2024-2025学年高二年级上册期中考试模拟卷（上海专用）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5.难度系数：0.65„

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.“点A在直线/上”用符号语言可以表示为.

【答案】Ae/

【解析】A在直线/上，即Ac/

故答案为：Ae/

2.在正方体中，M=2,则直线A3到平面CDRG的距离为.

【答案】2

【解析】根据正方体的性质可知，AB//CD.

又ABN平面CDDtCt,CDu平面CDDG,

所以，AB〃平面CDDG.

所以，点A到平面CDAG的距离，即等于直线AB到平面SAG的距离.

又的＞，平面CDD.C.,所以点A到平面CDDG的距离即为AD=AA,=2.

所以，直线A3到平面CDDG的距离为2.

故答案为：2.

3.已知圆柱的底面半径为2,高为2,则该圆柱的侧面积是.

【答案】8兀

【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即27rx2=4兀，另一边长为2,故

圆柱的侧面面积为2x471=871.

故答案为：8兀

4.如图，在正方体ABC。-A用G2中，异面直线48与AC所成的角为

【解析】在正方体ABCD-4瓦G2中，连接AD„CD,,

正方体ABCD-ABCA的对角面A,BCD,是矩形，则CDJ/A.B,

因此ZACQ是异面直线\B与AC所成的角或其补角,

而曲=CDJ=AC=42AB,即△AC0是正三角形，则NAC，=60,

所以异面直线48与AC所成的角为60。.

故答案为：60°

5.圆锥的母线长为2,母线所在直线与圆锥的轴所成角为30。，则该圆锥的高为

【答案】V3

【解析】由已知得该圆锥的高为2cos30=6

故答案为：V3.

6.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且4?=1,O'C'=3,0A=2,则原梯形的面积

【解析】在xQy坐标系中作出直观图对应的原图形0RC,它是直角梯形，如图.

故原梯形的面积为：5=-x(l+3)x4=8,

故答案为：8.

7.已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的近倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小

为.

【答案】y/45

【解析】设斜线和平面所成角为贝hosa=3=也，

故答案为：—.

4

8.已知球的两个平行截面的面积分别为49兀，400兀且两个截面之间的距离是9,则球的表面积为.

【答案】250加

【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为4，4,球的半径为R,

因为兀32=49兀，所以々=7,

又兀•4?=400TI,所以乃=20,

当两截面在球心的同侧时，JR2_72_JR2_202=9,

解得R2=625,球的表面积为4兀玄=2500兀；

当两截面在球心的同侧时，-72+^R2-202=9＞无解；

综上，所求球的表面积为250所.

故答案为：250071.

9.如图，在四棱锥P-A8CD中，以，底面ABC。，底面ABCD是边长为1的正方形，出=1,则侧面PCD

与底面ABCD所成的二面角的大小是.

【答案】45°

【解析】因为底面428是边长为1的正方形，所以ADLCD,

又因为朋1•底面ABC。，CDcJKffiABCD,所以B4J_CD,

因为B4rM£)=A,B4,在面内，所以CD_L平面

又因为POu平面B4O,所以COLPO,

于是NPZM为侧面PCD与底面ABCO所成的二面角的平面角，

因为B4_L底面ABC。，ADcJftffiABCD,PALAD,

又因为B4=l,AD=1,所以/PD4=45。，

于是侧面PCD与底面ABC。所成的二面角的大小为45°.

故答案为：45°.

10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.

(1)直线AF与直线DE相交；

(2)直线CH与直线DE平行；

(3)直线BG与直线DE是异面直线；

(4)直线与直线3G成60。角.

【答案】(3)(4)/(4)(3)

【解析】解:由正方体的平面展开图可得正方体ABCD-EFG8,

可得AF与即为异面直线，故(1)错误；

CH与。E为异面直线，故(2)错误；

直线8G与直线DE是异面直线，故(3)正确；

连接AH,AC,由正方体的性质可得所以NAHC为异面直线CH与直线BG所成的角，因为‘A//C

为等边三角形，所以NAHC=60。，即直线C8与直线3G所成角为60。，故(4)正确；

故答案为：(3)(4).

11.设A3和CD都是平面。的垂线，其垂足分别为反。.已知AB=5,8=9,30=3,那么线段

AC=.

【答案】5或a5?

【解析】如图所示，因为和C。都是平面。的垂线，其垂足分别为反。,

可得A3//CD,且ABLBRCDLBD,

如图(1)所示，当点AC在平面的同侧时，

过点A作AELCD,垂足为E,则Afi/ABD,

又因为A3=5,CD=9,3D=3,可得CE=CD-r>E=CD-AB=4,

在直角/VICE中，oJWAC=VAE2+CE2=A/32+42=5.

如图(2)所示，当点AC在平面的两侧时，

过点A作CO的延长线的垂线，设AFLCF,垂足为尸，则AF〃9,

又因为AB=5,C£)=9,BD=3,nJ^CF=CD+DF=CD+AB=14,

在直角△Ab中，可得AC=jAp2+CF2=,32+14?

故答案为：5或亚？.

