【19题结构】 第一学期高二数学期末模拟试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一学期高二数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若直线与平行，则（

）A． B． C． D．22．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点0,2，，则该椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．3．在中，已知，，，则边上的中线长为（

）A． B．6 C． D．74．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．5．已知圆经过点，半径为2，若圆上存在两点关于直线对称，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．6．在四面体中，，，，，则的值为（

）A．7 B．9 C．11 D．137．圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（

）A． B．3 C．7或 D．或38．曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（

）①当时，曲线是轴对称图形②当时，曲线关于中心对称③当时，曲线所围成的面积小于④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题9．已知向量，，，则（

）A． B．在上的投影向量为C． D．向量共面10．已知圆，，则（

）A．在圆上存在点，使得B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为C．在圆上存在点．使得D．在圆上存在点，使得11．已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（

）A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为B．若，则的最小值是C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．在正方体中，点是的中点，已知，，，用表示，则.13．已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为.14．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．四、解答题15．已知直线的方程为，求直线的一般式方程，满足：(1)过点，且与平行；(2)过点，且与垂直.16．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱，上的中点．(1)求证：；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．17．已知点，，中恰有两个点在抛物线上，(1)求的标准方程；(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．18．如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离.19．如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为．

(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称．（ⅰ）证明：直线恒过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围．参考答案：题号12345678910答案ABBCDBCCABDAB题号11答案BCD1．A【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可.【解析】由题意可得：，解得，若，则直线、，两直线平行，综上所述：.故选：A.2．B【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.【解析】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点0,2，所以，，，椭圆的标准方程为．故选：B．3．B【分析】需要先求出边的中点坐标，然后根据空间两点间距离公式来计算中线长.【解析】已知，，根据中点坐标公式，中点的坐标为.已知，，根据空间两点间距离公式，.故选：B.4．C【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点，则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解.【解析】如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点，则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，已知正方体棱长为2，所以，设，所以，，设与共线的单位向量，所以点到的距离，令，则当时，，所以直线与之间的距离为.故选：.5．D【分析】由题设得圆心轨迹为，且直线必过圆心，即直线与圆心轨迹有交点，利用点线距离求参数范围即可得结果.【解析】设圆心的坐标为，则，又圆上存在两点关于直线对称，则圆心必在直线上，所以与有交点，则，解得，故的最大值为.故选：D6．B【分析】根据空间数量积的运算律计算可得.【解析】因为，，所以，又，所以，即，即，所以，所以.

故选：B7．C【分析】先分析两圆的圆心和半径，列出相交需满足的条件，再求出公共弦所在直线的方程并表示出三角形面积，由此可计算出的值，注意检验.【解析】圆的圆心为，半径，圆，圆心为，半径，由题意可知两圆相交，且，所以；两圆方程作差可得，即为公共弦所在直线的方程，令，则，令，则，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为，解得或，经检验或满足条件，故选：C.8．C【分析】对于①，设为曲线上的点，则将点代入验证即可判断；对于②，将代入验证，即可判断；对于③④，将曲线与单位圆进行比较即可判断.【解析】对于①，当时，曲线即，设为曲线上的点，则将点代入，方程不变，即曲线关于直线对称，是轴对称图形，①正确；对于②，当时，曲线即，设为曲线上的点，则点关于的对称点为，将代入，即，化简得，即方程不变，故曲线关于中心对称，②正确；对于③，当时，曲线即，设为该曲线上任一点，设为单位圆上任一点，则，，当时，；当时，；不妨取为一定值，此时，则，即曲线所围成的面积大于单位圆面积，③错误；对于④，当时，曲线即，设为该曲线上任一点，则，当时，；设为单位圆上任一点，当时，，则，当或时取等号，则，当或时即可取等号，当时，，故曲线上的点与距离的最小值等于1，④正确，故选：C【小结】难点小结：解答本题的难点在于④的判断，解答时要注意结合单位圆进行比较，即可求解.9．ABD【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可.【解析】对于A，，，，A正确；对于B，，在上的投影向量为，B正确；对于C，，与不垂直，C错误；对于D，，共面，D正确.故选：ABD.10．AB【分析】求出判断A；根据到直线的距离判断B；转化为两圆的位置关系判断C；求出垂直平分线与圆的交点判断D.【解析】由可得，圆心，半径，对于A.，因为，所以，，所以在圆上存在点，使得，正确；对于B，的方程为，即，到的距离为，到直线的距离，而，所以在圆上存在点，使得点到直线的距离为，正确；对于C，以为直径端点的圆，圆心，半径，，两圆外离，两圆没有交点，所以在圆上不存在点．使得，错误；对于D，垂直平分线方程为，直线与圆相交，有两个交点，但是若为，时，，所以在圆上不存在点，使得，错误.故选：AB.11．BCD【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的定义转换可得的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点的坐标，从而判断C；根据线段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D.【解析】对于A，依题意设双曲线（且），即，又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误；对于B，因为，所以，

