课时作业18 正、余弦定理（教师版）

课时作业18正、余弦定1．(2019·江西省信丰中学高三月考)在△中，三个内角所对的边分别是．若，则______．【答案】【解析】∵三个内角所对的边分别是，若∴根据正弦定得，即∴故答案为2．(2024·海南华侨中学高三月考)中，已知，则为__________．【答案】【解析】在中，由正弦定得，所以，又，因此，所以．答案：．3．(2024·山东高三月考)在中，，，，则______.【答案】【解析】由题意得，即，则，，得.4．(2024·肇东市第四中学校高三期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，则△ABC的面积为________．【答案】【解析】由正弦定得sinB＝＝＝，∵b<a，∴B<A，∴cosB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面积为absinC＝.故答案为：5．(2024·云南高三期末())在中，角、、所对的边分别是、、.若，，，则___________.【答案】【解析】因为在中，，，所以，，因此，又，所以由正弦定可得，则.故答案为：.6．(2024·宁夏银川一中高三月考())在中，角、、所对的边分别为、、.若，，时，则的面积为________.【答案】【解析】，且，解得，又，所以，，，，故故答案为：7．(2024·四川石室中学高三其他模拟)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______.【答案】【解析】由题可知，在中，，由正弦定可得，，.故答案：.8．(2024·山东高三期中)若的面积，则______.【答案】【解析】依题意，即，即，所以，由于，所以.故答案为：9．(2024·全国高三专题练习)在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为______.【答案】2【解析】由余弦定得，即，解得，∴，∴，故.故答案为：210．(2024·上海高三二模)在中，内角的对边分别为，若，则______．【答案】.【解析】，而,．故答案为：11．(2019·广西高三月考)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______.【答案】【解析】由根据余弦定，可得.故答案为.12．(2024·广东广州·高三月考)在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.【答案】选①，；选②，；选③，【解析】选择①，，即，化简得：，又，，即，，，，由余弦定得:，解得:，，的面积为；选择②，由正弦定可得，又，，由，即，，即，，由余弦定得，解得：，，的面积为；选择③由及，得：，即，由正弦定得：，，即，，，由，得：，，，，的面积为.13．(2024·昆明呈贡新区中学(云南大学附属中学呈贡校区)高三月考())已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求b的值；(2)若满足，c＝3，求的面积.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)由余弦定可得，又，所以可得.由于，所以.(2)已知，由正弦定可得，由正弦二倍角公式可得，∵，，，，所以或者，当时，，，，，；当时，，，，.综上：的面积为或.14．(2024·广西北海·高三一)已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，，，.又，.(2)据(1)求解知，.又，.又，当且仅当时等号成立，，，此时.15．(2024·安徽高三月考)如图，平面四边形ABCD是由钝角ABC与锐角ACD拼接而成，且，∠BAD=.(1)求∠CAD的大小；(2)若AC=4，CD=，求△ACD的面积.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)在ABC中，∵ACcos∠BAC=BCsin∠ABC，由正弦定得，sin∠ABCcos∠BAC=sin∠BACsin∠ABC，∵sin∠ABC≠0，∴tan∠BAC=1，又∠BAC∈(0，)，∴∠BAC=∵∠BAD=，∴∠CAD=(2)在ACD中，AC=4，CD=，∠CAD=由余弦定得，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD，即10=16+AD2-2×4×AD，解得AD=或AD=3当AD=时，cos∠ADC=，此时ACD为钝角三角形，不满足题意，舍去.当AD=3时，ACD的面积S=AC·ADsin∠CAD=616．(2024·江苏常州·高三期中)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选①，bc＝4，由于csinA＝2sinC，利用正弦定可得ac＝2c，可得a＝2，因为bcosC＝1，可得cosC＝＝，整可得2a＝a2+b2﹣c2，解得b＝c＝2，所以C＝．若选②，acosB＝1，因为csinA＝2sinC，由正弦定可得ca＝2c，解得a＝2，所以cosB＝，由B∈(0，π)，可得B＝，又bcosC＝1，可得acosB＝bcosC，由余弦定可得a•＝b•，整可得b＝c，所以C＝B＝．若选③，sinA＝2sinB，由正弦定可得a＝2b，又csinA＝2sinC，由正弦定可得ca＝2c，可得a＝2，所以b＝1，又因为bcosC＝1，可得cosC＝1，又C∈(0，π)，所以这样的C不存在，即问题中的三角形不存在．17．(2024·河北张家口·高三月考)在中，内角、、所对的边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由正弦定得(*)由余弦定：∴，且∴(2)当时，由(*)得：，当且仅当时取等号所以∴18．(2024·福建莆田一中高三期中)在中，，为线段边上一点，，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【解析】(1)考察，记，由余弦定得：，即化简得：，∴或6，由，，∴，∴为钝角，∴，∴．(2)记，则，由可得，考察，由正弦定可得：即，∴，化简得：，∴，即．19．(2024·河南高三一模())在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，由正、余弦定得，∵，，∴，.(2)由余弦定得，∵，∴，故.20．(2024·西藏昌都市第一高级中学高三期中())已知内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由余弦定可得：，即，即，所以，因为，所以，(2)，解得，由余弦定得：，即，所以，所以的周长为.21．(2024·江苏南通·高三期中)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA＋a＝c.(1)求cosB；(2)如图，D为外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB的长．【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由正弦定得sinBcosA＋sinA＝sinC，又C＝π－(A＋B)，所以sinBcosA＋sinA＝sin(A＋B)，故sinBcosA＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝sinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝.(2)因为D＝2B，所以cosD＝2cos2B－1＝，又在中，AD＝1，CD＝3，所以由余弦定可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝1＋9－2×3×＝12，所以AC＝，在中，BC＝，AC＝，cosB＝，所以由余弦定可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即12＝AB2＋6－2·AB××，化简得AB2－AB－6＝0，解得AB＝.故AB的长为.22．(2024·全国高三专题练习)在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，，______？若三角形存在，求的周长；若三角形不存在，请说明由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】选①：因为，所以由正弦定得，即，即，整得.因为，所以.又，所以.又因为，所以，即.由得:，所以.由正弦定，得，解得，，所以的周长为.选②：因为，所以由余弦定得，即，所以，因为，所以，下同选①.选③：因为，所以由正弦定得，即，又因为，所以，因为，所以问题中的三角形不存在.23．(2024·北京高三期中)如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)角的大小；(2)的面积．条件①：；条件②：．【答案】(1)，具体选择见解析；(2).【解析】选择条件①：解：(1)在中，由余弦定，得.因为，所以.(2)由(1)知，，因为，所以.所以为直角三角形.所以，.又因为，所以.所以.选择条件②：解：(1)在中,，.由正弦定，得.由题可知，所以.(2)由(1)知，，因为，所以.所以为直角三角形，得.又因为，所以.所以.24．(2024·海伦市第一中学高三期中)在中，内角，，的对边分别是，，已知，．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由题意，得．，，，．(2)，由正弦定，可得．，，．．25．(2024·河南高三期中)如图，在四边形中，，，，．(1)求的值；(2)若，求的长．【答案