图⑴

12.如图，平面。4B_L平面a,OAua,OA^AB,Z(MB=120°.平面。内一点P满足上4_LPB,记直

线OP与平面0A8所成角为e,则tan。的最大值是.

【答案Y

【解析】如图,

取AH的中点为E,连接PE,过点尸作PFLQ4,垂足为尸,

.平面GWBJ_平面a,且平面OAB）平面（z=OA,BF/u平面Q4B,PFua,

:.BH±a,尸尸，平面。山，二。尸在平面。的上的射影就是直线。4,

故NAOP就是直线0P与平面Q4B所成的角6,即/AOP=。，

APua,:.AP±BH,

又：PA±PB,PBBH=B,PB,BHu平面尸3”,

平面P3H,P”u平面尸3”,:.PALPH,

故点尸的轨迹就是平面a内以线段AH为直径的圆（4点除外）,

OA^AB,MZOAB=120,:.ZBAH=6Q,

设OA=a（a>0）,贝=从而A”=AB-cos60=旦，

2

当且仅当PE_LOP,即。尸是圆E的切线时，角6有最大值，tan。有最大值,

a

PEPE4V6

==

tan。取得最大值为：-=/一一2一厂4=I=TT.

°PJOE-PE一趋+?吗212

故答案为：逅.

12

二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正

确选项）

13.下列说法错误的是（）

A.一个棱柱至少有5个面B.斜棱柱的侧面中没有矩形

C.圆柱的母线平行于轴D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

【答案】B

【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.

故选：B

14.已知/是直线，私分是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）

A.若〃/&,〃/£,则a〃£B.若戊_1_尸，〃/（Z,贝！|/1•?

C.若ILaJH/3,则a_LAD.若〃/tz,c〃尸，贝i"〃£

【答案】C

l解版、若ac（3=aajU/3,则有〃/a,〃//?,故可判断A错误.

若ac0=acc,则〃//7或/u/7,故B错误.

若/，/〃/£,则月存在直线与/平行，所以故C正确.

若〃/a,M〃，则〃/6或/u〃，故D错误.

故选：C.

15.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF,其中AB//DC//EF,“羡除'形似“楔体”.“广”

是指“羡除”的二条平行侧棱之长。、6、。，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离机、“袤”是指

这两条侧棱所在平行直线之间的距离〃（如图）.羡除的体积公式为V=（a+.+c）”"，,过线段的，go的

6

中点G,4及直线所作该羡除的一个截面。，已知。刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分.若AB=4、

DC=2,则£尸的长为（）

【答案】B

【解析】因为AB=4、DC=2、AB//DCHEF,G,H为线段A。，5c的中点,

所以G〃〃AB〃CD且GH=g(A5+CD)=3,

(EF+DC+GH)mx^(EF+AB+GH)mx^

所以

VGHCDEFVABHGEF=7

6

n

mx—(EF+7)mx^

即2

VGHCDEFVABHGEF=7

6

n

(EF+7)mx一

2

HGEF565

因为即解得EF=3.

4n4

CDEF(£F+5)mx—

2

6

EF

16.如图，在正方体ABC。-agG，中，点「在线段耳。上运动，则以下命题正确的序号为（）

7T

②平面B{CD与平面BCD的夹角大小为

③三棱锥尸-AG。的体积为定值

IT7T

④异面直线”与4。所成角的取值范围是

A.①②B.①③C.①③④D.①④

【答案】B

【解析】如图，连接3Q,正方形A4G2中，

「正方体的棱8月，平面A4GR,ACU平面ABIGR,二台与，AG，

BByBR=B[,平面即2，所以46_1_平面即2，

又BAU平面班Q,所以同理a。，BA.

AGAD=A，AG，AQU平面AG。，所以平面AG。，①正确；

因为CD,平面BCu平面BC4,所以c。，耳c,

又平面B]CZH平面BCD=CD,BC1CD,3。匚平面38,4Cu平面片C。，

则/第”是平面与平面BCD的夹角，显然三角形网C为等腰直角三角形，则该角大小为j②错;

4

因为A81//AB,A|B|=AB,AB//CD,AB=CD,所以4耳//C£>,4田=C£>,

所以四边形44。为平行四边形，因此有AD//BC，

又A^u平面AGO,200平面AG。，所以耳c//平面AGO,

PeB£,因此P到平面4G。的距离为定值，三棱锥尸-的体积为定值，③正确;

由于AD//BC，因此异面直线AP与4。所成角就是钎与5c所夹的角，

即图中—APC或44尸瓦，设正方体棱长为1,易知做=AC=4C=0,

当点尸为耳C中点时，此时APLBC，

TTJT

因为。AB,C是等边三角形，尸在线段与C,因此/APC或44段中较小的角的范围是y,-,④错误.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.）

17.如图，已知E,£G,H分别是正方体43。）-4瓦62的棱4氏8。,。£6口的中点，且跖与龙相交于

点Q.

⑴求证：点Q在直线DC上；

（2）求异面直线EF与AB,所成角的大小.

