第4章计算电磁学

第4章积分方程法4.1引言积分方程法的发展：

1）是由于微分方程法对某些问题的解，需要计算机内存很多，计算精度难于提高，如对三维场的计算，节点剧增，需要寻求更适当方法计算；

2）在此同时，一些从事解析方法和均匀磁化法磁场计算的研究人员从微分方程法的离散概念中吸取有用的东西，将源区进行离散，发展成积分方程法，代表程序有GFUN（可计算二维、三维场）、BIM等程序。第4章积分方程法积分方程法泊松方程的积分形式是由泊松方程的微分形式导出来的，又可由积分形式的Maxwell方程导出，可以证明两者是等价的。本章只做概念性介绍。积分方程法的应用：求解区域内介质数目少，交界面形状不特别复杂的情况。不需要对全部求解区域划分网格，只需对有源区和感应(或极化)产生的“第二次源”区划分网格，节点数大大减少，系数矩阵阶数比有限元(或差分法)的系数阵阶数低得多，在求解时计算时间短、费用低。4.2积分方程法的物理概念和基本公式积分方程法从宏观的角度来描述场，场区中每点的值仅取决于所有场源对它的影响。场点和源点的联系是通过毕奥－萨伐定律实现。由于离散只在源区进行，加上恒定磁场问题的电流分布是已知的，因此实际上离散只在非线性铁区内进行，这使得数据输入和网格剖分大为简化。第4章积分方程法磁场积分方程法主要采取的方法：（1）磁化值直接解法；（2）标量磁位的边界积分法——边界元法；（3）等值面电荷积分方程法。第4章积分方程法磁化值直接解法：（1）积分方程法的物理概念：积分方程法解磁场问题的基本思想是认为在空间任一点的场是由电流源所产生的磁场和介质被磁化所产生的磁场迭加而成：下标为m的量表示由磁介质磁化所产生的磁场。c表示电流源存在所产生的磁场。介质在空间各点所产生的场强的大小不仅取决于它和场点间的几何距离，而且与介质的磁化强度有关，磁化强度除了与本身材料有关以外，还与周围电流源及介质产生的场有关，相互影响，最后趋于稳定，其关系是一个较复杂的非线性关系。第4章积分方程法（2）基本公式：积分方程法求场的基本思想和物理概念，关键问题是求出产生磁场的源在所求场点的场强表达式。a）电流源c

在空间r

处所产生的磁场根据毕奥－萨伐定律，对二维平面对称场和轴对称场，讲义中已经给出了推导。因此导线电流在P点产生的场量可认为是已知量。第4章积分方程法毕奥－萨伐定律如何得出？泊松方程的特解为：r

为场点坐标，r’为源点坐标；场点和源点之间的矩离R=r-r′，其方向由源点指向场点。b）磁介质在场点所产生的磁场第4章积分方程法此公式利用矢量磁位与磁矩概念可以导出，推导过程略。利用此公式可以求出磁介质在空间所产生的磁场分布，但须先知道磁化强度M。实际上一般M

是未知的，因此只有采用先假设的方法，把磁介质剖分为许多单元。I.假设磁化体单元a的磁化强度为Ma，并认为是一个常数，同样b单元中磁化强度为Mb，也为常数。II.取源点为b，场点为a，在上式中，单元内M

看成常数，可以从积分中提出。剩下的积分参数只与单元几何形状、场点位置有关，在确定位置情况下，积分为常数，用Cab

表示：第4章积分方程法III.对所有的场源写出联立方程组：又（在各向同性媒质中）代入上式可得整理可得得到一个具有三个方向分量的联立方程组，系数C是3×3阶张量。第4章积分方程法若磁化率和是已知的，可以写成六个线性方程，有六个未知数：Hax，Hay，Haz，Hbx，Hby，Hbz可求出。但实际上和不是常数，要经过反复迭代进行求解。IV.计算框图：否参数输入，假定值形成系数计算电流场量是解方程求H查B～H

曲线求计算M，H输出第4章积分方程法积分方程法用于求解平行平面场、轴向场情况可以自学，加深对积分方程法的理解。（3）积分方程法的特点：

1)离散区域：只需对电流源和磁性介质进行离散，并且是分别进行考虑，因此可使电流源和磁性介质对称性充分得到利用；

2)不需要专门对边界条件进行讨论：在计算中考虑到了空间所有场源的作用，与外界无能量交换，可以不考虑边界条件；

3)由积分方程法得到的方程组其系数矩阵是满矩阵，离散单元数受到限制，故此法对有限小的无源区的封闭边界问题或饱和情况较复杂的铁区不适用。在使用时要注意各种方法的适用范围；

