2024-2025学年广东省部分学校高三年级上册10月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学

检测试题

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题

卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合”=卜区2°},8=卜值<3},则zn（CM）=（）

A.（0,+e）B,[0,+oo）c.（-a>,3]D,（3,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集、补集运算计算即可求得结果，再用区间表示可得答案.

【详解】由5={小43}可知%5={小〉3},

又/={x|x20},故2门（（8）=（3,+oo）.

故选：D.

2.已知2=1—i,则z2=（）

Z

A.2iB.2+2iC.2+3iD.3i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算可得复数z,再平方，即可求解.

221-i2

【详解】因为一=1—i,故z=-=二二=1+乙故z?=2i

z1-i1-i

故选：A.

3已知Q=兀°\b=0.2\c=log7ro.2,贝!J()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，利用“0」分段法”确定正确答案.

【详解】由兀°2>兀°=1,0<0.2"<1,10gli0.2<log」=0,故。>b>c.

故选：D

4,已知2tan(a+/?)=3tana=6,贝1Jtan/?=()

2311

A.一B.-C.-D.一

3572

【答案】C

【解析】

【分析】由题设得tan(a+£)=3,tana=2,结合和角正切公式列方程求目标函数值.

【详解】因为2tan(a+£)=3tana=6,所以tan(a+£)=3,tana=2,

/介\tana+tan^2+tan/?「

所以tan(a+/)=----------=------—=3,

1-tanotan尸1-2tan^

故2+tan4=3-6tan4,解得tan/?=；.

故选：C

5.在△48C中，。为6C边上靠近点。的三等分点，£为线段40(含端点)上一动点，若

ED=AEB+/dEC(2,//GR),贝ij()

A.4+〃=1B.〃=24C.〃=3XD.A-u=--

3

【答案】B

【解析】

【分析】结合图形，运用平面向量的基本定理将近用而和沅线性表示，找到九4的数量关系即得.

【详解】

HI)

________________________

如图，当瓦。不重合时，ED^EB+BD=EB+-BC

3

=EB+-（EC-EB｝=-EB+-EC,即X=L,〃=2,

当E,D重合时，历=0,此时，。=丽=左砺+2左反则必有〃=22成立，

综上，都有〃=2%成立，即只有B始终成立.

故选：B.

s

6.设等比数列｛4｝的前〃项和为S",且%%=3,%%0=9,则个久=（）

A.243B.244C.81D.82

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中项进行转化，得到公比，再由等比数列的前"项和公式得到比值.：

【详解】由等比数列性质可得4%o=%%=9，

设｛4｝的公比为则4==3,

a^ci-j

q(i-

故率=一1—q—1一^/0=1+/=244.

(l-q51-/

S5ax

i—q

故选：B.

7.在四面体48CD中，AB=BC=AC=BD=2,AD=CD=6,且四面体48CD的各个顶点均在球

。的表面上，则球。的体积为（）

,16岳「32岳

R8A/3TI

-----D.----------------k_/.------D.2扃

27927

【答案】C

【解析】

【分析】取ZC的中点为E，根据已知条件证E为RtZUCD的外3且平面进而确定外接

球球心的位置，并求出半径，即可得球的体积.

【详解】如图，取NC的中点为E,由48=8C,则8£J_NC,

连接。E,又AD?+CD?=AC?,故ZDLCD,故E为RtZUCD的外心，

由题设，易得BE=道,DE=1,BD=2,所以BE?+DE?=BD?，即BE，ED,

又4CCED=E,且NC、EQu平面/C。，所以BE,平面/CD,

所以球心。在BE上，设球。的半径为厂，

L2

在RtZkOEC中，0E-+CE2=0C2>BP(V3-r)2+12=：r2,解得厂=下，

所以球。的体积为厂=±仃3=±兀义®叵.

