初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题10全等三角形模型之平移和轴对称模型含答案及解析

专题10全等三角形模型之平移和轴对称模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2模型一、平移模型 2模型二、轴对称模型 4压轴能力测评（8题） 7模型一：平移模型【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】◎模型二：轴对称模型【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】模型一、平移模型【常见模型】例．将沿方向平移，得到．(1)若，求的度数；(2)若，求平移的距离．【变式训练1】．如图（1），已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．【变式训练2】．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，已知△ABE≌△ADF．（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．【变式训练3】．如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2＜EC＜4，求边BC长的取值范围．【变式训练4】．如图，沿BC方向平移到的位置．(1)若，，求的度数；(2)若，，求平移的距离．模型二、轴对称模型【常见模型】例．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索：他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．

(1)请你完成证明过程：证明：由轴对称的性质可以得到∴①（

②

）又∵是的一个外角∴（

③

）∴☆

即（等量代换）∴在中，若，则(2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）

【变式训练1】．平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，、满足．

图1

图2(1)求、两点的坐标；(2)如图1，为上一点，连接，过点作交于，若，求点的坐标；(3)如图2，点、关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AB﹣BC﹣CD向终点D运动，设点P运动的时间为x秒（x＞0），△ABP的面积为y（y＞0），回答下列问题：(1)当点P到和点B重合时，x＝_____；当点P和点C重合时，x＝_____．(2)在点P的运动过程中，△ABP为轴对称三角形时，求x的值．(3)当4≤x≤12时，写出y与x的函数关系式，并写出对应的自变量的取值范围．【变式训练3】．教材呈现：如图是某版八年级上册数学教材第96页的部分角平分线回忆我们已经知道角是轴对称图，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，是的角平分线，P是上的任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距相等．已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂直分别为D和点E．求证：．请写出定理的证明过程分析：图中有两个直角三角形和只要证明这两个三角形全等，即可证明．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过珵．定理应用：如图②，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．（1）求证：．（2）若四边形的周长为24，，面积为30，求的边的高的长．【变式训练4】．平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，、满足．

图1

图2(1)求、两点的坐标；(2)如图1，为上一点，连接，过点作交于，若，求点的坐标；(3)如图2，点、关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．1．已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD=CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接AD，DF，AF．（1）如图1，若点D、点E在边BC上，试判断∠BAD与∠FDC的大小关系，并说明理由；（2）若点D、点E在边BC所在的直线上如图（2）所示的位置，（1）中的结论是否还成立，说明理由．2．在平面直角坐标系中，有两个点，.（1）若、关于轴对称，则_________________，________________.（2）若、关于轴对称，则_________________，________________.（3）若、两点重合，将重合后的点绕原点顺时针旋转，此时点的坐标为__________.3．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（3，0），B（0，4），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．（1）点C的坐标为：；（2）求证：BM=BN；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．4．如图，的边与的边在一条直线上，且点C为的中点，，．(1)求证：；(2)将沿射线方向平移得到，边与边的交点为F，连接，若将分为面积相等的两部分，请用直尺和圆规作出点F（不写作法，保留作图痕迹）．5．一、知识回顾（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．二、知识应用如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．

（1）若，求的度数．（2）若点为的中点，的面积为8．①求证：点是的中点．②求的面积．三、知识拓展（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．6．综合应用如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A．(1)特征探究；求直线的表达式；(2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标；(3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况?7．（1）如图（1），点A，E，F，C在同一条直线上，，过点E，F分别作，，若，连接交于点G，试问与相等吗？请说明理由．（2）将图（1）中的沿方向平移得到图（2），其余条件不变，则上述结论是否仍然成立？请说明理由．

8．如图1，，，点C是BD上一点，且，．

(1)试判断与CE的位置关系，并说明理由．(2)如图2，若把沿直线BD向左平移，使的顶点C与点B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由．

