新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案（含解析）新人教A版

第三节随机事件的概率一、教材概念·结论·性质重现1．样本点和样本空间随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．2．概率与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．随机事件A发生的频率与概率的区别与联系随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系事件A发生，事件B一定发生事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并事件(或和事件)事件A与事件B至少有一个发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)事件A与事件B同时发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件事件A与事件B不能同时发生事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生事件A与事件B互为对立A∩B＝∅，A∪B＝Ω4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.(4)①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．③如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．④设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．5．事件的相关概念1．随机事件A，B互斥与对立的区别与联系当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)事件发生的频率与概率是相同的． (×)(2)随机事件和随机试验是一回事． (×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (√)(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． (√)(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(×)(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． (√)2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定B解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件．4．把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A为“甲分得语文书”，事件B为“乙分得数学书”，事件C为“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件D．B与C既是互斥事件也是对立事件C解析：事件A，事件B，事件C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；事件A，事件B可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，C项正确；事件B与事件C既不互斥，也不对立，D项错误．故选C．5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为0.45.6．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率．因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为eq\f(2,5).考点1随机事件的关系——基础性(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A．是对立事件 B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件C解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件．如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．1．(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件．故选C．2．口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：显然A与D是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正确．考点2随机事件的频率与概率——基础性如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为eq\f(51,100)＝0.51.2．(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下40307035～50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%B．该校教职工具有研究生学历的概率超过50%C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%D解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C错误；对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正确．故选D．考点3互斥事件与对立事件的概率——综合性经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后出各事件发生的概率，再求和(或差)．间接法体现了“正难则反”的思想方法．1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A．eq\f