艺考生专题讲义41 直线与方程

考点41直线与方程知识梳理一．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．二．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用四．两直线的位置关系(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.(3)两直线相交(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解．(3)平行⇔方程组无解．(4)重合⇔方程组有无数个解．五．三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).六．与对称问题相关的四个结论：(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．精讲精练题型一斜率与倾斜角【例1】(1)(2024·全国高三(理))直线的倾斜角是(2)(旧教材必修2P86练习T3改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．(3)(2024·全国高三月考(理))已知直线的倾斜角为，则【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)因为直线的斜率为所以其倾斜角为故选：D(2)由题意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.(3)因为直线的倾斜角为，所以.又，分子分母同时除以，得，将代入可得【举一反三】1.(2024·浙江衢州市·高三学业考试)直线的倾斜角为()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，故选：D.2．(2024·安徽高三月考(理))直线倾斜角为，则的值为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，所以，.故选：D.3．(2024·北京高三期末)已知、、三点共线，则的值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，则，即，解得.故选：C.4．(2024·安徽六安市·六安一中高三月考(理))直线的倾斜角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为.故选：B.5．(2024·江苏苏州市·高三月考)在平面直角坐标系中，直线与直线垂直，则直线的倾斜角为()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为直线与直线垂直，所以，即，又，所以.故选：D.题型二直线的方程【例2】(1)(2024·全国课时练习)过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－2(2)．(2024·全国课时练习)在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是()A． B．C． D．(3)．(2024·云南省)已知直线过点(1，2)，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则直线的方程为()A．B．C．或D．或【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由两点式得：直线方程，整理得y＝x＋3.故选：A.(2)A：时，，即；时，，即，故正确；B：时，，即；时，，即，故错误；C：时，，即；时，，即，故错误；D：时，，即；时，，即，故错误；故选：A.(3)当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，把点代入方程，得，即，所以直线的方程为．故选：C．【方法总结】【方法总结】1．求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程2．谨防3种失误(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.【举一反三】1．(2024·西安市)过点(5，2)，且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线方程是()A． B．或C． D．或【答案】B【解析】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为即，若截距不为零，设直线方程为：，代入点可得：，故，故直线方程为，故选：B.2．(2024·全国高二课时练习)过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_________.【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0【解析】当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，设轴截距为，则轴截距为，可设直线方程为，将P(1,2)代入方程，可得，得直线方程为x－y＋1＝0.∴综上，直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故答案为：2x－y＝0或x－y＋1＝0.3．(2024·辽宁营口市)已知直线过点，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等，则直线的方程为___________.【答案】【解析】因为直线过点，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等，所以该直线不过原点，设直线的方程为，所以，解得，所以直线的方程为即.故答案为：.题型三直线的位置关系【例3】(1)(2024·北京海淀区·高三期末)已知直线，点和点，若，则实数的值为()A．1 B． C．2 D．(2)已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．2或eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)或－1C.eq\f(1,3) D．－1【答案】(1)B(2)B【解析】(1)，由于，则直线的斜率为即，故选：B(2)因为直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0解得a＝eq\f(1,3)或a＝－1.故选B.【方法总结】【方法总结】1．与两直线的位置关系有关的常见题目类型(1)判断两直线的位置关系．(2)由两直线的位置关系求参数．(3)根据两直线的位置关系求直线方程．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【举一反三】1．(2024·黑龙江哈尔滨市)直线与直线平行，则m等于()A．2 B． C．6 D．【答案】C【解析】由题意，直线与直线平行，可得，解得.故选：C.2．(2024·云南省)直线与直线互相垂直，则的值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，解得．故选：B3．(2024·重庆)已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为()A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】易知的斜率为2，故直线l的斜率为，根据点斜式可得直线l的方程为，整理可得，故直线l在y轴上的截距为，故选：B.4(2024·浙江)已知直线，直线，若，则实数______．【答案】【解析】∵，有，∴，解得或，当时，，，即、为同一条直线；当时，，，即；∴，故答案为：题型四距离【例4】(1)(2024·南昌模拟)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．(2)(2024·安徽池州市)若直线与交于点A，且，则___________．(3)(2024·江苏)两条平行直线与之间的距离为【答案】(1)－eq\f(1,3)或－eq\f(7,9)(2)(3)2(2)联立解得，故，则．故答案为：(3)因为与平行所以由两条平行线间的距离公式可得：【方法总结】【方法总结】1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．【举一反三】1．(2024·浙江湖州市)点到直线的距离是()A． B． C．1 D．【答案】A【解析】点到直线的距离为，故选：A2．(2024·北京房山区)已知点，则线段的中点坐标为()A． B． C． D．【答案】B【解析】由点，则线段的中点坐标为，即.故选：B3．(2024·黑龙江哈尔滨市)直线与直线之间的距离是___________.【答案】【解析】直线可化为：，由平行直线间距离公式可得所求距离.故答案为：.4．(2024·广西桂林市)已知点，直线．(1)求A点到直线l距离；(2)求过点A且与直线l平行的直线的方程．【答案】(1)；(2).【解析】(1)设点A到直线l的距离为d，则(2)方法一：∵直线l的斜率，设过点A且与直线l平行的直线方程为，把点A的坐标代入可得，∴过点A且与直线l平行的直线方程为.方法二：设过点A且与直线l平行的直线方程为,把点A的坐标代入可得：，解得,∴过点A且与直线平行的直线方程为.题型五对称【例5】(1)(2024·全国高三专题练习)点关于点的对称点为()A． B．C． D．(2)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)(3)(2024·黑龙江哈尔滨市)直线关于对称的直线方程为()A． B．C． D．【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)设，则，，∴，，∴点，故选：D.(2)由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.(3)设直线上一点关于直线对称点的坐标为，则，整理可得：，，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.【方法总结】【方法总结】1.点关于点对称的求解方法若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．2.点关于直线对称的解题方法若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．3.线关于点对称的求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4.线关于点对称的实质“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．【举一反三】1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．【答案】x＋4y－4＝0【解析】设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.2.已知直线l：2x－