【解析】（1）平面ABCD|平面CDD£=DC,

由于QeEBu平面ABCD,Qe//Gu平面,

所以QeDC,也即点。在直线OC上.（6分）

（2）根据正方体的性质可知4片〃DC,

所以异面直线即与AA所成角为NDQE,（8分）

由于AB//DC,E,尸分别是AB,BC的中点，

所以ZDQE=ZFEB=45°,

所以异面直线跖与4耳所成角的大小为45。.（14分）

18.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，。是AC与8。的交点，ZADC=45,AD=AC=2,

POLnABCD,PO=2,M是尸。的中点.

⑴证明：依〃平面ACM

（2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小.

【解析】（1）连接M0,在平行四边形ABC。中,

因为。为AC与3。的交点，

所以。为3。的中点，（2分）

又M为PD的中点，所以PB//MO.

因为平面ACM,MOu平面ACM,

所以尸3〃平面ACM.（6分）

（2）取。。中点N,连接

因为M为的中点，所以MV//PO,且MN=：PO=1,

由POJ_平面ABC£>,得肱V_L平面ABCD,

所以"4V是直线AM与平面ABC。所成的角.（8分）

因为底面ABCD为平行四边形，且4M>C=45。，AD=AC=2,

所以NACD=45，则ZDAC=90，

在RL.ZMO中,">=2,49=1,所以。0=如,从而4"=L。0=仓，

22

因为肱VJ_平面ABCDANu平面ABCD,MN_LAN,

MN'2非「1

所以在Rt_AW中，3/肱^=而=方=有一，/MAN©0,1,

T

所以直线A/Vf与平面ABCD所成角大小为arctan2叵.（14分）

5

19.某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相

等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm,圆柱高为30cm,

底面的周长为24兀cm.

（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到（Men?）；

（2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材

料（按实测面积计算）的造价为每平方卷8不，共需多少元？（结果精确到01元）

【解析】（1）设圆锥的底面半径为心母线长为/,高为4,圆柱高为力2，

贝I」由题意有2Tlz=24兀，得r=12cm,圆锥高％不］!?=16cm,

所以“笼具”的体积v=兀产色+；兀产4=7t^l44x30+|xl44x16^=508871«15984.4cm3,（6分）

（2）圆柱的侧面积£=2无电=720兀cm?,圆柱的底面积邑=兀尸=144兀，

圆锥的侧面积S3=m-l=2407r,

所以“笼具”的侧面积S侧=£+$+'=1lOhrcn?.（12分）

故造50个“笼具”的最低总造价为一厂）=1等a138.7元.（14分）

答：这种“笼具”的体积约为15984.4CH?；生产50个笼具需要138.7元.

20.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD//BC,NBCD=90°,PA=PB,PC=PD.

（1）证明：CD与平面RLD不垂直;

（2）证明：平面平面A3CD；

（3）如果CD=AD+3C,二面角尸-3C-A等于60。，求二面角P-C£>-A的大小.

【解析】（1）若8,平面PAD,

则CD_LPD,

由已知PC=PD,

ZPCD=ZPDC<900,（2分）

这与8LPD矛盾，所以CD与平面上4。不垂直.（4分）

（2）取43、CD的中点E、F,连接尸E、PF、EF,

由丛=尸3,PC=PD,得

PFLCD,

.•.EF为直角梯形的中位线，（6分）

EFLCD,又PFEF=F,

CD1平面PEF,（8分）

由尸Eu平面PEF,得CD_LPE,又钻_LPE且梯形两腰A3、CD必交,

.•./史上平面钻。，

又尸Eu平面R4B,

平面上4B_L平面ABCD,（10分）

（3）由（2）及二面角的定义知/PFE为二面角P-CD-A的平面角,

作EGL3C于G,连PG,

由于PE_L平面ABCD,3Cu平面ABCD,故PELBC,

EGLBC,EGcPE=E,EG,PEu平面PEG，故3cl.平面PEG

PGu平面PEG,所以PGIBC

故NPGE为二面角尸一3C—4的平面角，（12分）

即ZPGE=60°,

由已知，得班=J（AD+BC）=gcD,

又EG=CF=gcD.

EF=EG,

RtPEP=RtPEG.NPEF=ZPGE=60°,

故二面角尸-CD-A的大小为60。.（18分）

21.如图，斜三棱柱ABC-A4G中，AC=BC,。为48的中点，2为44的中点，平面ABC,平面42与4.

（1）求证：直线a。〃平面BGR；

（2）设直线A瓦与直线82的交点为点E,若三角形ABC是等边三角形且边长为2,侧棱⑨二且，且异面

一2

直线3a与A片互相垂直，求异面直线4。与3G所成角；

（3）若48=2,4。=2^=&/血/44?=9，在三棱柱ABC-A^G内放置两个半径相等的球，使这两个球

相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切.求三棱柱ABC-A与G的高.

【解析】（1）斜三棱柱ABC-A4G中，2为A片的中点，。为的中点,

所以=且A2//BO,

所以四边形为平行四边形，

所以AD//B2，（2分）

因为8Ru平面BCQ,4。0平面

所以4。//平面BC|2；（4分）

（2）因为AC=2C,。为AB的中点，所以