4)离散铁区与场点的耦合系数都是以积分形式表示，在二维场是二重积分，三维场是三重积分，它们虽然可以用格林定理、高斯定理和椭圆函数等数学手段加以简化，但简化后的结果通常仍需要较复杂的数学运算。在计算时仍需要较长的cpu

时间。第4章积分方程法4.6积分方程法与微分方程法（有限元及有限差分法）的比较积分法微分法基本原理Maxwell方程+媒质特性方程同左处理问题方法从宏观角度描述磁场特性研究场域内各点的具体特点边界条件不存在边界条件需要处理边界条件离散区域电流区和铁区整个区域（包括边界在内）网格划分有限多个单元较多，复杂，需自动划分第4章积分方程法积分法微分法方程组系数矩阵是满秩矩阵系数矩阵是稀疏矩阵计算方法多用高斯消元法，计算cpu时间与(3N)3

成比例多用迭代法，计算cpu时间与(3N)2

成比例计算精度三维场可达百分之一二维场可达千分之一二维场可达万分之一应用范围（1）大气隙、开方式磁铁；（2）永久磁铁。（1）饱和差异大，间隙小的磁铁；（2）具有比较规则的场；（3）计算边界条件一定的场。第4章积分方程法边界积分法是积分方程法求解静磁场的另一种方法，它是利用标量磁位进行的。它能这样做的基础在于：边界是属于铁区的一部分。在铁区的传导电流为0，磁场可用无旋场来处理，体积分利用高斯定理换成了面积分，三维问题变成二维问题，因而简化了网格的复杂性，也加快了计算速度。磁通密度的积分方程磁性材料用磁化矢量表示其特性后，可用等效体电流和面电流来代替其作用。参考书：电机电磁场的分析与计算：TM301.3电磁场数值分析：O441.4第4章积分方程法4.5轴对称静电场计算的电荷密度法4.5.1概述电荷密度法从库仑定律出发，最适用于开放性边界的问题。与有限差分法、有限元法不同，电荷密度法只对边界进行离散化处理，并不在整个区域进行剖分，所以又被称为边界元素法（BoundaryElementMethod）。电荷密度法求解一个三维区域的电磁场分布时，只对该区域的边界面进行剖分；对一个二维区域求解电磁场分布时，只对该区域的边界线进行剖分，这样能降低方程维数，简化问题。第4章积分方程法4.5.2电荷密度法计算静电场的基本原理及公式根据库仑定律，空间一点电荷q

在空间任一点P

处产生的电位为：库仑定律不仅对点电荷适用，对线电荷、面电荷和体电荷也均适用:在空间里，若同时存在N

个充满电荷的各种源，它们在空间任意一点P

处产生的电位，应该是各个子源在P

点产生的电位之和，即只要知道空间电荷分布，就可以利用库仑定律和场的叠加原理，求出空间电位分布，而且这种分布是唯一的。第4章积分方程法第4章积分方程法设环i上电荷在环j

上产生电位为所有子环在j环上产生的电位为式中N为剖分总环数。若令Aji

是仅与电极结构及位置有关的几何参数（求Aji归结为椭圆积分），则有(4.83)第4章积分方程法要求出每个环上电位，得到关于的线性方程组：解这个方程组则可求出每个环上电荷密度的分布，下步就可求出空间任意点的电位分布。可由积分形式的泊松方程求解。4.5.4奇异点的处理在系数矩阵计算中，会出现奇异点，在这些点处，被积函数出现断点。1）当ri

靠近电极端面时，曲率半径小的地方电荷分布多。当ri

靠近电极端面时，处理方法：①采用不均匀划分子区域办法。②仍采用均匀划分区域，但区域里电荷密度不再是常量，可看作是连续变化函数。第4章积分方程法2）第二类奇异点发生在

i=j

情况，即计算小环本身处电荷对电位分布的贡献。在求系数矩阵中Aii

时，要作特殊处理。在参考文献4中，求解

Aii归结为一个旁义积分，具体计算略去，旁义积分收敛为Wi

表示环宽度，ri

为环中点半径。

计算中得到，当电极表面上场点与环中点距离小于该环宽0.2时，Aii计算必须采用上式；对于Wi/ri＜0.2时，上式忽略

二次项式，可得到小于0.01%的精度。求出后，只要计算任一点j

处，N

个Aii

的值，由式(4.83)可求出该点电位分布，进一步可计算粒子轨迹及各种光学参量。第4章积分方程法电荷密度法程序计算框图：输入电极尺寸、电极电压及端分环数输入计算光学参量起始点、步长及电压比分环输出分环情况计算Aji

矩阵高斯消元法输出源电荷及电位计算光学参量及像差计算轴上电位并输出轴上电位分布第4章积分方程法4.5.6主要特点可计算无界开域