2023年北京中考数学重难题型专练：新定义创新型综合压轴问题（北京专用）【原卷版】

2023中考数学重难题型押题培优导练案(北京专用)

专题01新定义创新型综合压轴问题

(北京13-22年最后一题+真题10道模拟30道)

【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢

新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读

懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型

(1)定义新运算；(2)定义初、高中知识衔接"新知识"；(3)定义新概念.这类试题考查考生对"新定

义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利

用已有的知识经验来解决问题.

解决此类题的关键是(1)深刻理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；

(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归

纳“举例”提供的分类情况；(3)依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思

想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应

点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。在

平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法.解答这类问题的

关键是要读懂题目提供一的新知识，理解其本质，把它与己学的知识联系起来，把新的问题转化为己学的知

识进行解决.

【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分

【例1】(2022•北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,6),N.对于点P给出如下定义：将点P

向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(6>0)或向下(b<0)平移网个单位长度，得到点P',

点P'关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.

(1)如图，点点N在线段。M的延长线上，若点P(—2,0),点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=：OM;

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段OM上，且。N=t(1<t<：L),若P为。。外一点，点Q为

点P的“对应点”，连接PQ.当点M在O。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)

【例2】（2021•北京・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于点力和线段BC,给出如下

定义：若将线段BC绕点2旋转可以得到O。的弦8'C'分别是的对应点），则称线段BC是。。的以

点4为中心的“关联线段”.

（1）如图，点481，的,_82，。2岛,。3的横、纵坐标都是整数.在线段B1G，B2c2，B3c3中，O。的以点4为中心的

“关联线段”是;

（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点2（0©,其中t40.若BC是。。的以点4为中心的“关联线段”，

求t的值；

（3）在△ABC中，AB=1,AC=2.若BC是。。的以点4为中心的“关联线段”，直接写出。4的最小值和最

大值，以及相应的BC长.

【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心

1.（2020•北京•中考真题）在平面直角坐标系久0y中，。。的半径为1,A,B为。O外两点，AB=1.给出

如下定义：平移线段AB,得到。O的弦（48分别为点A,B的对应点），线段24长度的最小值称为

线段AB到。O的“平移距离”.

(1)如图，平移线段AB到。。的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在

点「1岛岛岛中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到。O的“平移距离”；

(2)若点A,B都在直线y=V3%+2旧上，记线段AB到00的“平移距离”为心，求出的最小值；

(3)若点A的坐标为(2,|),记线段AB到。。的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.

2(2019•北京•中考真题)在aABC中，D,E分别是△4BC两边的中点，如果南上的所有点都在aABC的

内部或边上，则称而为aABC的中内弧.例如，下图中朝是AABC的一条中内弧.

(1)如图，在RSABC中，AB=AC=2y[2,D,E分别是AB,AC的中点.画出AABC的最长的中内弧

DE,并直接写出此时助的长；

(2)在平面直角坐标系中，已知点4(0,2),8(0,0),C(4t,0)(t>0),在aABC中，D,E分别是4B,AC的

中点.

①若t=/求4ABC的中内弧而所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在aABC中存在一条中内弧砺，使得朝所在圆的圆心P在aABC的内部或边上，直接写出t的取值

范围.

3.（2018•北京•中考真题）对于平面直角坐标系久。y中的图形M,N,给出如下定义P为图形M上任意一点，

Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”，

记作d（M,N）.

已知点4（-2,6）,B（-2,-2）,C（6,-2）.

（1）求d（点。，△48C）；

（2）记函数y="（—lWxWl,k力0）的图象为图形G,若d（G,△ABC）=1,直接写出k的取值范围

（3）07的圆心为7（7,0）,半径为1.若d（OT,AABC）=1,直接写出/的取值范围.

4.（2017•北京•中考真题）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义若在图形M存在一

点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.

（1）当。。的半径为2时，

①在点「心0）/2仔字）,P3（|,0）中，0。的关联点是.

②点P在直线y=-x上，若P为。O的关联点，求点P的横坐标的取值范围.

