2024-2025学年广州市三校高一数学上学期期中联考试卷及答案解析

2024-2025学年上学期期中三校联考

高一数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=<xEZJ\x-^,k€Z>,5=（x|x2-3x-4<0）

i.已知集合〔k+iJ，则zn5=（）

A.{-1,1,2,4}B.{-4,-2,-1,1}A[-1,0）U（0,4]D.[-4,0）U（0,l]

【答案】A

【解析】

【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.

4

【详解】x=——，

左+1

若要XEZ,

则需％+1——4,—2,—1,1,2,4,

所以解得x=-1,—2,—4,4,2」

所以2={-4,—2,—1,1,2,4},,

5={x|X?-3x-4W0）={x|（x-4）（x+1）<0}={x|-1VxV4}

所以NcB={-1,1,2,4}.

故选：A.

2.给出下列命题，其中是正确命题的是（）

A.两个函数=g（x）=T表示的是同一函数

B.函数/（力=1的单调递减区间是（一叫0）1^0,+8）

X

C.若函数/（X）的定义域为[0,2],则函数/（2x）的定义域为[0,1]

2,5

D.命题“Vxe[O,+”），/+i>°，，的否定是“女式一为⑼，x+i<0

【答案】C

【解析】

【分析】先看定义域，再看解析式判断选项A；据减函数定义判断选项B；根据抽象函数定义域，判断选

项C；根据全称量词命题的否定形式判断选项D.

【详解】/（x）=Vx+1-yjx-l,x>1,=Vx2-l,xe（-co,-l]u[l,+co）,定义域不同，故A正

确；

函数〃X）=工的单调递减区间是（7,0）和（0,+。），故B错误；

因为函数/（X）的定义域为[0,2],

所以0WxW2,

所以0<2x<2,解得OWxWl,

所以函数〃2x）的定义域为[0』，故C正确；

命题“\/xe[0,+”），£+i>0”的否定是咱xe[0,+oo）,^2+1<0，?!故D错误.

故选：C

3.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的

k

脉搏率/（单位时间内心跳的次数）与其自身体重少满足/=）（6NO）的函数模型.已知一只恒温动物

肝

兔子的体重为2kg、脉搏率为205次.minT，若经测量一匹马的脉搏率为41次.minT，则这匹马的体重为

（）

A.350kgB.450kgC.500kgD.250kg

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知函数模型代入%=2即可得出左=205x2：，最后再根据脉搏率得出体重.

【详解】根据题意/="?（%"），当%=2时，/=205,则左=205x2：，

当/=41时，则/_205x23_5乂2：，故%=250.

41

故选：D.

4.已知。，仇ceR,那么下列命题中正确的是（）

ah

A.若。>6,则ac1>be2B.若*>—,贝。“>b

C.若a>0,b>0,则生+D.若/>〃且">0,则!<』

abab

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析.

【详解】A.若。>方，当c=0时，ac2-be2>所以A不成立；

nb

B.若一>—，当c<0时，则a<b,所以B不成立；

cc

C.若a>0,b>0,由

.+且“—6=^^+^^=（"一20所以C成立

abababab

a<011

D.若/〉〃且而>0,当，八时，则a<6,所以一〉一，则D不成立.

0<0ab

故选：C.

5.关于8的不等式G2+6X+C<0的解集为（YO,-2）U（3,+CO）,则下列说法正确的个数是（）个.

①。<0；②关于X的不等式历c+c>0的解集为（，》,-6）；③a+6+c>0；④关于光的不等式

ex2-bx+a>0的解集为［一

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的规则，得出。，“c三者之间的关系，进而判断每一个说法的正误，得出本

题结果.

【详解】解：因为关于X的不等式分+6x+c<0的解集为（-8,-2）。（3,+8）,

所以。<0且—2和3是°/+云+。=0的解，所以说法①正确；

由韦达定理得，\"，解得<b=-a

c=-6a

所以历c+c>0即为—ax—6a>0,故x>—6,所以说法②错误；

a+b+c=a—a—6a——6Q>0，所以说法③）正确；

不等式ex?一/+〃>0即为-6ax2+ax+a〉0,

即6x2-x-1>0»解得尤e]_00'_§]u[5'+Q0]，

所以不等式c/一布+a〉0的解集为[一叫°g，+"]，所以说法④正确.