33927

故选：C

(J5,0)的直线/与。交于48两点，线段AB的垂直平分线分别交直线

》=—字和/于点MN,若HB|=WM,贝心的斜率可以为()

A.V3-2B.拒C.2D.2+指

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出曲线C是双曲线1一/=1的右支，设出直线/的方程并与曲线c的方程联立，化简写

出根与系数关系，根据弦长公式求得根据两者相等列方程，由此求得直线/的斜率.

【详解】因为曲线C：X=JC+1»1，X2-/=1(X>1),所以C是双曲线V—/=1的右支，

其焦点为少（血,0）,渐近线为y=±x.

由题意，设/子=左卜—血），且附＞1（故A选项可排除）,

y=k(x-6),

联立《得(左2一1)/一2岳2x+2左2+1=0,4=4(/+])〉0,

x={y?+L

2辰22左2+1

所以q+马=左2_1，//=r_]

左~|=Jl+父XJ(xJ/)2_4X/B

=J1+|x^—xB

2

“2〃+l2k~+2

=Jl+rX-4x———=—：---

k2-l\k--\

f

2左2+2+\[®2立

因为|48|=WM，所以

左2—1-网+—

F-12J

解得左=±（2+C

故选：D

【点睛】方法点睛：

联立方程求交点：通过设出直线的方程并与曲线联立，求得交点坐标.这一步主要是应用代数方法求解二

元一次方程组，是求解斜率的基础.

弦长公式的应用：利用弦长公式计算两点间的距离，并结合题意的垂直平分线性质，建立方程求解.弦长

公式对于确定点间关系至关重要.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线。：2炉+3/=12,则()

A.C的焦点在歹轴上B.C的短半轴长为2

c.C的右焦点坐标为(虚,0)D.c的离心率为］

【答案】BCD

【解析】

【分析】曲线经过变形后可得椭圆标准方程，计算“c的值即可确定选项.

【详解】设椭圆C的长半轴长为。，短半轴长为6,半焦距为J

由题意可得椭圆C的标准方程为《+己=1,所以椭圆C的焦点在x轴上，故选项A错误.

64

由椭圆C的标准方程为—+^=1,畚a=娓,b=2,c=yja2-b2=41，

64

故其短半轴长为2,右焦点坐标为(、历,0),故选项B,C正确.

椭圆C的离心率e='=噌=@,故选项D正确.

。3

故选：BCD.

1II

10.已知正数满足x—JV+1=-----,贝!J()

xy

A.lg(j-x+l)>0B.cosy>co&xC.2025》r〉lD.\y-2\>\x-2\

【答案】AC

【解析】

,IIIIi

【分析】由x—y+l=——；放缩得到不等式y——>x——,构造函数/(久)=y—5,无>0,判断其单调性,

xyyx

推得x<y,对于A,利用对数函数的单调性即得；对于B,通过举反例即可排除；对于C,利用指数函数

的单调性即得；对于D,与B项同，只需举反例排除即可.

1,11

【详解】由题意可得％-一+i=y-一一一，

xyx

令函数/(X)=久-：,久>0,易知/(X)在(0,+8)上单调递增，

由x一，<歹一1可得/(x)</(y),即可得x<y；

%y

对于A,由V>x,可得y-x+l>l,故lg(y-x+1)>0,故A正确；

对于B,分别取x=l(工，丫=二史>四，则cosy<0<cosx,故B错误；

对于D,分别取x=l<=,y=土―2|=直二<|x—2|=1,故D错误；

2222

对于C,因为y—x〉0,2025>1,贝。2025广工>1，故C正确.

故选：AC.

11.已知定义在R上且不恒为0的函数/(x)对任意X/,有/(肛+/(》))=^(田+2,且/(x)的图

象是一条连续不断的曲线，则()

A./(x)的图象存在对称轴B./(x)的图象有且仅有一个对称中心

C./⑺是单调函数D./(x)为一次函数且表达式不唯一

【答案】AC

【解析】

【分析】先证明若/(a)=/(b)时，必有a=b,再通过赋值证明

/(x)=[/(2)-/(l)]x+/(/(2))-/(/(l)),设/(x)=sx+7,由恒等式求s/,由此可得结论.