（2）OC的圆心在x轴上，半径为2,直线y=-x+l与x轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都

是。C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

5.（2016•北京・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（打，上）,点Q的坐标为（冷，＞2），

且孙十无2,月大及，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为

点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A的坐标为（1,0）.

①若点B的坐标为（3,1）求点A,B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）。。的半径为点M的坐标为（m,3）.若在00上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为

正方形，求m的取值范围.

6.(2015•北京・中考真题)在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为心尸是与圆心C不重合的点，点尸关

于。C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P,满足CP+CP=2r,则称P为点尸关于OC的反称

点，如图为点尸及其关于。C的反称点P的示意图.

特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0.

(1)当。。的半径为1时.

①分别判断点〃(2,1),N(|,0),T(1,V3)关于。O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；

②点尸在直线y=-x+2上，若点尸关于。。的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点尸的横坐标的取值

范围；

(2)。。的圆心在x轴上，半径为1,直线尸-争+2板与x轴、〉轴分别交于点/,B,若线段上存在

点尸，使得点P关于0c的反称点P在。C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.

7.(2014•北京・中考真题)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足

-M<y<M,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如,

下图中的函数是有界函数，其边界值是1.

U)分别判断函数y=：(%>0)和丫=%+1(—4<%32)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

(2)若函数y=—%+《瓦b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围；

(3)将函数y=/(—14工工相，m20)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是上当血在什么

范围时，满足

8.(2013•北京•中考真题)对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：若。C上存在两个点

A,B,使得NAPB=60。，则称P为。C的关联点.已知点D(i,A),E(0,-2),F(2抬，0)

।।।i>

~Ox

(1)当。O的半径为1时，

①在点D,E,F中，。。的关联点是；

②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使NGFO=30。，若直线上的点P(m,n)是。O的关联点，求m的

取值范围；

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.

【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优

一、解答题

1.(2022•北京朝阳•二模)在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,48=1,且8两点中至少有一

点在。。外.给出如下定义平移线段N3,得到线段4夕(4,反分别为点Z,3的对应点)，若线段4夕上

所有的点都在。。的内部或。。上，则线段A4长度的最小值称为线段N8到。。的“平移距离”.

⑴如图1,点邑的坐标分别为(一3,0),(-2,0),线段A%到。。的“平移距离”为_，点儿，B2

的坐标分别为(号，V3)，(pW)，线段42夕2到。。的“平移距离”为—；

(2)若点/,5都在直线y=Bx+2值上，记线段到。。的“平移距离”为力求d的最小值；

(3)如图2,若点/坐标为(1,V3)，线段N8到。。的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点8形

成的图形(不需证明).

2.(2022•北京北京•二模)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于线段PQ给出如下定义：若线段

PQ与。。有两个交点M，N,且PM=MN=NQ,则称线段PQ是。。的“倍弦线”.

(1)如图，点4,B,C,D的横、纵坐标都是整数.在线段4B,AD,CB,CD中，O。的倍弦线”是:

⑵O。的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E,求点E纵坐标的取值范围；

⑶若O。的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出6的取值范围.

3.(2022•北京大兴・二模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=l,给出如下定义：若点尸在直

线y=l上，且以点尸为顶点的角是45。，则称点尸为直线y=l的“关联点”.

(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”尸.则点P的坐标为；

y八

2-

1>=1

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

(2)过点P(2,l)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为工；另一条射线、交无轴于点3,若点P为直线y=l

的“关联点”.求点8的坐标；

2-

1歹=1

-3-2-1O12345K

-1-

-2-

(3)以点。为圆心，1为半径作圆，若在。。上存在点N,使得NOPN的顶点P为直线y=l的“关联点”.则

点P的横坐标a的取值范围是.

