《压轴题》初中数学同步八年级上册北师版第一章勾股定理含答案及解析

试卷第=page44页，共=sectionpages134134页第一章勾股定理内容导航知识点类型一、两点间距离公式的应用类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题类型三、勾股定理在网格图中的应用类型四、折叠背景下的勾股定理应用类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系类型六、勾股定理的证明类型七、勾股定理与弦图类型八、应用勾股定理构造图形解决问题类型九、勾股定理的实际应用类型十、综合问题中的勾股定理应用知识点1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．知识点2．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．知识点3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．知识点4．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知识点5．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．知识点6．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．类型一、两点间距离公式的应用1．如图，动点从（0，3）出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点从出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点移动到点时，点、同时停止移动．点在第一象限内，在、移动过程中，始终有，且．则在整个移动过程中，点移动的路径长为（

）A． B． C． D．2．已知为实数，则代数式的最小值为．3．在纸片中，，，.如图，直角顶点在原点，点在轴负半轴上，当点在轴上向上移动时，点也随之在轴上向右移动，当点到达原点时，点停止移动.在移动过程中，点到原点的最大距离是．4．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形；①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝．小试牛刀：（1）若点A坐标为（﹣2，3），B点坐标为（3，3）则AB＝；（2）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（3，﹣4）则AB＝；（3）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（7，﹣1）则AB＝；学以致用：若点A坐标为（2，2），点B坐标为（4，4），点P是x轴上的动点，当AP+PB取得最小值时点P的坐标为并求出AP+PB最小值＝；挑战自我：已知M＝，N＝根据数形结合，直接写出M的最小值＝；N的最大值＝；5．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：______．(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______．(3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值：(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．(5)应用拓展：如图，若点D在上运动，，，连接，，求的周长的最小值．6．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的几何意义如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因为数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为．探究二：探究的几何意义（1）探究的几何意义如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则MO＝＝＝因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．（2）探究的几何意义如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．（3）探究的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．（4）的几何意义可以理解为：．拓展应用：（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．（6）的最小值为．（直接写出结果）类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．8．如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（

）

A．18 B．20 C．22 D．24

9．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为．10．如图，在直角三角形中，直角边，，以它的三边分别作出了正方形、、，把、、的面积分别记为、、，则．11．在中，，如图1，分别以，，为边向外作等边三角形，，（1）若，，则______．（2）如图2，将沿翻折，点的对应点记为，①连接，请求出的度数．②若保持不变，随着的长度变化，点也随之运动，试探究的值是否变化，若不变，求出的值；若改变，求出的最小值．12．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______；[思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；[拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，．①求证：为等腰直角三角形；②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差．13．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论．如图3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论是否成立？请说明理由．如图4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．类型三、勾股定理在网格图中的应用15．在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换．（1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为（填“B”“C”或“D”）；（2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M经过三次“跳马变换到达格点N，则共有中不同的跳法．16．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．17．【问题探究】

(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为．①请结合图1，试说明；②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小；③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小；【迁移运用】(2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由．18．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图：(1)在图1中，作的高；(2)在图2中作图：①找一格点使，且；②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分．19．提出问题：在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？问题探究：为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．探究一：在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、．当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．探究二：在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、．（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个．（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个．（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个．探究三：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个．（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有个．（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个．（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个．（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个．故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为个．问题解决：在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为个．拓展延伸：在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为个．20．现场学习题：问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：．类型四、折叠背景下的勾股定理应用21．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（）A． B． C． D．22．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（

）A．2 B． C．6 D．823．如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则的面积为．25．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，连接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，则△ABC的面积为．26．如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E．(1)当点P是的中点时，的长为，的长为；(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点．①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．）（只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程）②连接，求周长的最小值．连接，，27．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）(1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；(2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；(3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________．28．折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，．【活动探究1】（1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长．【活动探究2】（2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，．①求折痕的长；②连接，求的长．类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系29．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积．30．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE．(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，①求证：△ACD≌△BCF；②若∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．

31．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．32．我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”

是命题．(填写“真命题、假命题”)（2）在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC是“奇异三角形”，则a：b：c＝．（3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．①求证：ΔACE是“奇异三角形”；②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB的长．33．如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F.（1）依题意补全图形；（2）若，求的大小（用含的式子表示）；（3）若点G在线段上，，连接.①判断与的位置关系并证明；②用等式表示之间的数量关系.

