艺考生专题讲义29 平面向量

考点29平面向量知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小叫做向量的长度(或模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3.向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．(3)运算律：a－b＝a＋(－b)4.向量的数乘(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．5.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．注意：两向量相加、相减结果仍是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量．向量加法的三角形法则的要点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要点是“起点重合，指向被减”，即作向量减法时，将两个向量的起点重合，然后连接两向量的终点，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点．平行四边形法则的要点是“起点重合”，即两向量的起点相同．6．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量a能用一组基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解。当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。7．平面向量的坐标运算(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝eq\r(x2＋y2).8．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.9．向量相等设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，则x1＝x2，y1＝y2，即坐标对应相等.精讲精练题型一概念的辨析【例1】(2024·全国高三专题练习)下列关于向量的叙述不正确的是()A．向量的相反向量是B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝D．若向量与满足关系，则与共线【答案】C【解析】A选项中，向量的相反向量是，故正确；B选项中，模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确；C选项中，若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则与方向可能相同或相反，故不正确，；D选项中，若向量与满足关系，则与共线，正确.故选：C.【方法总结】【方法总结】(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线【举一反三】1．(2024·全国高三专题练习(文))给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③若(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若，则共线．其中错误的命题的个数为A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当时，不论λ为何值，.④错误，当λ=μ=0时，，此时，与可以是任意向量．故选C．2．(2024·全国高三专题练习)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.③(为实数)，则必为零.④为实数，若，则与共线.其中正确的命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若(为实数)，则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A．3．(2024·全国高三专题练习)下列命题中正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线【答案】C【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C题型二线性运算【例2-1】(2024·山西高三期中)如图，中，E是AB的中点，点F满足，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A【例2-2】(2024·武威第六中学高三月考)在中，为的重心，若，则＝______．【答案】【解析】如图所示，因为为的重心，则点为的中点，根据向量的线性运算和三角形重心的性质，可得：，又因为，所以，所以.故答案为：.【举一反三】1．(2024·河南高三月考)如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则()A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得，故选：D．2．(2024·广东深圳市·明德学校高三月考)在中，点P为中点，点D在上，且，则()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵点P为中点，∴,∵，,∴,∴=,故选：B.3．(2024·全国高三专题练习)设分别为的三边的中点，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A4．(2024·咸阳市高新一中高三月考)在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．【答案】【解析】如下图所示：为的中点，则，为的中点，所以，，因此，，即，.故答案为：；.题型三共线定理【例3】如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．【答案】eq\f(5,11)【解析】注意到N，P，B三点共线，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，从而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).【举一反三】1．(2024·湖北高三学业考试)已知，是不共线的两个向量，若，，，则()A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】D【解析】由，，故，所以，，三点共线.故选：D.2．(2024·河南高三月考)已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则()A． B．C． D．【答案】B【解析】设，因为点是线段的中点，所以所以，所以，即①因为点为线段上靠近的三等分点，所以所以，因为三点共线，所以②由①②可解得故选：B3．(2024·全国高三专题练习)已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.【答案】【解析】∵A、B、P是直线上三个相异的点，，即，所以，，当且仅当，即，时取等号，故答案为：.题型四向量坐标的加减法【例1】(2024·全国高三专题练习)已知点则与同方向的单位向量为()A． B． C． D．【答案】A【解析】,所以与同方向的单位向量为，故选A.【举一反三】1.(2024·全国高三专题练习)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为()A．(－8,1) B．C． D．(8，－1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以，解得，即，故选B.2．(2024·四川资阳市·高三)已知，，，，则向量().A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】，，所有.故选：C题型五向量坐标的垂直平行运算【例2】(1)(2024·河津中学高三月考)向量，若，则k的值是()A．1 B． C．4 D．(2)(2024·海口市·海南中学高三月考)3.设向量，，，且，则()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)A【解析】(1)因为所以，因为，所以，所以故选：B(2)因为，，所以，当时，则有，解得.故选：A.【举一反三】1．(2024·贵州安顺市·高三)已知向量，若，则实数的值为()A． B．-3 C． D．3【答案】B【解析】，，，则有，解得：.故选：B2．(2024·宁县第二中学)已知平面向量，，若，则实数()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.3．(2024·永安市第三中学高三期中)已知向量，，若，且，则实数()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为向量，，则，又，所以，解得.故选：D．4．(2024·西藏拉萨市)设，向量，，，且，，则_____________.【答案】0【解析】因为向量，，，且，，所以，得，，解得，所以.故答案为：0题型六模长【例3】(1)(2024·全国高三专题练习)已知，，则()A．2 B． C．4 D．(2)(2024·舒兰市实验中学校高三学业考试)若，则()A．0 B． C．4 D．8【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由题得=(0,4)所以．故选C(2)因为.所以.故选：B.【举一反三】1．(2024·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)已知向量，，则()A． B．2 C． D．50【答案】A【解析】由题意得，所以，故选：A2．(2024·黑龙江大庆市·大庆中学)已知向量，，若，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，且，则，解得，因此，.故选：B.3．(2024·静宁县第一中学高三)已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则()A．25 B．7 C．5 D．【答案】D【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为，所以，故.故选：D4．(2024·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)设为单位向量，且，则___________.【答案】【解析】∵为单位向量，∴，∴．∴．故答案为：．题型七数量积及投影【例3】(1)(2024·南京航空航天大学附属高级中学高三期中)已知平面向量，，则与的夹角为______.(2)(2024·莆田第十五中学高三)已知，，，则在方向上的投影等于_______.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，，设与的夹角为，则，又，所以，则与的夹角为.故答案为：(2)