4.(2022•北京东城•二模)在平面直角坐标系久0y中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线/,有如下定义：过

图形G上任意一点Q作QUIZ于点若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线/的最佳射影

距离，记作d(G,2),此时点Q称为图形G关于直线/的最佳射影点.

p

?456x

备用图

⑴如图1,已知2(2,2),8(3,3),写出线段4B关于x轴的最佳射影距离d(2B,久轴)=；

(2)已知点C(3,2),(DC的半径为鱼，求。C关于x轴的最佳射影距离d(0C,x轴)，并写出此时。C关于万

轴的最佳射影点Q的坐标；

(3)直接写出点。(0,何关于直线1的最佳射影距离d(点的最大值.

5.(2022•北京•清华附中一模)在平面直角坐标系xOy中，对于两个点尸，。和图形印，如果在图形沙上

存在点N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么称点尸与点。是图形爪的一对平衡点.

(1)如图1,已知点4(0,3),8(2,3)；

①设点。与线段AB上一点的距离为d,则d的最小值是，最大值是

②在Pi(|,O),P2(l,4),P3(—3,0)这三个点中，与点。是线段N8的一对平衡点的是.

(2)如图2,已知。。的半径为1,点。的坐标为(5,0).若点EQ,2)在第一象限，且点。与点E是。。的

一对平衡点，求x的取值范围；

(3)如图3,已知点H(—3,0),以点。为圆心，长为半径画弧交x的正半轴于点K.点C(a,6)(其中

b20)是坐标平面内一个动点，且。C=5,0c是以点C为圆心，半径为2的圆，若E/K上的任意两个点

都是。C的一对平衡点，直接写出b的取值范围.

6.(2022•北京丰台•一模)在平面直角坐标系中，。。的半径为1,7(0,力为了轴上一点，尸为平面

上一点.给出如下定义若在。。上存在一点。，使得△7QP是等腰直角三角形，且/T0尸=90。，则称点P

为。。的“等直点”，△7QP为。。的“等直三角形”.如图，点/,B,C,。的横、纵坐标都是整数.

j-।—

(1)当f=2时，在点4,B,C,。中，。。的“等直点”是；

(2)当f=3时，若△加「是。等直三角形”，且点尸，0都在第一象限，求焉的值.

7.(2022•北京市第一六一中学分校一模)在平面直角坐标系xQy中，对于点P和图形M如果线段。P与

图形少无公共点，则称点尸为关于图形少的“阳光点”；如果线段OP与图形少有公共点，则称点P为关

于图形少的“阴影点

①在尸/(1,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(2,1)这四个点中，关于线段的“阳光点”是；

②线段A/J/AB,小片上的所有点都是关于线段的“阴影点”，且当线段出片向上或向下平移时，都会

有，//上的点成为关于线段N8的“阳光点”，若，出8/的长为4,且点出在用的上方，则点出的坐标

为_______

(2)如图2,已知点C(1,后,。。与y轴相切于点。，若。E的半径为|,圆心E在直线/：y=—舟+4

声上，且。E的所有点都是关于0c的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；

(3)如图3,0M的半径为3,点/到原点的距离为5,点N是。M上到原点距离最近的点，点0和T是坐

标平面的两个动点，且。M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQ?的周长的最小值.

8.(2022•北京市第五中学分校模拟预测)定义：尸、0分别是两条线段。和b上任意一点，线段尸0长度的

最小值叫做线段。与线段6的“冰雪距离”，已知O(0,0),A(1,VD，B(加，〃)，C(加，/2)是平面

直角坐标系中四点.

(1)根据上述定义，完成下面的问题:

①当加=2鱼，〃=加时，如图1,线段8C与线段CM的“冰雪距离”是；

②当俏=2鱼时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是鱼，则n的取值范围是；

(2)如图2,若点8落在圆心为4半径为鱼的圆上，当〃N鱼时，线段8C与线段。区的“冰雪距离”记为

d,结合图象，求d的最小值；

(3)当机的值变化时，动线段2C与线段。/的“冰雪距离”始终为鱼，线段BC的中点为直接写出点M

随线段3C运动所走过的路径长.

9.(2022•北京市师达中学模拟预测)如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该

角的角内圆.特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆.在平面直角坐标

系xOy中，点、E,厂分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.

