方法技巧专题03 空间几何体外接球和内切球（解析版）

；方法技巧专题3空间几何体外接球和内切球解析版一、空间几何外接球和内切球知识框架二、求外接球半径常用方法【一】高过外心空间几何体（以空间几何体（以为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;把垂直上移到点，使得点到顶点的距离等于到的距离相等，此时点是几何体外接球球心；连接，那么, 由勾股定理得：.1.例题【例1】已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半径r，∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．2.巩固提升综合练习【练习1】在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.【二】高不过外心高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥，（1）先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;（2）把垂直上移到点，使得，此时点是几何体外接球球心；（3）连接，那么, 由勾股定理得：.1.例题【例1】（1）长方体ABCD−A1B1C1D1（2）已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（）A. B. C. D.（3）已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（）A． B． C． D．【答案】（1）8π（2）D（3）A【解析】（1）因为长方体ABCD−A所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB=2，AD=3，A所以4R2=22（2）正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示在三角形中，解得故棱柱的体积为：故答案为：D.（3）取中点，连接且四边形为平行四边形，又为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足为四边形为矩形，设，则，解得：球的体积：本题正确选项：2.巩固提升综合练习【练习1】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。【练习2】四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【练习3】四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由已知可得，底面四边形为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为，连接，则，，又，设四棱锥外接球的球心为，则，即四棱锥外接球的半径为．此球的表面积等于．故选：C．三、常见空间几何体外接球【一】长（正）方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；2、正方体的外接球半径：（为正方体棱长）；3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径：1.例题【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为________【解析】长方体外接球半径：，所以外接球面积：【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______【解析】设正方体棱长为，则，∴.设球的半径为，则由题意知.故球的体积.2.巩固提升综合练习【练习1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.∴该几何体的外接球的表面积为.故答案为.【练习2】棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（） B． C． D．【解析】平面截面所得圆面的半径为，直线被球截得的线段为球的截面圆的直径，为【二】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法—汉堡模型直棱柱外接球的求法—汉堡模型补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同作图：构造直角三角形，利用勾股定理第一步：求底面外接圆的半径：（为角的对边）；第二步：由勾股定理得外接球半径：（为直棱柱侧棱高度）1.例题【例1】直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BC，【解析】AB⊥BC，AB=3，BC=4，所以底面外接圆的半径：，是直三棱柱，，所以几何体外接球半径；故该球的表面积为:【例2】直三棱柱的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．12π B．16π C．28π【解析】由直三棱柱的底面边长为23，得底面外接圆的半径：，又由直三棱柱的侧棱长为23，则，所以外接球半径，∴外接球的表面积．故选：C2.巩固提升综合练习【练习1】设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，，，则此直三棱柱的高是________.【解析】设边长为，则外接圆半径为，因为所以即直三棱柱的高是.【三】棱锥的外接图2图1类型一：正棱锥型图2图1类型一：正棱锥型（如下图1，以正三棱锥为例，顶点的投影落在的外心上）求底面外接圆半径：（为角的对边）；求出，求出棱锥高度;由勾股定理得外接球半径:.类型二：侧棱垂直底面型类型二：侧棱垂直底面型（如上图2）1）求底面外接圆半径：（为角的对边）；2）棱锥高度;3）由勾股定理得外接球半径:.类型三：侧面垂直于底面---切瓜模型类型四：棱长即为直径（类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径）题设：,且则外接球半径：类型五：折叠模型1.例题【例1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（）A.B.C.D.【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为底面正方形的边长为正四棱锥的体积为，解得在中，由勾股定理可得：即，解得故选【例2】在三棱锥中，，，面，且在三角形中，有，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中，∴∴根据正弦定理可得，即.∵∴∵∴∴由正弦定理，，得三角形的外接圆的半径为.∵面∴∴∴该三棱锥外接球的表面积为故选A.【例3】已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，则球的表面积为．．． ．【解析】，，，，，和所在平面相互垂直，，球的表面积为．故选：．【例4】三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为A． B． C． D．【解析】如图，在等腰三角形中，由，得，又，设为三角形外接圆的圆心，则，．再设交于，可得，，则．在等边三角形中，设其外心为，则．过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线相交于，则为该三棱锥的外接球的球心，则半径．该三棱锥的外接球的表面积为．故选：．【例5】在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，所以，可得，所以，即为外接球的球心，球的半径所以四面体的外接球的表面积为：.故选：B【例6】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为A． B． C． D．【解析】如下图所示，设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，由于，，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，且的面积为，，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱锥的体积为，因此，球的体积为，故选：．【例7】在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH＝2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，则R＝OA则三棱锥外接球的表面积故选：D2.巩固提升综合练习【练习1】已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为()A.B.C.D.【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.【练习2】如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是A． B． C． D．【解析】如图，设，，，，又，，在中，，得：，，，故选：．【练习3】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A−BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD⊥底面ABC，∠BDC=120°根据余弦定理可知：BC可知BC=27根据正弦定理可知∆BCD外接圆直径∴r=2213，如图，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，过球心O向AD作垂线，则垂足H为DH=1，在Rt∆ODH中，R∴外接球的表面积S=4πR3=4π×【练习4】已知三棱锥中，平面，且，.则该三棱锥的外接球的体积为()A.B.C.D.【解析】∵，∴是以为斜边的直角三角形其外接圆半径，则三棱锥外接球即为以C为底面，以为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径满足故三棱锥外接球的体积故选D.【练习5】已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P−ABCD外接球的表面积是（）A.20πB.101π5C.25πD.【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得ME=5,在直角△OME中，x2【练习6】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A.81πB.33πC.56πD.41π【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P−ABCD，其中ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．