34．如图，在中，，，．(1)如图1，求的长；(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值．类型六、勾股定理的证明35．本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力．(1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理；(2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、．若，，，求的长；(3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线．在一般三角形中，如何用、、表示．36．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．

(1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；(3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．37．经典证明：欧几里得在《原本》中证明勾股定理的思路如下：如图1，首先分别以三边为边长作正方形，正方形，正方形．过点C作的垂线，交于点D，交于点G，然后证明正方形的面积与长方形的面积相等，正方形的面积与长方形的面积相等，最后得出正方形的面积等于正方形与正方形的面积之和，从而完成勾股定理的证明．方法点拨：如图2，连接、，可证明，从而得到，利用平行线的相关性质可以得到，，于是得到……．

问题解决：(1)请你结合“经典证明”的思路与“方法点拨”证明勾股定理．(2)如图3，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．请在网格中，只用无刻度的直尺，画出一个以为一边的长方形，使该长方形的面积等于，井简要说明画图方法（保留画图痕迹，无需证明）38．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（

）A． B．2 C． D．类型七、勾股定理与弦图39．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（

）A． B． C． D．40．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（

）A． B． C． D．41．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是

42．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若，则的值是．43．拼图是一种研究代数恒等式的重要方法，所谓的拼图指的是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到代数恒等式(1)智慧学习小组探索了用4个如图1所示的全等的长方形（长、宽分别为a、b）拼成不同的图形．在研究过程中，他们用这4个长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形．拼图前后，请写出该小组所用图形（4个长方形）的面积的计算方法：拼图前：___________；拼图后：__________；因为拼图前后的面积不变，所以可得代数恒等式：_____________.(2)利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知求的值．(3)超人学习小组受智慧学习小组的启发，用4个如图3所示的全等的直角三角形（三边长分别为a、b、c）拼成了两种“中空”的正方形.请你画出这两种图形：由上面的图形可得代数恒等式：________________.(4)利用（3）中得到的代数恒等式，解决下面的问题：在中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的长.44．阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．45．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．(1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；(2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；(3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．(4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．(5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）．46．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．类型八、应用勾股定理构造图形解决问题47．[探究]（1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________；②据此求出的最小值；[类比]（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________．48．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）(2)推理验证：如图3，由勾股定理得，，如图4，由勾股定理得，，如图5，．要使得的值最小，∵……（请补全推理过程）∴∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的．(3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm．(4)【问题回归】最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m．49．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．【知识迁移】借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．50．在直线上摆放着三个正方形(1)如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，斜着放置的正方形的面积_；两个直角三角形的面积之和为____(均用表示)(2)如图2，小正方形面积，斜着放置的正方形的面积，求图中两个钝角三角形的面积_；_(3)图3是由五个正方形所搭成的平面图，与分别表示所在地三角形与正方形的面积，试写出_；_.(均用表示)类型九、勾股定理的实际应用51．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（

）A． B． C． D．52．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m53．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD=AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？54．【问题探究】(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；【问题解决】(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)

55．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．

根据以下素材，探索完成任务，探究雨伞中的数学问题素材1图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，D点为伞圈．伞完全张开时，如图1所示．

素材2伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且三点共线．测得（参考值：）．

素材3同学们经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小田站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．

问题解决任务1判断AP位置求证：是的角平分线．任务2探究伞圈移动距离当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到）．任务3拟定撑伞方案求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）在图2中，56．【问题提出】（1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________．【问题探究】（2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值．【问题解决】（3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）

类型十、综合问题中的勾股定理应用57．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．（1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______．【问题探索】（2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D．①如图①试探究数量关系，并给予证明；②如图②，若，点F是的中点，求的长．【灵活运用】（3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积．58．【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：；【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．

