艺考生专题讲义01 集合

考点一集合知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2)对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．(2)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．题型一元素的特征【例1】已知，则实数的值为()A． B． C．或 D．无解【答案】B【解析】因为，当时，那么，违反集合元素的互异性，不满足题意，当时，，集合为满足题意，实数的值为，故选B.【举一反三】1．已知，则实数a的值为()A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.故选：C2．(多选)已知x∈{1，2，x2}，则有()A． B． C． D．【答案】BC【解析】由x∈{1，2，x2}，当，不满足集合中元素的互异性；当，满足集合中元素的互异性，符合题意；当或(舍)，当满足集合中元素的互异性，符合题意；故选：BC.3．已知集合，则集合中元素的个数为()A．5B．4C．3D．2【答案】C【解析】由,得,故.集合中元素的个数为3,选C.4．已知集合，若，则__________．【答案】1【解析】依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：题型二子集的个数【例2】已知集合，则集合A的子集个数为()A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【解析】由，得，得，所以，因为，所以或，所以，所以集合A的子集个数为.故选：A【方法总结】【方法总结】先化简集合，再判断集合中元素的个数，然后代入对应公式【举一反三】1．集合的非空子集个数为()A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【解析】,集合共有个子集，非空子集个数为4-1=3个，故选：A2．已知集合，集合，则集合的子集个数为()A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】∵，，∴，∴集合的子集个数为8个，故选：D.3．已知集合，则集合的真子集个数为()A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，集合的真子集个数为.故选：A.4．设集合，，，则M中元素的个数为()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意知，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B.题型三集合间的关系【例3】(1)已知集合，，若，则实数的取值集合为()A． B． C． D．(2)设集合，，若，则的最大值为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】(1)D(2)B【解析】(1)∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D．(2)由题，，∵，∴，∴的最大值为2.故选：B．【方法总结】【方法总结】子集求参数时要注意两点子集有参数时，分子集为空集和非空集只有里实外空不取等号【举一反三】1．已知集合，则下列关系中：①；②；③；④；表述正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】集合，则；；；表述均正确.故选：.2．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为()A． B． C． D．【答案】D【解析】当时,，满足条件，所以，当时,，由B⊆A得或，所以或，因此由实数a的所有可能的取值组成的集合为故选：D3．(2020·定远县育才学校高三月考(文))已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为().A． B． C． D．【答案】B【解析】，由且为非空集合可知，应满足，解得故选：B题型四集合间运算【例4】(1)已知集合P=，，则PQ=()A． B．C． D．(2)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}(3)设全集，集合，则()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)C(3)C【解析】(1)故选：B(2)故选：C(3)由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【方法总结】【方法总结】解指数对数不等式式注意以下几点数字换成同底的指数或对数借助指数对数的单调性，即底数大于1，不等号方向不变；指数在（0,1）之间，不等号方向改变对数的真数要大于0，这是易错点根式：开偶次方根，根式大于等于0分式：分母不等于0【举一反三】1.设集合，，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】先解不等式得，解绝对值不等式得，所以.故选：B.2．已知集合，，那么()A． B．C． D．【答案】C【解析】根