2023年高考数学考前冲刺复习：空间几何外接球

第23讲空间几何外接球

1.已知在三梭锥/—3CD中，AB=CD=2,AD=AC=BC=BD=3,则该三棱锥内

切球的体积为（）

A7714/r口llVllTr八1时"「7屈n

6463192

【解析】如图，将三棱锥Z—BCD放入长方体—/7CGD中，

谩HC=a，CG=b,CE=c,则/+匕2=22,a2+c~=32■b2+c2=32

航以a=b=6,c=布,则三棱锥力—8C£>的体积匕_g0=；。尻=孚

院…SABCD=SUBD=S.=2V2，设三棱锥a-BCD内切球的半径为r,

则球心到三棱锥/—BCD四个面的距离都为人设三棱锥/—BCD的表面积为S

则^A-BCD=；Sxr=；x8>/2xr=~~~,因止匕r=，

所以三棱锥A-BCD内切球的体积「=3"3=量逊

3192

故选：D

2.在四棱锥尸一48CD中，已知PA1底面4BCD,4B工BC,4D工CD,且

ABAD=\20°,PA=AB=AD=2,则该四棱锥外接球的体积为（）

A.4岛B._C.D.2a岛

［解析】如图所示，

连接AC,设AC的中点为G,

因为1BC,AD1CD,

所以AC是底面ABCD外接圆的直径，

又AB=AD=2,

所以Rt/^ABC^Rt^ADC.

又440=120°,得N5ZC=NZMC=60°,

义PA1宸面ABCD则上4LZC,所以N/MC=90°,

即PC是球的直径，则PC的中点。为球心，连接OG,Z。,

DA

易知OG//上4,所以0G=5-=1且OG1底面4SCD

JRAr

在RM4BC中,AC=--------=4,则ZG=—=2,

cos6002

又在Rt^AOG中，球半径OA=^OG2+AG2=石■

则该四棱锥外接球的体积％=3"（逐）3=生叵".故选：C

33

3.已知三棱锥尸-48。的四个顶点都在球。的表面上，尸2,平面48C,48,3。且

PA=8,AC=6,则球。的表面积为（）

A.10〃B.25"C.50〃D.100〃

【解析】三棱锥P—48。的四个顶点都在球。的表面上，尸41平面45C,ABLBC,

且R4=8,AC=6-

把三棱锥P-45c补成一个长方体，如图所示:

」.长方体的外接球即是三棱锥P-48c的外接球，

.PA=8,4C=6,•••长方体的外接球的半径为：-V82+62=5,.•.球O的表面积为:

2

4TTX52=100〃，

故选：D.

4.半球内有'一■个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()

A.A/571:6B.^6K：2

C.兀：2D.5兀：12

【解析】将半球补成球，同时把原半球的内接正务体再补袅一府可拜的正方市构成的长

方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径.设正方体的

棱长为a,球体的半径为R,则(2R)2=a?+a?+(2a)2,即R=1^a,「.V半球=1x4兀R3=2兀><[2

2233

3

=03,V正方体二a^,：.V半球：V正方体=~ita:a?=«兀:2,故选B.

5.已知四棱锥。—48CD的顶点都在球。的球面上，PA1底面4BCD,AB=AD=1,

BC=CD=2,若球。的表面积为9兀，则四棱锥尸一45CD的体积为()

4I-2A/5

A.4B.-C.2j5D.=-^-

33

【解析】•二28=/。，BC=BD4C=AC..・△ABC与AADC全等，：.ZABC=ZADC,

易知AB、C。四点共圆，则N/8C+NNOC=180°.:.ZABC=ZADC=90°，

所以，四边形ABCD的外接圆直径为4C=YJAB2+BC2=45，

3

设四棱锥尸—48C0的外接球半径为尺贝47火2=97,解得&=—,

2

由尸/，底面48CDBCu底面4BCD所以P4IBC

又48_L5C,且4PC48=/,所以BC1平面PAB,又PBu面P4B,所以BC1PB

同理可证：CDLPD

设为。为PC的中点，则由直角三角形的性质可得：OA=OB=OD=OC

所以0四棱锥P—48CD外接球的球心，即PC为其直径，即PC=2H=3

PA=J(2及旷―3=J⑶2_5=2,

S,Rr=2-xABx2BC=-xlx2=l

114

所以V{Be。——x2sARCxAP=—x2x1x2=—

rp-3AABL33

故选：B

p

6.已知在三棱锥S—ABC中，ABXBC,AB=BC=2,SA=SC=2也，二面角B—AC—S

的大小为:，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()

人124兀口105兀人105兀门104兀

A.D.C.D.

9499

【解析】如图，取AC的中点D,连接BD,SD,则/BDS=",AC=2^2,BD=/,

3

SD=A^.过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R,连接

OB,OS,可得OD2=R2—(W)2,在^OSD中，NODS=匹，利用余弦定理可得R?=R?—2

6

+~6)2—2x$二2X&X；,解得R2=所以其外接球的表面积为4兀R2=*三

7.在三棱锥尸—48。中，PA=PB=PC=M，AB=AC=BC=^3，则三棱锥

P—48。外接球的表面积是()

c15,25

A.9兀B.——兀C.4兀D.——71

24

【解析】由已知P—48C是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心。在阳r上,

瓜__________

如图，设外接球半径为尺又CH=?XG=L则PH=y/pc?-CH。=2，

由。。2=OH-+CH1得火2=(2—封+心，解得R=：

所以表面积为S=4"=2：".故选：D.