专题10全等三角形模型之平移和轴对称模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2模型一、平移模型 2模型二、轴对称模型 6压轴能力测评（8题） 17模型一：平移模型【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】◎模型二：轴对称模型【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】模型一、平移模型【常见模型】例．将沿方向平移，得到．(1)若，求的度数；(2)若，求平移的距离．【答案】(1)80°(2)1cm【分析】本题考查图形的平移：（1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可；（2）用，求解即可．【详解】（1）解：∵平移，∴．∴．∵，∴．（2）∵，∴．∴平移的距离为1cm．【变式训练1】．如图（1），已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由见解析；（3）2．【分析】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；（3）作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．【详解】解：（1）由平移的性质得AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC∴四边形AFBC为平行四边形S△EFA=S△BAF=S△ABC=3∴四边形EFBC的面积为9；（2）BE⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC∴AB=AE∴平行四边形EFBA为菱形∴BE⊥AF；（3）如上图，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数

∴x=∴AC=2．【点睛】本题考查全等三角形的判定、菱形的判定与性质、平移的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识知识是解题关键．【变式训练2】．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，已知△ABE≌△ADF．（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．【答案】(1)见解析;

【详解】试题分析：（1）利用正方形的性质得到∠BAD=90°，而△ABE≌△ADF，则利用旋转的定义可将△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADF；（2）利用全等三角形的性质可得BE=DF，ABE=∠ADF，则利用对顶角相等和三角形内角和可判断∠DHE=∠EAB=90°，从而得到BE⊥DF．试题解析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADF；（2）BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，而∠AEB=∠DEH，∴∠DHE=∠EAB=90°，∴BE⊥DF．点睛：本题考查旋转的性质，旋转变化前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.同时考查了正方形和直角三角形的性质.【变式训练3】．如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2＜EC＜4，求边BC长的取值范围．【答案】【分析】根据平移得到两个三角形全等，再分别求出当EC＝2或EC＝4时BC的值即可得出结论．【详解】解：∵将ABC沿射线BC平移后与DEF重合，∴，∴BC＝EF，∴BE＝CF，当EC＝2时，BE＝CF＝（12﹣2）＝5，∴BC＝5+2＝7，当EC＝4时，BE＝CF＝（12﹣4）＝4，∴BC＝4+4＝8，∴7＜BC＜8．【点睛】本题考查平移变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式训练4】．如图，沿BC方向平移到的位置．(1)若，，求的度数；(2)若，，求平移的距离．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）由平移的性质即可求解．【详解】（1）解：由平移可知，∴，∴．（2）由平移可知，∴，∴，∴，∴平移的距离BE为3．【点睛】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．模型二、轴对称模型【常见模型】例．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索：他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．

(1)请你完成证明过程：证明：由轴对称的性质可以得到∴①（

②

）又∵是的一个外角∴（

③

）∴☆

即（等量代换）∴在中，若，则(2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）

【答案】(1)①，②全等三角形的对应角相等，③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆；(2)，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可；（2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可．【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到∴（全等三角形的对应角相等）又∵是的一个外角∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴

即（等量代换）∴在中，若，则故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆；（2）解：，理由如下：延长到点H，使，连接∵是边上的中线

∴在和中∴∴∵∴∴∴【变式训练1】．平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，、满足．

图1

图2(1)求、两点的坐标；(2)如图1，为上一点，连接，过点作交于，若，求点的坐标；(3)如图2，点、关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)(3)存在，【分析】（1）首先根据已知条件和非负数的性质得到a的值，进而得到b的值，也就能写出A，B的坐标；（2）作出的平分线，通过证得到其对应角相等，再证明解决问题；（3）过N作轴，垂足为P，连接．先证明，得到，由得到，证明即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，；（2）如图，作的角平分线，交于G，

