艺考生专题讲义15 三角函数定义及同角三角函数

考点15三角函数定义及同角三角函数知识梳理一．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\f(180,π)度．二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－三．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).四．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cos_αtan_α；cosα＝eq\f(sinα,tanα).精讲精练题型一角度制与弧度制的转换【例1】填表(弧度数用含的代数式表示)，并在平面直角坐标系中作出角的终边.度弧度【答案】填表见解析，作图见解析【解析】如表，度弧度0如图：对应的角的终边分别为图中的射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.【例2】把下列各弧度化为角度.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)；(2)；(3)；；(5)；(6).1．把下列角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4)．2．(2020·全国课时练习)将下列角度与弧度进行互化.(1)20°；(2)－15°；(3)(4)－.【答案】(1)20°＝；(2)－15°＝－；(3)＝105°；(4)－＝－396°.【解析】(1)20°＝＝.(2)－15°＝－＝－.(3)＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.题型二三角函数定义【例3】(1)已知角的终边经过点，则等于()A． B． C． D．(2)已知角的终边上一点，则()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)D【解析】(1)因为角的终边经过点，所以，所以，故选：A(2)由三角函数的定义可得故选：D【举一反三】1．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，所以．故选：C．2．角的终边过点，若，则的值为()A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由条件可知，由三角函数的定义可知，，解得：.故选：B3．若点在角的终边上，则的值是()A．-1 B．1 C． D．【答案】B【解析】据题意，得.故选：B.题型三三角函数正负判断【例4】(1)已知，那么是()A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角(2)若是第二象限角，则点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】(1)A(2)D【解析】(1)由可知同号，即，从而为第一、二象限角，故选：A(2)因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D【举一反三】1．已知且，则角的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.2．若，且，则角是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】，，又，则.因此，角为第三象限角.故选：C.3．已知，且，则角是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解析】由，可知，结合，得，所以角是第四象限角，故选:D4．(多选)对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为()A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤【答案】BC【解析】若为第二象限角，则，，.所以，为第二象限角或或.故选：BC.题型四同角三角公式【例5】(1)已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于()A． B．－C． D．－(2)已知，且，则()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)A【解析】由条件知α是第四象限角，所以，即sinα＝＝＝.故选：B．(2)且，，，由得：.故选：.【方法总结】【方法总结】知弦求弦、知弦求切---平方关系，注意角象限对应函数值的正负知切求弦---联立方程组即联立平方关系与商数关系【举一反三】1．已知α为第四象限的角，且，则的值为()A． B． C． D．【答案】D【解析】为第四象限的角，且，..故选：.2．已知，且，那么()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，故，，又，解得：故选：B3.已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．【答案】见解析【解析】由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα①又sin2α＋cos2α＝1②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).题型五弦的齐次【例6】(1)已知tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值为．(2)(2020·固原市五原中学高三)已知，则【答案】(1)3(2)(1)原式＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.(2)因为，所以故选：D.【方法总结】【举一反三】1．已知，则的值为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.故选：A.2．已知，则等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D3．，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】，．故选：4．(2020·江苏南京田家炳高级中学)已知，求：(1)；(2).【答案】(1)4(2)【解析】(1)(2)题型六【例7】(1)已知，则()．A． B． C． D．(2)已知，其中，则()A． B．或 C． D．【答案】(1)A(2)D【解析】.所