高考数学热点专题7之6线面角（原卷版）

线面角思路引导思路引导一．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).【注意】直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．二．利用向量法求线面角的两种方法母题呈现母题呈现【例1】（2022·全国甲（理）T18）在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．【例2】（2022·浙江卷T19）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．方法总结方法总结向量法求直线与平面所成角主要方法是：1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.模拟训练模拟训练1．（2023·江西赣州·统考一模）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．(1)证明：；(2)若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．2．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.3．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．(1)当时，求三棱柱的体积；(2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．4．（2023·福建福州·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．(1)证明：BE平面PAD；(2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.(1)证明：平面平面；(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.(1)证明：直线平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在三棱锥中，，，．(1)证明：；(2)若，，在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求的长．8．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．9．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，交于点O，．(1)若，求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求四棱柱的高．10．（2023·全国·模拟预测）已知底面为正方形的四棱柱，，