故选：C.

6.已知函数/（x）为定义在R上的奇函数，且在[0,1）为减函数，在[1,+co）为增函数，/（2）=0,则不等

式+-x）20的解集为（）

A.（-«,-l]U[l,3]B.[1,3]U{-1}

C.（-co,-l]U[l,+®）D.[-1,3]

【答案】B

【解析】

【分析】由题意先明确函数/（x）在R上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分xe（-。，-1）、

x=-1和xe三种情况分析（x+l）/（l-x）即可求解.

【详解】由题意可知〃0）=0,/（-2）=0,且〃x）在（一双一1]上单调递增，在（—1,0]上单调递减，如

当xe(-oo,—1)时，x+l<0,l-x>2,故此时+<0；

当x=—1时，满足+—x)20；

当xe(—1,+e)时，x+l>0,l-x<2,

此时(x+l)/(l-x)20,则/(1一x)»0,所以—241—xW0nlWx43,

综上,不等式(x+1)/(1-x"0的解集为[1,3]u{-l}.

故选：B.

7.已知g(x)是定义域为R的函数，g(x)=ax2+2,若对任意的1<再<x?<2,都有

g(xj-g(乙)〉—3成立，则实数a的取值范围是()

X]一马

A.[0,+oo)B,-1,0C.D.+

【答案】D

【解析】

【分析】构造〃(幻=。/+3%+2,根据其在工^(1,2)单调递增，分类讨论即可求解.

【详解】因为对任意的都有g(.)g(X2)>_3成立,

X]-x2

所以8(国)-8(X2)<-3匹+3%2,所以g(%i)+3石<g(%2)+3%2成立,

构造A(x)=g(x)+3x=ax2+3x+2,

所以由上述过程可得7z(x)=a/+3%+2在x£(1,2)单调递增,

....33

(i)若a<0,则对称轴x=----22,解得—V。<0；

02a4

(ii)若。=0,/z(x)=3x+2在x£(l,2)单调递增，满足题意；

3

(iii)若Q>0,则对称轴XQ=―――V1恒成立；

2a

「31

综上，ae——+00,

L4,)

故选：D

8.若对于定义域内的每一个无，都有/(日)=姑(力，则称函数/(x)为“双上倍函数”.已知函数/(x)是

定义在[1,4]上的“双2倍函数”，且当xe[l,2)时，/(x)=-4x2+12x-7,若函数y=/[/(%)]-口恰

有4个不同的零点，则实数a的取值范围为()

A.(1,2)B,[1,4]C.(1,2)U(2,4]D.(1,4]

【答案】D

【解析】

【分析】先根据定义求出函数/(X)的解析式，并作出函数图象，结合图象分析可得.

【详解】由题知，对xe[l,4],都有〃2x)=2〃x)

X

设xe[2,4),则万e[l,2)

所以/(x)=2/(|)=2[-4(1)2+12x|-7]=-2x2+12x-14

X/(2)=-2x22+12x2-14=2

所以/(4)=2/(2)=4

-4x2+12x-7,xe[1,2)

则/(x)=<—2x2+12x-14,xe[2,4)

4,x=4

因为函数y=/[/(1)]-。恰有4个不同的零点，即方程/[f(x)]=。有4个不同的实数根，

记/(X)=加，则方程f{m)=a必有两个不同的实数根为,且/(%)=g和/(x)=m2都有两个不同

实数根，

由图可知，当ae(l,4]时，有附，加2e(l，4]，且加尸加2，此时/(x)=㈣和/⑴=%都有两个不同实

数根，满足题意.

所以，实数。的取值范围为。,4].

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知实数。满足a+qT=4,下列选项中正确的是()

鼠a—a~'=2也B./+丁=14=娓D-J+3=376

【答案】BCD

【解析】

【分析】运用幕的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立a+。7,a-a\J+/+a-2以

33

及+”之间的内在联系即可求得.