【详解】取两个实数氏6,a^b,且/(a)#0,

用a替换x,b替换y,有/(ab+/(a))=40)+2,①

用Z,替换x,。替换九有/(仍+/(b))="(a)+2,②

假设/(a)=/(b),①一②可得("A)/(a)=0,

故a=6,这与假设矛盾，

所以awb时，/(a)jtf(b),

故若/(a)=/(b)时,必有a=6,

用/(a)替换x,b替换歹，则原式等价于/(/(a)b+/(/(a))=/(a)/(b)+2,

用/修)替换X,。替换则原式等价于/(/㈤/(/他))=/(。"伍)+2,

则/(a)b+/(/(a))=/0"+/(/0))，

令a=l,则/⑴"/(/⑴)=/(»+/(/(»),

令。=2,则/⑵"/(/⑵)=2/㈤+/(/0)),

两式相减则可得/优)=[/⑵—/⑴]6+/(/(2))_/(/⑴)，

即/(司=卜(2)-/⑴]》+/(/(2))-/(/⑴)，

设/⑵-/⑴="0,/(/(2))-/(/(1))=^0,

则/(x)=sx+Z,代入原条件且令歹=X解得$2》+S/+/=比+2,

故/=f/(s+l)=2,解得s=/=l,

即/(x)=x+l,/(x)存在唯一表达式，D错误；

因为/(x)=x+l,所以函数/(x)是单调函数，C正确；

由表达式可知/(x)存在无数条对称轴，且有无数个对称中心，A正确，B错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先通过合理赋值先证明若/(。)=/("时，必有a=6,再通

过赋值确定该函数为一次函数.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.样本数据90,80,79,85,72,74,82,77的极差和第75百分位数分别为.

【答案】18,83.5

【解析】

【分析】根据极差和百分位数的定义计算即可.

【详解】将这组数据从小到大排列为：72,74,77,79,80,82,85,90,共8个，

极差为90—72=18,

82+85

因为8义75%=6,所以这组数据的第75百分位数为------=83.5.

2

故答案为：18,83.5.

13.已知函数/(切=5M|0、+1[(0〉0)在区间[0,；5)上有且仅有1个零点，则/(x)最小正周期的

最小值为.

71

【答案】-

2

【解析】

【分析】由x的范围，确定+?/=,当0+冬，再结合兀〈生0+&W2兀即可求解.

3U123J123

【详解】因为当xe［。，五］时，0x+］e)因为/(x)在区间［°，石"］上只有1个零点，

故兀<!|0+^42兀，解得|<0<4,故/(x)最小正周期的最小值为牛='.

兀

故答案为：一

2

11a

14.已知数列｛an｝中，％=l,%+i=〃％,则X——=.

k=lakan-k

【答案】1024

【解析】

Ua

【分析】先根据累乘法求得为=(〃—1)!,利用排列数可得X—J=C：°+C；o+C；o+…+C］,进而可

k=iakal2_k

得.

【详的由题意得T=〃*=〃T……>

故a”=a｛--^―-...”二lxlx2x3x...x(〃-l)=(〃-l)!,

an-\an-2a\

且经检验为=0!=1满足该通项公式，

V%］910!10!10!10!

T^akan_k占/——左)！0!10!1!9!10!0!

lo

=C>C；o+C^o+-+C=2=lO24.

故答案为：1024.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然

界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名.仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还

具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分

进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度V（单位:

cm）,与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据:

样本编号i1234

根茎长度玉10121416

植株高度N6286112132

参考数据:20,2792,73490»59.1.

（1）由上表数据计算相关系数厂，并说明是否可用线性回归模型拟合N与X的关系（若H>075,则可用

线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；

（2）求y关于X的线性回归方程.