∴，，∴，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴（3）过N作轴，垂足为P，连接．

∵，，∴，由对称性可得，∴，∴，当，则∴，∵，∴，∵，∴，∴∴∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、非负数的性质：算术平方根和绝对值，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式训练2】．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AB﹣BC﹣CD向终点D运动，设点P运动的时间为x秒（x＞0），△ABP的面积为y（y＞0），回答下列问题：(1)当点P到和点B重合时，x＝_____；当点P和点C重合时，x＝_____．(2)在点P的运动过程中，△ABP为轴对称三角形时，求x的值．(3)当4≤x≤12时，写出y与x的函数关系式，并写出对应的自变量的取值范围．【答案】(1)4；12(2)8或14(3)【分析】（1）当点P与B重合时，P点运动路程为线段AB的长4，速度为每秒1个单位长度，利用时间=路程速度，得到答案；当点P与C重合时，P点运动路程为线段AB+BC的长12，再次利用上述关系式，即得到答案；（2）分类讨论：①当P在BC上时，AB=BP，P点运动的路程为AB+BP=8，进而求出时间x的值；②当P在CD上时，AP=BP，P点运动的路程为AB+BC+CP=14，进而求出时间x的值；（3）当x=4时，点P与B重合，A、B、P三点不能组成三角形，不符合题意；当时，A、B、P三点组成的为直角三角形，AB、BP分别为两条直角边，故的面积为=2x-8，得到y与x的函数关系式．【详解】（1）解：当点P与B重合时，P点运动路程为线段AB的长4，所以x=41=4；当点P与C重合时，P点运动路程为线段AB+BC的长12，所以x=121=12，故答案为：4，12；（2）解：分两种情况：①当P在BC上时，为轴对称三角形AB=BP=4P点运动的路程为AB+BP=4+4=8x=81=8；②当P在CD上时，为轴对称三角形AP=BP四边形ABCD是矩形，AD=BC在Rt和Rt中，=CP==2AB+BC+CP=4+8+2=14x=141=14综上所述：当x为8或14时，为轴对称三角形．（3）解：当x=4时，点P与B重合，A、B、P三点不能组成三角形，不符合题意；当时，的面积为=2x-8，y=2x-8()【点睛】本题考查了轴对称图形、三角形全等的判定、一次函数等知识，运用了分类讨论思想和动点思想，其中会用代数式表示线段长度是解题的关键．【变式训练3】．教材呈现：如图是某版八年级上册数学教材第96页的部分角平分线回忆我们已经知道角是轴对称图，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，是的角平分线，P是上的任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距相等．已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂直分别为D和点E．求证：．请写出定理的证明过程分析：图中有两个直角三角形和只要证明这两个三角形全等，即可证明．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过珵．定理应用：如图②，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．（1）求证：．（2）若四边形的周长为24，，面积为30，求的边的高的长．【答案】教材呈现：定理证明见解析；定理应用：（1）证明见解析；（2）的边的高的长为3．【分析】教材呈现：证明△POD≌△POE（AAS），即可得出PD=PE；（1）由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出BE=EC；（2）证明Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），得出AF=AG，同理DG=DH，由（1）得出△BEF≌△CEH，得出BF=CH，设BF=CH=x，AF=AG=y，DG=DH=z，由四边形ABCD的周长得出x+y+z=10，由四边形ABCD的面积得出(x+y+z)•EF=30，求出EF=3即可．【详解】教材呈现：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；已知：是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别是点D和E；求证：；证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；定理应用：（1）证明：过E作于F，于G，于H，∵平分，平分，∴，在与中，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，在和中，，∴，∴，同理：，由（1）得：，∴，设，，，∵四边形的周长为24，，∴，∴，∵四边形的面积为30，∴，整理得：，即，∴，即的边的高的长为3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键，【变式训练4】．平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，、满足．

图1

图2(1)求、两点的坐标；(2)如图1，为上一点，连接，过点作交于，若，求点的坐标；(3)如图2，点、关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)(3)存在，【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质、非负数的性质：算术平方根．（1）首先根据已知条件和非负数的性质得到a的值，进而得到b的值，也就能写出A，B的坐标；（2）作出的平分线，通过证得到其对应角相等，再证明解决问题；（3）过N作轴，垂足为P，连接．先证明，得到，由得到，证明即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，；（2）如图，作的角平分线，交于G，