59．如图，中，，，点是中点，的两边，分别与直线，交于点，，且，连接(1)如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______(2)如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)的条件下，①连接，直接写出______②当时，求的长60．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，．(1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由；(2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由；(3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为．61．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，．(1)用数学的眼光观察．如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由；(2)用数学的思维思考．如图2，连接，，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由；(3)用数学的语言表达．如图3，延长至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段的长．62．综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作发现】（1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求；【拓展探究】（2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长；【迁移应用】（3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长．63．已知中，．点D由点A出发沿向点C匀速运动，同时点E由点B出发沿向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在上且，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接．设AD=x．解答下列问题：

(1)________．________（用含x的代数式表示）．(2)如图1，当x为何值时，为直角三角形．(3)如图2，把沿翻折，点D落在点处．①当x为何值时，四边形为菱形？并求出菱形的面积；②如图3，分别取的中点M，N，在整个运动过程中，线段扫过的区域的形状为________，其面积为________．

第一章勾股定理内容导航知识点类型一、两点间距离公式的应用类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题类型三、勾股定理在网格图中的应用类型四、折叠背景下的勾股定理应用类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系类型六、勾股定理的证明类型七、勾股定理与弦图类型八、应用勾股定理构造图形解决问题类型九、勾股定理的实际应用类型十、综合问题中的勾股定理应用知识点1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．知识点2．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．知识点3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．知识点4．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知识点5．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．知识点6．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．类型一、两点间距离公式的应用1．如图，动点从（0，3）出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点从出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点移动到点时，点、同时停止移动．点在第一象限内，在、移动过程中，始终有，且．则在整个移动过程中，点移动的路径长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意过P点作交于D点，作交于E点，并利用全等三角形判定,得出，从而分当时，有（0，3），，设P点坐标为以及当时，有、O（0，0），、H，设P点坐标为，求出P点坐标，继而由点移动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点移动的路径长.【详解】解：由题意过P点作交于D点，作交于E点，如图，∵，∴,∴,∵,∴,即有,由题意可知，当时，有（0，3），，设P点坐标为，由，即有，解得，即此时P点坐标为；当时，有、O（0，0），、H，设P点坐标为，由即图上，即有，解得，即此时P点坐标为；由图可知点移动的路径为一条线段，则点移动的路径长为：.故选：A.【点睛】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式是解题的关键.2．已知为实数，则代数式的最小值为．【答案】13【分析】根据的几何意义结合图象求出最小值即可．【详解】∵，如图所示，由代数式的结构构造点P（m，0），A（8，3），B（3，9），则，作点B关于x轴的对称点A'（3，-9），则，∴代数式的最小值为13.【点睛】本题考查了图形与坐标求最值问题，解题的关键是根据代数式的几何意义，利用数形结合思想转化为求最值问题．3．在纸片中，，，.如图，直角顶点在原点，点在轴负半轴上，当点在轴上向上移动时，点也随之在轴上向右移动，当点到达原点时，点停止移动.在移动过程中，点到原点的最大距离是．【答案】【分析】取B1C1的中点E，连接OE、A1E，利用直角三角形的性质得到OE=2，再根据勾股定理求出A1E的长度，即可得到O、E、A1三点在一条直线上时，点A到原点的距离最大.【详解】如图，取B1C1的中点E，连接OE、A1E，当O、E、A1三点在一条直线上时，点A到原点的距离最大，∵△B1C1O是直角三角形，点E是B1C1的中点，∴OE=B1C1=2，C1E=2，∵A1C1=2，∠A1C1B1=90，∴A1E=,∴点A到原点的最大距离是，故答案为：.【点睛】此题考查坐标与图形的性质，勾股定理，题中OE的长度是定值，正确理解O、E、A1三点在一条直线上时，点A到原点的距离最大是解题的关键.4．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形；①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝．小试牛刀：（1）若点A坐标为（﹣2，3），B点坐标为（3，3）则AB＝；（2）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（3，﹣4）则AB＝；（3）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（7，﹣1）则AB＝；学以致用：若点A坐标为（2，2），点B坐标为（4，4），点P是x轴上的动点，当AP+PB取得最小值时点P的坐标为并求出AP+PB最小值＝；挑战自我：已知M＝，N＝根据数形结合，直接写出M的最小值＝；N的最大值＝；【答案】小试牛刀：（1）5；（2）6；（3）5；学以致用：（，0），2；挑战自我：3；2．