广西贵港市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|−1≤x≤4}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=(

)A.[0,2] B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2}2.复数1+3i3+i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在数列{an}中，已知a1=1，an+1=A.2 B.3 C.4 D.54.已知α为第四象限角，且tanα=−12，则cosα=(

)A.55 B.−55 5.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标为(4,22)A.4 B.3 C.2 D.16.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg5=0.699，则231是(

)A.9位数 B.10位数 C.11位数 D.12位数7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为(

)A.34米 B.38米 C.316米 8.如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，FA.45

B.35

C.2二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7=9A.{an}的公差为1 B.{an}的公差为210.已知mn≠0，在同一个坐标系下，曲线mx2+ny2=mnA. B.

C. D.11.已知函数f(x)=2cos(x2+πA.f(x)的图象关于点(π6,12)对称 B.f(x)的图象关于直线x=π6对称

C.f(x)12.已知P为正方体ABCD−A1B1C1D1A.B1P⋅BD1=0

B.三棱锥D−PA1C1的体积为定值

C.存在唯一的λ，使得平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若单位向量a，b满足|a−3b|=|2a+14.已知函数f(x)=(ex+ae−x)cosx15.若直线x+3y−1=0是圆x2+y2−2ax−8=016.若m，n是函数f(x)=−x2−ax−b(a>0,b>0)的两个不同的零点，且m，n，3这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则2a+b=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，4asinB=3csinA．

(1)求c的值；

(2)若a=2，求△ABC的面积．18.(本小题12分)

已知四边形ABCD的三个顶点A(1,0)，B(3,−2)，C(4,−1)．

(1)求过A，B，C三点的圆的方程．

(2)设线段AB上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形ABCD的面积.若四边形ABCD为平行四边形，求直线l的方程．19.(本小题12分)

杭州亚运会期同，某大学有200名学生参加体育成绩测评，将他们的分数(单位：分)按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值及这组数据的第60百分位数；

(2)按分层陆机抽样的方法从分数在[50,60)和[90,100]内的学生中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩之差的绝对值大于10分的概率．20.(本小题12分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC=2BC=4，F是PC的中点，且AF⊥PB．

(1)求AP的长；

(2)求二面角B−AF−C的正弦值．21.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(n−1)2n+1+2．

(1)求{an}22.(本小题12分)

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的焦距之比为12．

(1)求椭圆C1和双曲线C2的离心率；

(2)设双曲线C2的右焦点为F，过F答案和解析1.【答案】D

【解析】解：根据题意，可得A={x∈N|−1≤x≤4}={0,1,2,3,4}，

因为B={−2,−1,0,1,2}，所以A∩B={0,1,2}．

故选：D．

根据题意，先确定出集合A的元素，再根据交集的运算法则算出答案．

本题主要考查集合的概念与表示、交集的运算法则等知识，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：∵1+3i3+i=(1+3i)(3−i)10=35+45i，

∴复数3.【答案】C

【解析】解：因为a1>0，所以an+1=an1+2an>0，

两边取倒数，可得1an+1=1an+2，

则{1an}是首项为1，公差为2的等差数列，

4.【答案】C

【解析】解：由题意，sinα=−12cosα，又sin2α+cos2α=1，联立可得cos2α=45．

又5.【答案】A

【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为点A，B在抛物线上，可得y12=2px1,y22=2px2,，两式作差可得y6.【答案】B

【解析】解：记231=M，则31×lg2=lgM，

则lgM=31×(1−lg5)=9.331，则M=109.331∈(109,1010)，

故231是7.【答案】B

【解析】解：如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，

每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点，

现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，

该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，

由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，12为公比的等比数列，

设最小的正三角形的边长为3×(12)n−1米，则9[1−(12)n]1−12≤17，则(128.【答案】D

【解析】解：由3F2A=−2F2B，设|F2A|=2t，|F2B|=3t，(t>0)，

则|AB|=5t，由对称性知，|F2B|=|F1B|=3t，

因为F1在以AB为直径的圆上，则|F1A|=4t，cos∠F1AB=45，

由椭圆的定义知|F1A|+|F2A|=6t=2a，所以a=3t，

9.【答案】ACD

【解析】解：设{an}的公差为d，

a7=9，S4=3a4，

则a1+6d=9,4a1+6d=3a1+9d,解得a10.【答案】CD

【解析】解：因为mn≠0，所以曲线mx2+ny2=mn与直线mx+ny=mn可化为曲线x2n+y2m=1与直线xn+ym=1．

当m=n>0时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等．A不正确．

当m>n>0时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小．B不正确．

当n>m>0时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大．C正确．

当n>0>m时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负．11.【答案】AC

【解析】解：∵f(x)=2cos(x2+π3)cosx2=2(12cosx2−32sinx2)cosx2=cos2x2−3sinx2cosx2=12cosx−3212.【答案】BC

