艺考生专题讲义47 直线与曲线的最值问题

考点47直线与曲线的最值问题知识梳理一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解二．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．精讲精练题型一最值问题【例1】(2024·漠河市高级中学高三月考(文))如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足，．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)为椭圆上一点，又，可得，，即所以椭圆的标准方程是.(2)由(1)知，，直线的方程为，联立，整理得：，解得：，设点，到直线的距离为和，则，，直线与椭圆相交于两点，联立，整理得：，解得：..设四边形面积为，则.设，则，当，即，即时，四边形面积有最大值.【举一反三】1．(2024·四川成都市·高三二模(理))已知椭圆：经过点，其长半轴长为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由已知，即椭圆的方程为．∵椭圆经过点，∴，解得．∴椭圆的方程为．(Ⅱ)由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，．由，消去，得．∵，∴，．∵为点关于轴的对称点，∴．∴直线的方程为，即．令，则．∴．∴△的面积．令，则．∴．∵，∴．∴△的面积的取值范围为．2．(2024·浙江省宁海中学高三月考)已知点，在直线：上(在上方)，，，斜率为的直线交抛物线：于点，，直线交抛物线于点，.(1)求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意可设：，由于与抛物线，直线均有交点，故，，联立与的方程得到，得，而，得到，得，由于与抛物线、直线均有交点，故得，综上，.(2)设，，，，则，，故，记，到直线的距离分别为，则，设：，其中，与抛物线联立得，由韦达定理得，同理设：，由韦达定理得故，由(1)可知，，故，当且仅当，即等故的取值范围是.题型二综合运用【例2】(2024·浙江高三其他模拟)如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．(1)求抛物线的方程；(2)若点，满足，，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为椭圆的离心率为，长轴长为4，，所以，，因为椭圆和抛物线有相同的焦点，所以，即，所以抛物线的方程为．(2)由(1)知椭圆，由得，，得，．设，，则，所以．易知，所以．由得．，得．设，，则，所以，所以．所以，，易知函数在上单调递减，所以【举一反三】1．(2024·辽宁铁岭市·高三一模)已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．(1)若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．(2)设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)是垂直；证明见解析．【解析】(1)由椭圆方程为知，右焦点坐标，直线方程为，点坐标．由知，直线斜率不为0，故设直线的方程为，从而，直线的方程为，令得，点坐标为，故直线的方程来，联立方程组，消去得：，设，，即，，从而，线段的中点，，综上可知，．(2)(ⅰ)当直线的斜率为0时，点即为点，从而．(ⅱ)当直线的斜率不为0时，由(1)知，，，所以，则，直线的方程为，又，令，得，所以点的坐标为，即．2．(2024·浙江期末)如图，已知A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，且，设直线与直线相交于点P，设．(1)求证：A，P，B三点的横坐标成等差数列；(2)当直线经过点，且时，若面积的为，求直线的方程．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】(1)由题意，点A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，设，因为．所以，即，化简得：，①因为，所以，解得，因为，，所以，于是，所以，②由①②可知，即A，P，B三点的横坐标成等差数列．(2)设直线的方程为，代入，得