∴，，∴，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴（3）过N作轴，垂足为P，连接．

∵，，∴，由对称性可得，∴，∴，当，则∴，∵，∴，∵，∴，∴∴∴．1．已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD=CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接AD，DF，AF．（1）如图1，若点D、点E在边BC上，试判断∠BAD与∠FDC的大小关系，并说明理由；（2）若点D、点E在边BC所在的直线上如图（2）所示的位置，（1）中的结论是否还成立，说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2）成立，，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形的性质与判定和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定解答即可．【详解】（1），理由如下：∵为等边三角形，∴，∵，∴∴，，∵点，点关于直线成轴对称，∴，，∴，，∵，∴，，∴为等边三角形；∴∵又∵∴（2）∵理由：为等边三角形，∴，，∴∵∴∴，，∵点，点关于直线成轴对称，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定得出△ABD≌△ACE．2．在平面直角坐标系中，有两个点，.（1）若、关于轴对称，则_________________，________________.（2）若、关于轴对称，则_________________，________________.（3）若、两点重合，将重合后的点绕原点顺时针旋转，此时点的坐标为__________.【答案】（1）；；（2）；；（3）【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案；（3）根据旋转的性质，构造全等三角形求出边长可得答案.【详解】解：（1）∵点A、B关于x轴对称，纵坐标互为相反数∴x1=2，y2=5；（2）∵点A、B关于y轴对称，横坐标互为相反数∴x1=-2，y2=5；（3）∵、两点重合，∴坐标合并为（2，-5），如图，将点A绕原点顺时针旋转得到点A′，分别作点A和A′到x轴的垂线于点E、F，由旋转的性质可知A′O=AO，由同角的余角相等可知：∠A′OF=∠A，在△AEO和△OFA′中，，∴△AEO≌△OFA′，∴OE=A′F，AE=OF，∴点A′的坐标为.【点睛】此题主要考查了关于x、y轴对称，关于原点对称的点的坐标，全等三角形的判定和性质，关键是掌握点的坐标的变化规律，构造辅助线求出点的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（3，0），B（0，4），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．（1）点C的坐标为：；（2）求证：BM=BN；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．【答案】（1）（4,7）（2）见解析（3）见解析【分析】（1）过点C作CE⊥y轴于点E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；（2）根据全等三角形的性质和等量替换可得∠1=∠2，根据ASA证明△ABM≌△CBN，即可证得BM=BN；（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解.【详解】（1）过点C作CE⊥y轴于点E，故∠BEC=90°，∴∠BEC=∠AOB，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBE=∠BAO∴△AOB≌△BEC（AAS）∴CE=OB=4，BE=OA=3，∴OE=OB+BE=7，∴C点坐标为（4,7）（2）∵△AOB≌△BEC∴BE=OA=OP,CE=BO，∴PE=OB=CE，∴∠EPC=45°，∠APC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABM≌△CBN（ASA）∴BM=BN,（3）点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，∴AD=AC,AG=AC,∴AD=AG,∵∠1=∠5，∠1=∠6，∴∠5=∠6，在△DAH与△GAH中∴△DAH≌△GAH（SAS）∴D，G关于x轴对称．【点睛】此题主要考查几何的综合变换，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.4．如图，的边与的边在一条直线上，且点C为的中点，，．(1)求证：；(2)将沿射线方向平移得到，边与边的交点为F，连接，若将分为面积相等的两部分，请用直尺和圆规作出点F（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．（1）根据证明三角形全等即可；（2）作的垂直平分线交于点，连接即为所求(方法不唯一)．【详解】（1）证明：∵点为的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：作的垂直平分线交于点，点即为所求．故点是中点，∴是中线，∴．5．一、知识回顾（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．二、知识应用如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．

（1）若，求的度数．（2）若点为的中点，的面积为8．①求证：点是的中点．②求的面积．三、知识拓展（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3）28【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．【详解】解：（1）由平移可得，，，；（2）①证明：连结，由平移可知，，

，，，，，，即点是中点；②连结，

是中点，，是中点，，；（3）连结，

∵为中点，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．6．综合应用如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，