男生”，则

对于有放回简单随机抽样，/=｛（昂耳）,（昂当），（2心），（%刍）｝，

因为抽中样本空间R中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此

4

P（A）=—=0.25.

v716

对于不放回简单随机抽样，/=｛（厚层）,（当出）｝,

因为抽中样本空间。2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.

21

因止匕尸（/）=历=/。0.167

因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以工=0,因此P（，）=0.

18•【答案】（1）证明见详解

⑵*

（3）不存在，理由见详解

【详解】（1）因为平面平面48cD,平面平面=，

且CD_L4D,CDu平面/BCD,可得CD_L平面尸ND,

因为〃u平面尸/O,所以CD,尸/.

（2）取/。中点。，连接。己。5,

因为=则尸OL4D,

因为平面尸4DJ■平面48CD,平面PADc平面48a>=40,POu平面P4D,

可得尸O_L平面/BCD,

由CM,O3u平面4BCD,可得尸OLGM,尸,

因为。_LAD,BCHAD,AD=2BC,则BC//OD,BC=OD,

11

可知四边形O3CD是平行四边形，则O3L4D,

如图，以。为坐标原点，。4。8,。尸为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,

则0(0,0,0),4(1,0,0),2(0,2,0),C(-l,2,0),Z)(-l,0,0),尸(0,0,1).

可得不=(-1,0,1),丽=(0,2,-1),费=(1,0,0),

元'4P——JQ+z—0

设平面4P2的法向量为k=(x,y,z),贝!){_."

n-PB=2y-z=Q

令3=1,贝l]x=z=2,可得拓=(2,1,2)；

m-CB=。=0

设平面PBC的法向量为所=(a,6,c),贝卜

m-PB=2b-c=Q

令6=1,则。=0,c=2,可得而=(0,1,2)；

E——n-m5V5

mcosn^m=ww\=^~^

所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为』L