【详解】因为a+qT=4,所以a>0,

对于A选项，由(Q—a1)=〃2+〃2—2cl,ciI=(Q+Qi)—4=12,可得Q—QT=+2VS，故A项错

误；

对于B选项，。2+。-2=(。+。-1)2_2。.4一I=]6_2=14,故B项正确；

(J.I_]_

对于C选项，由Q'+QI=Q+QT+2Q，5=6,又Q>0,所以〃贝U

\7

a^-+a3=V6'故C项正确；

331111

对于D选项，因加+Q=(d)3+(J)3=(加+。力伍—1+。一1)=3瓜故D项正确.

故选：BCD.

10.已知x>0,y>0,且x+2y=l,则下列正确的有()

A,孙的最大值是‘B.2',+4)’的最小值是2®

8

C.嚏+j■的最大值是9D,4+J5]的最小值是J5

【答案】AB

【解析】

【分析】由基本不等式逐项判断即可.

【详解】因为x>0,y>0,x+2y=l,

1=x+2j>2^2xy,xy<—,当且仅当x=—,y=工时，等号成立，A正确；

区824

2X+4y=2X+22y>2yj2x-22y=2yj2x+2y=272>当且仅当2"=2?、即x=g/=；时等号成立，B

正确.

即X=y=L时等

3

号成立，C错误;

由2^^Wx+2y得(五十W2(x+2y)=2,所以G+二6,D错；

故选：AB.

(-yr\

11.定义在(O,+e)上的函数/(X)满足下列条件：⑴f-=#(x)-v(j)；(2)当x>l时，

W7

/(X)>0,则()

A./(1)=0B.当0<x<l时，/(x)<0

C./(X2)^2/(X)D./(x)在(1,+s)上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A,取x=y=l可得；B,取x=l,再由条件当x〉l时，

/(x)>0推理可得；对于C,虽能用基本不等式，但因/(x)在(0,+e)上的符号不定，得不出结论；对

于D,运用单调性定义法推导即可.

/V、

【详解】对于A项，由/-=#(X)-V'(J)>取x=y=l,得，/(1)=/(1)-/(1)=0,故A项正

)

确；

1

对于B项，由/—=yf(x)-xf(y),取x=l,因/(1)=0,故/(?=—/(了)，

即/(-)=-f(x)，

X

当0<x<l时，->1,则/(工)〉0,故—/(x)〉0,即/(x)<0,故B项正确；

XX

/、

对于C项,由/—=vf(x)-xf(y),取X=/，可得，=

\y)

91

整理得，)=3+—)/(歹),

因y>0,v+->2,当且仅当歹=1时取等号，但因/(y)的符号不能确定，

故不一定有/(「)22/3),

即/(/)22/(均不一定成立，故C项错误；

对于D项，任取X[〉/〉1,则立〉1,依题意，/(—)>0,而/—=x2/(x1)-x1/(x2),

“2%21%2/

则》2/(再)一再/(9)>0,即如即g(X)=/^在(1,+«0上是增函数.

X]x2X

于是,对于/(X)=xg(x),

任取西〉马〉1，因g(xJ〉g(X2)〉0，则Xlg(xJ〉X2g(X2)，即/(西)〉/(》2)，

即函数/(X)在(1,+。)上单调递增，故D项正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1,_____3(E

12.0.0643+V(-2)4-(7i+e)°-92x—

、3,

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据分数指数惠及根式的运算法则计算即可.

」-(_iY

=[(0.4)3户+22—1—K3)2px3-5

I)

=0.4^+4-1-33X3-2

=2+4-1-3

2

_5

~2'

故答案为：一

2

13.已知暴函数/(x)过点2,宁，若/(a+l)</(3—2a),则实数a的取值范围是.

23

【答案】

352

【解析】

【分析】设出幕函数解析式>=无“代入点待定a,再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.

(亚)

【详解】设累函数〃刈=/,因为函数图象过点2,3-

则2a=1=24，解得a=—J,

22

1

则/(x)=S,其定义域为(0,+动，且/(x)在(0,+。)单调递减.

所以由/(a+l)</(3—2a),

a+1>0

23

可得<3-2a>0解得不<a<二.