【分析】小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式AB=|x1-x2|进行解答；（2）利用两点间的距离公式AB=|y1-y2|进行解答；（3）利用两点间的距离公式AB=进行解答；学以致用：利用轴对称的性质求得点P的坐标以及AP+PB的最小值；挑战自我：利用M、N所表示的几何意义解答．【详解】小试牛刀：（1）AB＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5．（2）AB＝|y1﹣y2|＝|﹣4﹣2|＝6．（3）AB＝＝＝5．学以致用：如图，∵点A坐标为（2，2），∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（2，﹣2），连接A′B，直线A′B与x轴的交点即为点P．设直线A′B为y＝kx+b（k≠0），则，解得．∴直线A′B为y＝3x﹣8．令y＝0，则x＝，即P（，0），此时AP+PB＝A′B＝．挑战自我：M＝，当M取最小值时，M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之和（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，﹣2）的距离之和），此时M最小值＝．N＝，当N取最大值时，N表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之差（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之差），此时M最小值＝．【点睛】考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案.5．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：______．(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______．(3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值：(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．(5)应用拓展：如图，若点D在上运动，，，连接，，求的周长的最小值．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．（1）由即可求解；（2）直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可；（3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，求出的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可；（4）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可；（5）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，由对称性可证的周长的最小值为，利用勾股定理求解即可；【详解】（1）由题意知：、，，，故答案为：；（2），，，故答案为：5；（3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，如图，B关于x轴对称的点，点的坐标为，，，的最小值为；（4）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知，点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，的最小值为：；（5）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，B，关于直线对称，，，，的最小值为，的周长的最小值为，，，，，，在中，，的周长的最小值为．6．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的几何意义如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因为数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为．探究二：探究的几何意义（1）探究的几何意义如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则MO＝＝＝因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．（2）探究的几何意义如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．（3）探究的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．（4）的几何意义可以理解为：．拓展应用：（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．（6）的最小值为．（直接写出结果）【答案】探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）见解析；（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（5）（﹣1，5）；（6）3【分析】探究一：（2）因为数轴上的-4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，即可求解；探究二：（3）参考（1）的过程画出函数图象即可求解；（4）根据前面的探究可知几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，即可求解；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点F（-1，5）的距离之和；（6）当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，进而求解．【详解】解：探究一：（2）因为数轴上的﹣4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为x＝﹣4或6，故答案为：﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（﹣3，﹣4），因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（﹣3，﹣4）之间的距离AB；（4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，故答案为点（x，y）与点（a，b）之间的距离；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，5）的距离之和，故答案为（﹣1，5）；（6）当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，∴+的最小值为EF的距离，∴EF＝，故答案为．【点睛】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题也考查了学生的综合能力，属于中等题型．类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】D【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键．【详解】解：过点作于点，交于点，正方形面积为5，正方形面积为1，，，，，是直角三角形，，，，即，，，，，以为边长的正方形面积为10．故选：．8．如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（