附：对于一组数据（西,％）,（%，%），…，（Z/"），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关

【答案】（1）r=0.998,可用

（2）y=11.8x-55.4

【解析】

【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得;

（2）根据最小二乘法可得线性回归直线方程.

【小问1详解】

_1_1

易得X=Z(10+12+14+16)=13/=Z(62+86+112+132)=98,

(-36)+(-1)x(-12)+1x14+3x34=236

Z=1

236_236~59

»0.998.

J20>2792-4x,3490〜59.1

则讨>0.75,故可用线性回归模型模拟.

【小问2详解】

b=

ci—y—bx=98—11.8x13=—55.4,

故线性回归方程为v=11.8x-55.4.

16.己知△45C中，角4民。的对边分别为见“c,且2abeosC=a2sin25+b2sin24

（1）求C；

（2）若c=2,求△NBC面积的最大值.

77

【答案】（1）-

4

⑵V2+1

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得C.

（2）利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，进而求得三角形面积的最大值.

【小问1详解】

zy卜qinqinR

由正弦定理及倍角公式得2cosc=2sin25+上sin2Z=-——sin2B+-——sin2^

basin5sinZ

=2sirL4cos8+2sirtScosZ=2sin（Z+8）=2sinC,得cosC=sinC，

即tanC=l,Ce（0,兀），故。=

【小问2详解】

由余弦定理可得,=4=/+〃-y[2ab＞（2-42^ab,

解得必44+28，

当且仅当a=b="+2虚时取等号，

△ABC的面积S="加111cV&+1.

2

故4ABC面积的最大值为V2+1.

17.如图，五面体ZBCDW中，底面四边形/5CD为边长为4的正方形，MN=1.

(1)证明：AB//MN-,

(2)已知G为线段CD的中点，点M在平面48CD上的投影恰为线段5G的中点，直线MG与平面

ABCD所成角的正切值为名叵，求直线AN与平面ADM所成角的正弦值.

5

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

28

【解析】

【分析】(1)先证明Z8//平面CQW,由线面平行性质定理证明ZB//MN；

(2)建立空间直角坐标系，求直线NN的方向向量和平面4a0的法向量，利用向量夹角公式求结论.

【小问1详解】

因为四边形45CD是正方形，所以AB//CD,

又48(2平面cnw,CDu平面CDMN,所以48//平面cnw,

又平面ZBNWc平面=平面所以AB〃MN.

【小问2详解】

记5G的中点为。，的中点为E,48上靠近点8的四等分点为尸，

连接。£,。尸,。河,拉6,则有0E//A8,OF//AD,OMABCD,

又OE,OPu平面45CD,所以(W_LOE,(W_LOP,

故OMQEQF两两相互垂直，

以。为坐标原点，OEQFQM所在的直线分别为x/,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-平，

z，

因为直线MG与平面ABCD所成的角为ZMGO,GO=-BG="+牛=

22

所以tanNMGO=W=3Q5，得MO=2。，

GO5

由题意得，^（3,2,0）,D（3,-2,0）,M（0,0,2V3）,N（-1,0,2塔,

所以病=卜4,—2,26）,方=（0,4,0）,加=卜3,2,2档）.

设平面ADM的一个法向量丘=（x,y,z）,

n-DA=O14y=0

则〈___.，即〈r

n-DM=0-3x+2y+2j3z=0

令x=2,则y=0,z=G,

故为=(2,0,百)为平面/DM的一个法向量.

设直线AN与平面ADM所成的角为a,

|-8+0+6|_V14

则sina-cos〈4N,n）\=-~~?=：

,1।同ZN732x77—28

所以直线NN与平面NZW所成角的正弦值巫.

28

a0,

18.已知函数/(x)=—x-ae+eInx.

2J

(1)当a=l时，求/(x)的最小值；

(2)当a<0时，求/(x)零点的个数;

(3)当时，/(x)>e(x-l),求。的取值范围.