32

a+1>3—2a

所以实数a的取值范围是(II)

故答案为:

14.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和，例

如,(1,2)山3,5)的长度(1=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x],其中xeR.设

/(x)=[x].{x},g(x)=x-l,当OWxW左时,不等式/(x)<g(x)解集区间的长度为5,则左的值为

【答案】7

【解析】

【详解】f(x)=[x]-{x}=[x]-(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-l,

f(x)<g(x)^>[x]x-[x]2<x-1即([x]-l)x〈[x]2-l,

当xE[O,l)时,[x]=0,上式可化为x>l,

•••x€0；

当xE[l,2)时,[x]=l,上式可化为0>0,

.••xG0；

当x£[2,3)时,[x]=2,[x]-l>0,上式可化为x<[x]+l=3,

・•・当x@0,3)时,不等式f(x)vg(x)解集区间的长度为d=3-2=1；

同理可得，当x[3,4)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=4-2=2；

・・・不等式f(x)vg(x)解集区间的长度为5,

.,.k-2=5,

•••k=7.

故答案为7.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合Z=<2*<321,5=1x|x2-4x+4-m2<0,meRj-.

(1)若加=3,求；

(2)若存在正实数m,使得“xe4”是“xe8”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.

【答案】(I)zn8=[—1,5]

(2)[4,+00)

【解析】

【分析】(1)解指数不等式，一元二次不等式化简集合45,然后由交集定义计算；

(2)根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；

【小问1详解】

^=<x1<2"<32>=[-2,5]

因加>0,则8=卜卜一(2—机)][x—(2+m)],meR}=[2-m,2+m].

当加=3时，5=[-1,5],所以/C8=[—l,5].

【小问2详解】

因“xwZ”是“xeB”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.

m>0m>0

所以12-mK一2nJm24nme[4,+00),经检验“=”满足.

2+m>5[m>3

所以实数m的取值范围是[4,+co).

16.设^=mx?+(1—加)x+机一2.

(1)若不等式y2-2对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围;

(2)解关于x的不等式加V++eR).

【答案】(1)m>--,

3

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)由题设机V+0—机)》+机之0对一切实数x恒成立，讨论参数m,结合一元二次不等式在实

数集上恒成立列不等式组求范围即可.

(2)讨论机=0、加70,结合一元二次不等式的解法求解集.

【小问1详解】

由题设加炉+(l-m)x+m-2>-2,即mx2+(l-m)x+m20对一切实数x恒成立，

当机=0时，加必+(1-机)x+机=x20不恒成立；

m>0]

当加W0时，只需｛2?，可得冽2—；

A=(l-m)-4m2<03

…1

综上，mN—.

3

【小问2详解】

当加=0时，mx2+(l-m)x+m-2<m-l,即x—2<—1,可得x<l；解集为(一8,1)；

当加w0时，mx2=m(x+—)(x-l)<0,

m

若加<0,贝U(x+2)(x—1)>0,

m

若一-->1,即一1<根<0时，可得X〉^或x<l,解集为(-oo,l)U(-"-,+oo)；

mmm

若—工=1,即机=一1时，可得XW1,解集为(-8,1)51,+8)；

m

若<1,即加<—1时，可得X>1或x<，解集为(一°0,--)U(1,+00)；

mmm

若加>0,贝ij(xd—)(x—1)<0,可得---<X<1,解集为(,1).

mmm

17.学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材.学习机较其他移动终

端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内

存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身

学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存

和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查.某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生

产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机无万部并全部销售完，每万部的销售收

a-4x,0<x<10

入为火(x)万元，且R(X)=，5300b.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完

、XX

时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万

(1)写出年利润少(万元)关于年产量X(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

—4x~+184x—20,0<x<10

【答案】(1)W=\

(2)当x=50时，叶取得最大值为3680万元

【解析】

【分析】⑴根据题意求出,分别求出当0<x<10时和当x>10时的年利润沙=xR(x)-(16%+20),

即可求解；

(2)分类讨论，当0<x410时根据二次函数的单调性求出最大值，当x>10时，根据基本不等式求出最

大值，综合分析即可求解.