【解析】

解：建立空间直角坐标系，如图所示：

因为BP=λBA+(1−λ)BC，0<λ<1，所以P为线段AC内的点，

设AP=tAC，t∈(0,1)；

B1P=B1A1+A1A+AP=B1A1+A1A+tAC=(−1,0,0)+(0,0,1)+(t,t,0)=(t−1,t,1)，

BD1=BD+DD1=(1,1,0)+(0,0,−1)=(1,1,−1)，

所以B1P⋅BD1=t−1+t−1=2t−2<0，选项A错误；

三棱锥D−PA1C1的体积为V三棱锥D−PA1C1=13S△PA1C1⋅12BD=13.【答案】12【解析】解：因为a、b是单位向量，所以|a|=|b|=1，

又因为|a−3b|=|2a+b|，所以a214.【答案】−1

【解析】解：因为f(x)是奇函数，

所以f(−x)=(e−x+aex)cos(−x)=(e−x+aex)cosx=−f(x)=−(ex+a15.【答案】1

【解析】解：由题可知，该圆的圆心为(a,0)，

因为直线x+3y−1=0过圆心，所以a−1=0，解得a=1，

所以圆的方程为(x−1)2+y2=9，

因为圆心与P(2,3)的距离为(2−1)2+(3)216.【答案】24

【解析】解：由题可知，m+n=−a<0mn=b>0，则m<0n<0，

因为m，n，3这三个数可适当排序后成等比数列，

则3必是等比中项，则mn=b=9，

又m，n，3这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，

若m是等差中项，则2m=n+3=9m+3，

解得m=−32，n=−6，则a=−(m+n)=152，

故2a+b=24，

若n是等差中项，则2n=m+3=9n+3，又n<0，

解得n=−32，m=−6，

则a=−(m+n)=152，

故2a+b=24．

故答案为：24．

由韦达定理求出17.【答案】解：(1)∵4asin B=3csinA，∴4ab=3ac，则4b=3c．

又b=3，所以c=4．

(2)∵a=2，∴cosA=b2+c2−a22bc=78【解析】(1)利用正弦定理求解；

(2)利用余弦定理与三角形的面积公式求解．

本题考查正余弦定理的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为A(1,0)，B(3,−2)，C(4,−1)，所以kAB=−2−03−1=−1，kBC=−1−(−2)4−3=1．

由kAB⋅kBC=−1，得AB⊥BC，

则过A，B，C三点的圆的圆心为线段AC的中点(52,−12)，半径r=12|AC|=12(4−1)2+(−1−0)2=102，

则过A，B，C三点的圆的方程为(x−52)2+(y+12)【解析】(1)结合直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，两点之间的距离公式，即可求解；

(2)结合平面向量的坐标运算，以及求出点F，再结合直线的点斜式方程，即可求解．

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，10×(0.01+0.015+a+0.025+0.03)=1，

解得a=0.02，

因为0.1+0.15+0.25=0.5<0.6，0.1+0.15+0.25+0.3=0.8>0.6，

所以这组数据的第60百分位数位于[80,90)，设其为x，

则0.5+(x−80)×0.03=0.6，

解得x=2503；

(2)由题可知，从分数在[50,60)内的学生中抽取6×0.10.1+0.2=2人，记为A，B，

则分数在[90,100]内的人数为4，记为a，b，c，d，

从中任选2人，样本空间Ω={(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，

(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}，

这2人成绩之差的绝对值大于10分的样本空间R={(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)}，【解析】(1)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出a的值，再利用百分位数的定义求这组数据的第60百分位数即可；

(2)利用古典概型的概率公式求解．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABC，AB⊥BC，过B作平行于AP的直线Bz，

所以以B为坐标原点，BC，BA，Bz所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AP=a，由AC=2BC=4，得B(0,0,0)，A(0,23,0)，P(0,23,a)，C(2,0,0)．

因为F是PC的中点，所以F(1,3,a2)，

所以AF=(1,−3,a2)，BP=(0,23,a)，

又因为AF⊥PB，所以AF⋅BP=−6+a22=0，

解得a=23，所以AP=23；

(2)由(1)可知，F(1,3,3)，

所以AF=(1,−3,3)，AB=(0,−23,0)，AC=(2,−23,0)，

【解析】(1)建立空间直角坐标系，设AP=a，由AF⋅BP=0建立方程，求解即可；

(2)求出平面ABF和平面AFC21.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，由Sn=(n−1)2n+1+2，得Sn−1=(n−2)2n+2，

则an_=Sn−Sn−1=(n−1)2n+1−(n−2)2n=n×2n，

因为a1=2=1×21，

所以【解析】(1)由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；

(2)先求数列{n+2n+1a22.【答案】解：(1)易知椭