广东省惠州市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测 数学

第一学期期末质量监测高一数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.设集合，，则（）A. B.C. D.3.“”是“一元二次不等式的解集为”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件4.方程的解所在的区间为（）A. B. C. D.5已知幂函数，则（）A. B.1 C. D.26.已知，，，则（）A. B.C. D.7.已知函数是R上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（）A. B.C. D.8.中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（单位：dB）与声强Ⅰ的函数关系式为．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A.6倍 B.倍 C.5倍 D.倍二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，若，则（）A.0 B.2 C.4 D.610.角为第二象限角的充要条件是（）A. B.C. D.11.已知为第二象限角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角12.定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（）A.不等式的解集为B.不等式解集为C.不等式的解集为D.不等式的解集为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数（且）的图象恒过定点_________________．14.函数（且）的图象经过点，则函数的反函数____________．15.函数的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是____________．16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）；（2）18.已知且为第二象限角．（1）求和的值；（2）若，求的值．19.（1）已知函数，，求函数的值域；（2）解关于x的不等式：（且）.20.已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．（1）求的解析式；（2）在给定的坐标系内画出的图象；（3）讨论函数（）的零点个数．21.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明.22.已知函数．（1）当时，不等式总成立，求a的取值范围；（2）试求函数（）在最大值．2023—2024学年度第一学期期末质量监测高一数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.解析】.故选：B2.设集合，，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根据真数大于0列不等式组求出集合B，然后由集合并集运算可得.【解析】由解得，所以.故选：B3.“”是“一元二次不等式的解集为”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合一元二次不等式在上恒成立的等价条件判断即可.【解析】充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立；必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立.因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要非充分条件.故选：B.【小结】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了一元二次不等式在上恒成立的等价条件的应用，考查推理能力，属于基础题.4.方程的解所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据零点存在性定理和单调性可解.【解析】解：构造函数，因为，，故，所以函数在内有零点，因为函数是增函数，所以函数有唯一零点.故选：D5.已知幂函数，则（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可.【解析】因为是幂函数，所以，即，所以，.故选：A.6.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比较出大小.【解析】函数在R上单调递增，故，在R上单调递减，，在上单调递减，，故.故选：C.7.已知函数是R上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用单调性去掉函数符号即可求解.【解析】解：由，得或，因为函数是R上的减函数，，，所以有，，所以或.故选：A．8.中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（单位：dB）与声强Ⅰ的函数关系式为．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A.6倍 B.倍 C.5倍 D.倍【答案】D【解析】【分析】得到，故，得到答案.【解析】设普通列车和高速列车的声强分别为，，由得，则，所以.故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，若，则（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】AC【解析】【分析】分两种情况，得到方程，求出答案.【解析】由，得或，解得或，故选：AC10.角为第二象限角的充要条件是（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】为第二象限角时，，，，结合切弦之间的关系即可得解.【解析】为第二象限角时，，，，所以排除D；为第二象限角，A正确；为第二象限角，B正确；为第二象限角，C正确.故选:ABC11.已知为第二象限角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】ABD【解析】【分析】根据的范围得到的范围，分，和，三种情况，求出答案.【解析】由，（），得（），当时，，（），为第一象限角；当时，，（），为第二象限角；当时，，（），为第四象限角.故选：ABD12.定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（）A.不等式的解集为B.不等式的解集为C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】BC【解析】【分析】先得到的单调性，AB选项，变形得到，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由得，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集.【解析】，不妨设，故，即，令，则，故在上单调递减，AB选项，，不等式两边同除以得：，因为，所以，即，根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确；CD选项，由得，因为，所以，即，因为在上单调递减，所以，C正确，D错误故选：BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数（且）的图象恒过定点_________________．【答案】【解析】【解析】试题分析：时，，图象恒过点．考点：对数函数的性质．14.函数（且）的图象经过点，则函数的反函数____________．【答案】【解析】【分析】代入求出，得到，进而求出反函数.【解析】函数（，且）的图象经过点，则，所以，故的反函数故答案为：15.函数的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据题意得到的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则，求出答案.【解析】函数在定义域内单调递增，图象经过一、三、四象限，所以函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则，故，解得.故答案为：16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为________．【答案】【解析】【分析】根据已知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为，可得点第一次落在桌面上时，点走过的路程为：分别以为圆心，为半径，圆心角为的弧长和，求出三段弧长，即可得出结论.【解析】由正六边形的关系可得，，正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为，点第一次落在桌面上时，点走过的路程为：.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则，换底公式计算出答案；（2）利用特殊角的三角函数值进行计算即可.【小问1解析】原式；【小问2解析】原式18.已知且为第二象限角．（1）求和的值；（2）若，求的值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系和的范围得到余弦，进而得到正切值；（2）解法1：诱导公式化简后，化弦为切，结合（1）知，代入求值；解法2：诱导公式化简后，利用和，代入求值.【小问1解析】由，得，∵为第二象限角，所以，故，【小问2解析】解法1：由（1）知，解法2：由（1）知，得，由，得，19.（1）已知函数，，求函数的值域；（2）解关于x的不等式：（且）.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用指数函数单调性求出值域即得.（2）按分类，结合对数函数单调性求解不等式即得.【解析】（1）函数在上单调递增，则，即，所以函数，的值域为.（2）当时，在上单调递减，由，得，解得，因此不等式的解集为；当时，在上单调递增，由，得，解得，因此不等式的解集为；所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.20.已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．（1）求的解析式；（2）在给定的坐标系内画出的图象；（3）讨论函数（）的零点个数．【答案】（1）（2）作图见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；（2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数【小问1解析】设，则因为，故，所以，解得，因此；【小问2解析】当时，，当时，，则，为偶函数，故，故，综上，，画出函数图象如下：【小问3解析】由图可知，，，当时，函数没有零点，当时，函数只有两个零点，当时，函数有四个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点21.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）在R上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）求出定义域，得到，得到函数为奇函数；（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.【小问1解析】，易知的定义域为R，关于原点对称，又，∴是奇函数；【小问2解析】在R上单调递增，理由如下：设，，且，，∵，∴，∴，∴，又，且，∴，即，∴在R上单调递增.22.已知函数．（1）当时，不等式