设F为AB的中点，E为正方形ABCD的中心，O为四棱锥外接球的球心，O1为ΔPAB外接圆的圆心，则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面由于ΔPAB为钝角三角形，故O1在ΔPAB的外部，从而球心O与点P在平面ABCD由题意得PF=1,OE=O设球半径为R，则R2即OE2+∴R2∴S球表【练习7】已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P−ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3πB.2πC.43π【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为1+1+1=3，故其表面积为【练习8】（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD，AD，DE，AE，连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面积为S＝4πR2．故选：A．【练习9】四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，因为,且,所以,所以,所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C【四】墙角型题设：墙角型（三条线两两垂直）题设：墙角型（三条线两两垂直）方法：找到3条两两互相垂直的线段途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．墙角型外接球半径：（分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）1.例题【例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B．【例2】已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．3π B．23π C．43【解析】∵BD=CD=2且ΔBCD为直角三角形∴BD⊥CD又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD∴CD⊥AB∴CD⊥平面ABD由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即R=∴球O的表面积：S=4πR22.巩固提升综合练习【练习1】已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是B．C．D．【解析】该几何体是把正方体截去两个四面体与，其外接球即为正方体的外接球，由．外接球的半径．该几何体外接球的表面积是．故选：．【练习2】在三棱锥一中，，、、两两垂直，则三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．【解析】在三棱锥一中，，、、两两垂直，以、、为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为：．故选：．四、空间几何内切球1.例题【例1】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】，．∴得：，∴．∴．【例2】若三棱锥中，，其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为．【答案】【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等，且每一个面的面积均为．设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，取的中点，连接，，则平面，，，，，解得．内切球的表面积为．故答案为：．2.巩固提升综合练习【练习1】一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为A． B． C． D．【解析】由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分，如图：正方体的棱长为2，内切球的半径为，可得：，解得，几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：．故选：．【练习2】球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是A． B． C． D．【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，，．此圆柱的全面积与球表面积之比是：．故选：．五、球与几何体各棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解1.例题【例1】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的半径为

【解析】对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，即,2.巩固提升综合练习【练习1】把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】六、课后自我检测1．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1，高为设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点，所以外接球的半径所以外接球的体积故选A3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．6π B．6π C．9π【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P−ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．则该阳马的外接球的直径为PB=1+1+4∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(624．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ΔADE，ΔBEF，ΔCDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A'，若四面体AA．5π B．6π C．8π D．11π【答案】B【解析】由题意可知△A'EF是等腰直角三角形，且A'D⊥平面A'EF．三棱锥的底面A'EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1+1+4=∴球的半径为62，∴球的表面积为4π·(65．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是：（）A．8π B．123π C．12π 【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为22∴该三棱柱外接球的半径为：3．则球O的表面积是：4π×(3)26．已知三棱锥O−ABC的底面ΔABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O−ABC的体积为43A．32π3 B．64π3 C．128π3【答案】D【解析】由O为球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心，AB＝6，BC=23，AC=43，可得△ABC为O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得13•OM•12AB•BC=16OM•123=R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的体积为43πR3=43π•64=7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱中，因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径，又由，所以直三棱柱的外接球的直径，所以，所以外接球的体积为，故选C.8．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（）A．6π B．12π C．32π D．48π【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,,设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,所以点O是四面体的外接球球心，且球的半径为.所以四面体外接球的表面积为.故选：B9．已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意,，是直角三角形又平面平面，所以，三棱锥外接球半径等于的外接圆半径,,球的表面积为故选D。10．已知三棱锥的体积为6，在中，，，，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得是直角三角形设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得取边的中点为，则为外接圆圆心连接，则平面，如下图所示：则则球的表面积本题正确选项：11．已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离为由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：12．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为A． B． C． D．【答案】C【解析】平面平面，平面平面，，平面，平面，，所以，是边长为的等边三角形，由正弦定理得的外接圆的直径为，所以，该球的直径为，则，因此，三棱锥的外接球体积为．故选：．13．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以r=R，=，所以球与圆锥的表面积之比为故选：B．14．体积为eq\f(4π,3)的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.【答案】6eq\r(3)【解析】设球的半径为R，由eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4