.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为

()

A-B.16兀C.9TID.-

44

【解析】如图，正四棱锥P-ABCD的底面中心为H.

在底面正方形ABCD中，AH=也,

又PH=4,

故在RtAPAH中，

PA=AJPH2+AH2

也2=3也.

则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心。在PH所在的直线上，设其外接球的直径为

PQ=2r.

又A在正四棱锥外接球的球面上，所以APJ_AQ.

又AH_LPH,由射影定理可得PA2=PHXPQ,

,,cMPA23g299

故2r=PQ=-----=-------------=-,所以r=一.

PH424

故该球的表面积为S=4兀［2=4兀乂02二迎三

4

【方法总结】

解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心

和球的截面的中心连线垂直于截面.结合相关几何量之间的数量关系可确定球心.

9.在四面体48CZ）中，AB1AC,ACLCD,直线48,CO所成的角为60°,

AB=CD=4瓜AC=4,则四面体48CD的外接球表面积为（）

A.16。君7cB.52兀C.80兀D.208兀

3

【解析】当四面体48co如下图示，

过A作AE//CD且AE=CD连接BE、DE、CE,且4D与CE1交于。点，则△/2E

为等边三角形，/CDE为矩形且。点为/CDE外接圆圆心，即NC1ZE,又48L/C,

ABC}AE=A,

「NC1面ABE,4Cu面ACDE,则面ABE1面ACDE.

过R为ZE中点，连接OF,若尸为面48E外接圆圆心，0'为四面体45co的外

接球球心，则。9=。/'=2,BF=6有BF'=4如下图示，

二四面体ABCD的外接球半径R=sJo'F'2+BF'2=2-\/5，则外接球表面积为

4/z'及立=8。7r

当四面体45cZ）如下图示,

D.

B

过A作AE//CD且4E=CD,连接2£、DE、CE,且40与CE交于。点，则△/BE

为等腰三角形，/CDE为矩形且O点为/CDE外接圆圆心，即ZC1/E,又48，/。，

ABHAE=A,

NC_L面ABE,/Cu面ACDE,则面ABE1面ACDE.

过R为4E中点，连接OF,若尸为面ABE外接圆圆心，。为四面体ABCD的外接球球

心，则0E=0E'=2.BF'=473-如下图示，

四面体45co的外接球半径火=sJo'F'2+BF'2=2V13,则外接球表面积为

4"改=108万.

故选：CD

10.在三棱锥。—48。中，△24。是等边三角形，平面24。，平面

ABC,AB=^3,AC=243.ZCAB=600,则三棱锥尸—45。的外接球体积为（）

A4〃126兀„32〃6g

3333

【解析】小/台。中，

BC=^AC-+AB--2AC-ABcosZCAB=7(273)2+(V3)2-2x273x73xcos60°=3

所以=/台2+8。2,480=90。，

设。是/C中点，则。是A/BC外心，又△24。是等边三角形，所以。DL/C,

而平面PACJ_f■面ABC,平面PACD平面ABC=AC.PDu干面PAC,所以PD1

平面ABC,所以△PAC的外心即中三棱锥P-ABC外接球的球心，

1oATA32rL

所以球半径R=±x—^—=2,球体积为忆=一"及3=——.故选：C.

2sin60°33

R

11.在正三棱锥S—48C中，M、N分别是棱SC、3c的中点，且⑷/L7W,若侧棱

SA=2G，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________.

【答案】解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下；

如图⑶-1,取45,8。的中点。,£,连接/瓦C£).AE,CD交于H,连接577.B1,H

是底面正三角形4BC的中心，平面/SC,

SH^AB.：AC=BC,AD=BDCD1AB,

...AS，平面SCOABLSC,

同理：BCVSA,ACLSB,即正三棱锥的对棱互垂直,

本题图如图(3)-2,'.'AM17W,SB//MN.

：.AMVSB'.'AC1SB55，平面1s4C,

SB1SA,SB1SC,：SB1SA.BC1SA,

S4，平面1ssC,1SC,故三棱锥S-48c的三棱条侧棱两两互垂直,

(27?)2=(273)2+(2V3)2+(2V3)2=36即4火2=36,.•.外接球的表面积是36〃

12.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为（）

A.兀B.—C.-D-

424

【解析】球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的g,球的半径为1,则圆柱底面圆的半径r

=11一02=/，故该圆柱的体积为v=7txf2j2xl=­.

24

13.在三棱锥P—ABC中，AsABC为等边三角形，PA=PB=PC=3,PAJ_PB,则三棱锥P

-ABC的外接球的体积为（）

A.yTtC.273兀D.27兀

【解析】因为PA=PB=PC,Z\ABC是正三角形，所以4PAB/△PAC7ZXPBC,由PA_LPB

知，PA±PC,PBXPC,以PA,PB,PC为过同一顶点的三条棱作正方体（图略），则三棱锥

P—ABC的外接球可看成正方体的外接球，因为正方体的体对角线长为33，所以其外接球

的半径为R=-,外接球的体积为丫=£1<3=丝3:.故选8.

232

14.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径，若平面SCA1

平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S—ABC的体积为9,则球O的表面积为________.

【解诉】如图，SC为球0的直径，。为球心，

因为SA=AC,所以A01SC,

同理SB=BC,所以BO_LSC,BOnAO=O,所以SC_L平面ABO.

又平面SCA_L平面SCB,