【小问1详解】

因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，

所以("4x8)x8-20-8x16=1196,解得a=200,

当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，

所以—义20—20—20x16=2960,解得b=40000,

当0<x<10时，W=x7?(x)-(16x+20)=x(200-4xj-(16x+20)=-4x2+184x-20,

530040000

当x>10时，W=x7?(x)-(16x+20)=x-(16x+20)=-^^-16x+5280,

—4%2+184x—20,0<xV10

综上沙40000

-16x+5280,x>10

【小问2详解】

①当0<x<10时，沙=—4(%—23)2+2096单调递增，所以％ax=犷。0)=1420；

②当时，

x>io^=_12222_16X+528O,

,^40000“理°%6x=1600,

由于------+16x22,

xX

当且仅当竺2"=16X,即x=50>10时取等号,

x

所以此时W的最大值为3680，

综合①②知，当x=50时，少取得最大值为3680万元.

18.双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常

见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：

X—XX.—X

双曲正弦函数sinhx=---------，双曲余弦函数：coshx=----------

22

(1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择(若两个均选择，则按照第一个计分)

①cosh2x-sinh2x=l②cosh2x=cosh2x+sinh2x

(2)请证明双曲正弦函数sinhx在R上是增函数；

(3)求函数y=cosh2x+sinh2x+coshxitR上的值域.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)[2,+8)

【解析】

【分析】(1)根据双曲正弦、余弦函数的定义，利用指数的运算化简，即可得证；

(2)运用单调函数的定义结合指数函数的单调性进行证明即可；

(3)利用整体思想，通过换元的方法转化为二次函数，分析二次函数的单调情况求得值域.

【小问1详解】

(1)若选择①：

由题意sinhx=,coshx=e+e—,贝[j

5，+62+2)—G^+e3-2)4

cosh2x-sinh2x=

4

若选择②:

(e2x+e2+2)+(e2x+e2—2)e2'+e-2、

cosh2x+sinh2=cosh2x.

4-2

【小问2详解】

(2)(1)证明：Vx1?x2GR,且再

22

■:阳<马，:•e"-e"<0,1"—>0,

一e1e2

sinhx{-sinhx2<0,gpsinhx1<sinhx2

所以sinhx在R上是增函数.

【小问3详解】

(3)法一：由(1)知，cosh2x-sinh2x=B

则cosh2%+sinh2x+coshx=2cosh2x-l+coshx，

X.-x°x-x

^t=coshx,贝k=e+e。zye.e=>当且仅当x=0时取等,

22

令/(x)=cosh2x+sinh2x+coshx=g(^t)=2t2-1+t,

又函数g«)在［1,+s)上单调递增，故g(t)2g(1)=2,

故g(f)的值域为［2,+co),即y=cosh2x+sinh2x+coshx的值域为［2,+co)；

法二：，cosh2x+coshx=------------+------------

22

令/=+e-x22，则/=e2-v+e-2x+2ne2x+e-2x=〃—2，

☆/(x)=cosh2x+coshx=g«),则g(/)=!(/_2+J=J_|/+-

所以g⑺在[2,+co)上单调递增，故g(/)»g(2)=2,故g(/)的值域为[2,+co),

即y=cosh2x+sinh2x+coshx的值域为[2,+co).

19.已知函数y=E(x)的定义域为。，/为大于0的常数，对任意xe。，都满足

/(x)〉+I),则称函数丁=E(x)在。上具有“性质A”.

(1)试判断函数歹=2工和函数了=-犬是否具有“性质A”(无需证明)；

(2)若函数y=/(x)具有“性质A”，且/(0)〉/[g],求证：对任意"eN,都有/(〃)〉/(〃+1)；

(3)若函数y=g(x)的定义域为R,且具有“性质A”，试判断下列命题的真假，并说明理由，

①若V=g(x)在区间(-8,0)上是严格增函数，则此函数在R上也是严格增函数；

②若N=g(x)在区间(-8,0)上是严格减函数，则此函数在R上也是严格减函数.

【答案】(1)函数y=2*不具有“性质A"，函数了=-/具有，，性质A”

(2