初中数学同步九年级上册华师版《压轴题》专题01与二次根式有关运算的六种考法含答案及解析

专题01与二次根式有关运算的六种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 3类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式 4类型三、复杂的复合二次根式化简 5类型四、分母有理化 10类型五、比较二次根式的大小 13类型六、二次根式中的规律探究问题 18压轴能力测评（10小题） 23解题知识必备知识点一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.知识点二：二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；知识点三：二次根式的性质1.二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．2.二次根式的性质：（）3.二次根式的性质：知识点四：二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广:，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：知识点五：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广：.知识点六：最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.知识点七：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点八：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点九：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）压轴题型讲练类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式例1.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式例2.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（

）A． B． C． D．【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（

）A． B． C． D．【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（）A． B． C． D．【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．类型三、复杂的复合二次根式化简例3.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：．请仿照上例化简下列各式：(1)；(2)．【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考①，②，③，④，在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①②【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化简求值．类型四、分母有理化例4.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．请仿照上面的方法，解决下列问题：(1)计算：，；若n为正整数，请你猜想．(2)计算：；【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题：(1)填空：_______，_______；(2)化简：．【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化简；(2)．【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的:请你根据小明的分析过程，解决如下问题(1)化简：(2)若，求的值．类型五、比较二次根式的大小例5.（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化简：．[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：（3）试利用分子有理化比较和的大小．【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：(1)化简：______，______；(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化简：；(3)比较，的大小，说明理由．【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)化简；(2)比较与的大小，并说明理由．类型六、二次根式中的规律探究问题例6.观察下列各式及验证过程：，验证；，验证，验证(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．【变式训练1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．【变式训练2】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）【规律探究题】观察下列运算：①由，得；②由，得；……问题：(1)______；______；(2)利用（1）中发现的规律计算：．【变式训练3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；（材料二）化简：．解：．【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．压轴能力测评（10小题）一、单选题1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（

）A．2 B． C． D．-22．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．二、填空题4．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）化简：；当时，．5．（2022·湖北武汉·模拟预测）观察下列各式：①，②，③，…，请写出第6个式子：，用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：．6．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”．三、解答题7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式①；②；③……请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：(1)_________；(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；(3)用上述规律计算：．8．（22-23八年级上·湖南永州·期末）观察下列各式及其化简过程：，．(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；(2)化简；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．9．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题．；；；…(1)请直接写出第5个等式：；(2)利用上述规律，比较与的大小；(3)直接写出．10．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）特例感知化简：．解：．（1）请在横线上直接写出化简的结果：①__________；②__________．观察发现（2）第n（n为正整数）个式子是，请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．拓展应用（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算．①；②．

专题01与二次根式有关运算的六种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 3类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式 4类型三、复杂的复合二次根式化简 5类型四、分母有理化 10类型五、比较二次根式的大小 13类型六、二次根式中的规律探究问题 18压轴能力测评（10小题） 23解题知识必备知识点一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.知识点二：二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；知识点三：二次根式的性质1.二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．2.二次根式的性质：（）3.二次根式的性质：知识点四：二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广:，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：知识点五：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广：.知识点六：最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.知识点七：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点八：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点九：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）压轴题型讲练类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式例1.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，，∴中，，∴，故答案为：．【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．【答案】5【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.【详解】解：∵∴.故答案为：5【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．【答案】/【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键．根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解．【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，，∴，故答案为：．类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式例2.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．【详解】∵，，∴原式，，故选：．【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果．【详解】解：，与异号，，，，则．故选：C．【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案．【详解】解：∵，∴，故，∵，∴，∴．故选：D．【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．【详解】根据题意有：，，∴，即，∴，故答案为：．类型三、复杂的复合二次根式化简例3.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：．请仿照上例化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；【详解】（1）解：，；（2）解：，．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1）解：；（2）；（3）∵，∴，，∴又∵、n为正整数，∴，或者，∴当时，；当时，．∴a的值为：或．【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考①，②，③，④，在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．（1）根据二次根式的性质即可求解；（2）根据（1）中的材料化简即可．【详解】（1）解：①，②，③，④，在上述化简过程中，第④步出现了错误，故答案为：④，；（2）解：①原式；②原式．【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化简求值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．【详解】（1），，故答案为：，；（2）．类型四、分母有理化例4.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．请仿照上面的方法，解决下列问题：(1)计算：，；若n为正整数，请你猜想．(2)计算：；【答案】(1)；；(2)2023【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．【详解】（1）解：；；；（2）解：原式．【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题：(1)填空：_______，_______；(2)化简：．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：（1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．【详解】（1）解：，，故答案为：；；（2）解：．【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化简；(2)．【答案】(1)(2)2024【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）根据例题的方法，分母有理化即可求解；（2）将每一项都分母有理化，继而即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的:请你根据小明的分析过程，解决如下问题(1)化简：(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点．（1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可；（2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案．【详解】（1）解：；（2）解：，∴，∴．类型五、比较二次根式的大小例5.（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化简：．[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：（3）试利用分子有理化比较和的大小．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键．（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；（2）根据所得规律计算即可；（3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可．【详解】（1）解：∵，∴的有理化因式是；∵，∴的有理化因式是；故答案为：，；（2）解：；（3）．理由如下：∵，，∵，∴，∴．【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：(1)化简：______，______；(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：（1）仿照题意求解即可；（2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，．【详解】（1）解：；，故答案为：，；（2）解：，，∵，∴，∴，故答案为：．【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化简：；(3)比较，的大小，说明理由．【答案】(1)，(2)(3)，理由见解析【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键．（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可；（2）分子分母同乘以即可得出答案；（3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小．【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案为：，；（2）；（3）；；，．【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)化简；(2)比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)2(2)，理由见解析【分析】本题考查的是分母有理化：（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数，再比较大小即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．类型六、二次根式中的规律探究问题例6.观察下列各式及验证过程：，验证；，验证，验证(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．【答案】(1)，验证见解析(2)，验证见解析【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外；（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：．【详解】（1）验证：；（2）．验证：．【变式训练1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．（1）根据前个的规律即可得出答案；（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：等式④：；（2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，证明如下：等式左边右边；（3）解：∵（均为正整数），∴，，∴．【变式训练2】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）【规律探究题】观察下列运算：①由，得；②由，得；……问题：(1)______；______；(2)利用（1）中发现的规律计算：．【答案】(1)；（n为正整数）(2)2024【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．（1）根据已知算式得出规律即可；（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．【详解】（1），（n为正整数）（2）原式【变式训练3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；（材料二）化简：．解：．【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．【答案】(1)5，(2)【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．（1）根据题意找到规律，，即可得到答案；（2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可．【详解】（1）解：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；……，以此类推，可知，，；，（负值舍去）；故答案为：，；（2）解：，．压轴能力测评（10小题）一、单选题1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（

）A．2 B． C． D．-2【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．【详解】解∶由数轴知∶，，∴，∴，故选：A．2．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵有意义，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，，∵，即，∵a、b、c都是大于0的实数，∴，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．二、填空题4．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）化简：；当时，．【答案】3/【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键．根据即可解答．【详解】解：，∵，∴，∴．故答案为：3，．5．（2022·湖北武汉·模拟预测）观察下列各式：①，②，③，…，请写出第6个式子：，用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：．【答