【答案】(1)---

2e

(2)2

(3)[2,+oo)

【解析】

【分析】(1)利用导数研究函数单调性，极值，最值即可；

(2)法一、令g(x)=|x-ae+e",/z(x)=lnx,将原函数分解成两个函数的乘积，分区间讨论结合零点

存在性定理求函数的零点即可；法二、直接解方程分析即可；

(3)构造差函数，由特殊点分类讨论确定aW1时不符合题意，再在a〉1的情形下取特殊值/(e)»0,构

造函数r(a)=-£e+e〃-e?+e,利用不等式恒成立得出一个必要条件ae[2,+co),再证充分性，变换

主元构造q(a)=|x-ae+e",得其单调递增，从而只证。=2时满足题意，利用多次求导判定/(e)20即

可.

【小问1详解】

a=1时，此时f(x)=gxlnx(x>0),/'(%)=g(lnx+1),

令/'(x)=0,解得x=5，

当xe,.]时，单调递减，

当X,+00

时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

故/(X)有唯一极小值点即为最小值点.

1

则/(x)min=f

2e

【小问2详解】

解法一：令g(x)=1^-起+6",〃(%)=lnx,则/(x)=g(x)/(x),

①当xe(0,l)时，g(x)>g(l)=-ofe-1-j+ea>0,A(x)</z(l)<0,则/(x)<0,

②当x=l时，/(x)=0,

、

③当X>1时，A(x)>/z(l)>0,当l,2e------时，/(x)>0,

Ia)

’2e。\

当xe2e-------,+co时，/(x)<0,即x=2e------为/(x)的一个零点,

\a)a

综上所述，/(X)共有两个零点.

解法二：

令/(x)=°，则lru=0或唯一公+』=0,即x=1或x=2e-至-,

2a

2ea2ea

因为a<0时，x=2e------〉2e,故2e-------#1,

aa

故有两个零点

【小问3详解】

x=l时，等号两边成立，满足题意,

(aa)1/e—aea

令/(x)=I—x—tze+eJlux-e(x-1),/=-luxH-------------e+—

(2e")

①当a<0时，由(2)知/2e------<0,不符合题意;

、a?

②当a=0时，/(x)=liu-e(x-l),/(e)<0,不符合题意;

③当0<a<l时，r(l)=e"—ae—e+"1"=e(e"T—1)+冬1—2e)<0,

则必然存在xw(1,d)使得/'3<0,即/(x)在xe(1,名)上单调递减,

而/⑴=0,则/(x)在xe(l,d)上为负,不符合题意；

④当a=l时，Z(x)=^-xlnx-e(x-l),/(2)=ln2-e<0,不符合题意；

⑤当a〉l时，首先/⑴应当满足/(e)»0,即—|e+e〃—e2+eN0,

令r(a)=—■1e+e"—e?+e,则/(a)=—ge+e"〉0在该定义域内恒成立,

即r(a)单调递增，

又注意到「(2)=0,至此，我们得到了满足题意的一个必要条件ae[2,+8).

下面我们证明其充分性:

=-|-x-(2e+e4Z,/(Q)=gx-e+e">0

即对于一个给定的(〃)单调递增，

从而证明Q=2的情形即可，此时/(x)=(x—2e+e2)lnx—e(x—l)/(x)=lnx+匚空—e+1,

re+e

令夕(x)=/'(%)=lnx+^———-e+1,；2(x)=--2^=0,解得x=e2-2e，

JCJC

得到/'(x)在(1,e2-2e)上单调递减，W-2e,+“)上单调递增，

又/'(e)=0可知％=6为/(x)的极小值点，

又/(e)=0可知Z(x)>0对任意xe［1,+“)恒成立，充分性证毕，

综上所述，。的取值范围是［2,+co).

【点睛】思路点睛：第三问先利