）

A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．【详解】解：过F作于D，连接，

∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可证，∴．

由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是矩形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴；故选：A．9．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为．【答案】6【分析】如图，连接，过点作，证明，从而得到、、在一条直线上，在类比赵爽弦图可得，，，现只需求出边的长度即可计算面积．【详解】如图，连接，过点作，∴，∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴∴在与中：∴（AAS）∴又∵是正方形，∴，，∴，∴是平行四边形，∴∴、、在一条直线上，故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略）则：∵，∴∴．故答案为：6．【点睛】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．如图，在直角三角形中，直角边，，以它的三边分别作出了正方形、、，把、、的面积分别记为、、，则．【答案】18【分析】过点A作AM⊥EH交EH延长线于点M，连接MG，FM，根据题意可证得△AEM≌ADEF，从而得到AM=DF，进而S△AHE=S△DEF，同理S△BDC=S△GFM=S△DEF，可得到S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF，即可求解．【详解】解：如图，过点A作AM⊥EH交EH延长线于点M，连接MG，FM，∵正方形、、，∴DF=DC，DE=DB，AE=DE，EF=FG，FL=DF，∠GFL=90°，∠EDF+∠BDC=180°，∴∠AME=∠DFE=90°，∵∠AEM+∠DEM=90°，∠DEM+∠DEF=90°，∴∠AEM=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEM≌ADEF（AAS），∴AM=DF，∵EH=EF，∴，∴S△AHE=S△DEF，同理：S△BDC=S△GFM=S△DEF，∵S△GFL=FG×FL，∴S△GFL=DF×EF=S△DEF，∵直角边，，∴S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF=3××3×4=18，∴．故答案为：18．【点睛】本题主要考查了正方形性的性质，求三角形的面积，全等三角形的判定和性质，得到S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF是解题的关键．11．在中，，如图1，分别以，，为边向外作等边三角形，，（1）若，，则______．（2）如图2，将沿翻折，点的对应点记为，①连接，请求出的度数．②若保持不变，随着的长度变化，点也随之运动，试探究的值是否变化，若不变，求出的值；若改变，求出的最小值．【答案】（1）；（2）①30°；②变化，的最小值为【分析】（1）过F作AB的垂线，垂足为H，得出等边的面积,同理得出另两个等边三角形的面积,由勾股定理易得的面积等于另两个等边三角形的面积的和,从而可求得结果;(2)①由翻折易得：，从而可证得≌，即得PE⊥CE，从而可求得;②连接PF，与①同，可证得，且求得，表明点P在定直线FP上，根据垂线段最短即可求得AP的最小值．【详解】（1）过作于，∵是等边三角形，，∴，∴，∴，同理可得，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴.（2）①∵、都是等边三角形，∴，，，∵沿翻折得到，∴，，∴.∴.在和中，，∴≌（SAS），∴.∵，∴，②连接，∵是等边三角形，∴，，∵是等边三角形，翻折得到，∴，.∴，∴.在和中，，∴≌（SAS），∴.∴，∴点在过点且垂直的直线上移动，故的值会发生改变，由点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时,取得最小值.在中,的最小值为.∴的最小值为.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、图形面积的计算、求最值，涉及了图形的变换，辅助线的作法，是一个综合性的问题，对学生的知识进行了全面而综合的考查．把翻折，实质是把分别绕点C、B顺时针和逆时针旋转60°而得到和．另外，②小题也可以这样解：易得，则由①的结论可知：∥，且可得，所以四边形为平行四边形，则,表明点在定直线上，余下同原题解法．12．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______；[思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；[拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，．①求证：为等腰直角三角形；②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差．【答案】[方法储备]，；[思考探究]；[拓展延伸]①见解析；②【分析】[方法储备]由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解，[思考探究]延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解，[拓展延伸]①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证，②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，，，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解，本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”．【详解】[方法储备]解：在和中，，，，在中，，即：，，，，故答案为：，，[思考探究]解：延长至点，使得，连结，，在和中，，，，，，，，在中，，而，，垂直平分，，故答案为：，[拓展延伸]解：①延长至点，使得，连结，，在和中，，，，，，又，，，，又，，为等腰直角三角形，②如图，延长至点，使得，连结，，，为中点，同上“倍长中线”方法可得，，，设，，，，，，，分别过，作，，，为垂足，，设，，，，，，，解得，，，故答案为：．13．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论．如图3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论是否成立？请说明理由．如图4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）；（3）结论仍成立，理由见详解；（4）30【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案；（2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可；（3）分别求出三个半圆的面积，计算即可；（4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积．【详解】解：（1）由正方形的面积可得出：；故答案为：；（2）由图可得：,在直角三角形中有：∴；故答案为：；（3）结论仍成立，理由如下：由图可得出：∴在直角三角形中有：∴．因此，结论仍成立．（4）由图可知：阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积，∵．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将抽象的数学知识变得直观是解此题的关键．14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．【答案】(1)①见解析；②(2)(3)【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答；（2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案．【详解】（1）①证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的