，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确；对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为．

则，，，所以，，解得，，连接，则内切圆半径，，，，所以轴，点在第二象限，坐标为−2,3，故C正确；对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设Ax1,y1，则，且，作差可得，整理得，即（*），在中，，则，故，即，将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确．故选：BCD．12．【分析】先求出，再求出，即得解.【解析】又是的中点,，，，.故答案为：.【小结】本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．11【分析】先设C的对称点根据斜率关系及中点在对称直线上求出点,再根据数形结合得出距离和最小最后应用两点间距离公式计算即可.【解析】设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，，所以，所以当三点共线时距离和最小为，故的最小值为.故答案为：11.14．/【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以，故答案为：15．(1)(2).【分析】（1）由与平行斜率相等，点斜式可求直线方程，再化为一般式方程；（2）由与垂直，斜率互为负倒数，点斜式可求直线方程，再化为一般式方程.【解析】（1）方法一：由题意的方程可化为，则的斜率为.由与平行，的斜率为，又过，由点斜式知方程为，即.方法二：由与平行，可设方程为，将点代入上式得，所求直线方程为.（2）方法一：由题意的方程可化为，则的斜率为.由与垂直，的斜率为，又过，由点斜式可得方程为，即.方法二:由与垂直，可设其方程为，将代入上式得，所求直线方程为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，可得和，计算其数量积即可得；（2）求出平面与平面的法向量后，借助法向量的夹角的余弦值得到面面角的余弦值.【解析】（1）由正方体性质可得两两垂直，则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，则，所以，则，故；（2）设平面的法向量为n1=又，则，即，令，则可得，设平面的法向量为，又，则，即，令，则可得，设平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17．(1)(2)证明见解析.【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程；（2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点.【解析】（1）将代入抛物线方程，解得，将代入抛物线方程，解得，将代入抛物线方程，解得，根据题意可知，∴的标准方程为（2）∵，∴，∴设直线，则联立方程组得，即，∴，∴，∴，∴直线过动点.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可.【解析】（1）在平面五边形中，∥，，所以四边形是直角梯形，且，在直角中，，且，则，可得，从而是等边三角形，平分.因为为的中点，所以，所以，又因为且平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）取的中点F，连接，过点S作垂直于点，连接，如图，因为平面平面，平面∩平面，所以平面，又平面，则因为，F是的中点，所以，又且平面，所以平面，由平面，则；又因为，所以，则点O是的中点，又，所以，可得.以为原点，以所在的直线分别为轴，轴，如图所示建立空间直角坐标系，则，可得.设平面的一个法向量为，由，令，则.由于平面，设可得，所以；由于点平面，所以，解得，即，由（1）可知，平面，所以点H到平面的距离为.19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）由椭圆过点，其伴随圆过点列方程组即可求得椭圆方程；（2）（i）分直线的斜率不为0和为0两种情况讨论，直线的斜率不为0时可设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆的对称性，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点；（ii）法一：设直线的方程为，分别求出，则可得，结合二次函数的性质即可得的取值范围；法二：表示，再结合二次函数的性质即可得的取值范围；法三：设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简可得，再结合二次函数的性质即可得的取值范围.【解析】（1）因为椭圆E:x2a2+y2所以解得所以椭圆的方程为．（2）（ⅰ）证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，Ax1,y1，Bx联立整理得，则，，，所以，直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上．当时，，即直线恒过定点．当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过．综上，直线恒过定点．（ⅱ）解：法一：由题意知的斜率存在且不为0，，设直线的方程为，Ax1,y1，B，，，由（ⅰ）知且，则，因为，所以，所以，所以，所以，故的取值