⑴分别以点/(1,0),B(1,1),C(3,2)为圆心，1为半径作圆，得到ON,和。C,其中是/EOF

的角内圆的是;

⑵如果以点。(62)为圆心，以1为半径的。。为NEO尸的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值

范围；

(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点尸(2,2V3)的圆为NEMO的角内相切圆，直接写

出NEOM的取值范围.

10.(2021•北京朝阳•二模)在平面直角坐标系了S中，对于图形。和/尸，给出如下定义：若图形。上的

所有的点都在/尸的内部或/尸的边上，则/尸的最小值称为点尸对图形0的可视度.如图1,NNOB的度

数为点O对线段N2的可视度.

(1)已知点N(2,0),在点Mi(0,1③，M2(1,V3)，用3(2,3)中，对线段ON的可视度为60。的点是

(2)如图2,已知点4(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2),D(2,2),E(0,4).

①直接写出点E对四边形/BCD的可视度为°；

②已知点尸(°,4),若点尸对四边形4BC。的可视度为45。，求a的值.

y八

E"

2

02

B-2C

图1图2

11.(2022•北京四中模拟预测)在平面内，对点组小，A2,和点尸给出如下定义：点尸与点小，

A2,N"的距离分别记作力，d2,dn,数组力，d2,办的中位数称为点尸对点组小，A2,An

的中位距离.

例如，对点组小(0,0),A2(0,3),A3(4,1)和点尸(4,3),有力=5,d2=4,幺=2,故点尸对点组

A],A2,出的中位距离为4.

⑴设Z/(0,0),Z2(4,0),Z3(0,4),Y(0,3),直接写出点丫对点组Z/,Z2,Zg的中位距离；

(2)设G(0,0),C2(8,0),Q(6,6),则点Q(7,3),Q2(3,3),Q3(4,0),Q4(4,2)中，对点

组G，C2,C3的中位距离最小的点是，该点对点组C/，C2,C3的中位距离为;

(3)设河(1,0),N(0,何，Ti(60),T2(Z+2,0),T3(t,2),若线段MV上任意一点对点组T2,T3

的中位距离都不超过2,直接写出实数f的取值范围.

12.(2020・北京•人大附中模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P,Q和图形M,若图形M上

存在一点C,使NPQC=90。，则称点Q为点尸关于图形M的“折转点”，称APCQ为点P关于图形M的“折转三角

形”

(1)已知点4(4,0),5(2,0)

①在点Qi(2,2),Q2(l,—遍)，Q3(4,—1)中，点。关于点4的“折转点''是;

②点。在直线丫=—无上，若点。是点。关于线段4B的“折转点”，求点。的横坐标孙的取值范围；

(2)0r的圆心为。0),半径为3,直线y=x+2与x,y轴分别交于E,F两点，点P为。7上一点，若线

段EF上存在点P关于OT的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取

值范围.

13.(2020•北京市陈经纶中学分校三模)平面直角坐标系xQy中，对于点M和图形忆若图形少上存在一

点N(点M,N可以重合)，使得点〃与点N关于一条经过原点的直线/对称，则称点M与图形少是冲心

轴对称''的

对于图形勿1和图形加2，若图形加1和图形加2分别存在点M和点N(点M,N可以重合)，使得点/与点N

关于一条经过原点的直线I对称，则称图形W1和图形勿2是“中心轴对称”的.

特别地，对于点M和点N,若存在一条经过原点的直线/,使得点M与点N关于直线/对称，则称点M和

点N是“中心轴对称”的.

(1)如图1,在正方形N5CD中，点4(1,0),点C(2,l),

①下列四个点Pi(0,l),02(2,2),P3(-|,0),P4(—1—亨)中，与点/是“中心轴对称”的是

②点E在射线上，若点E与正方形/2CD是“中心轴对称”的，求点K的横坐标距的取值范围;

(2)四边形7K的四个顶点的坐标分别为G(—2,2),"(2,2),/(2,-2),K(—2,—2),一次函数y=遮

x+b图象与x轴交于点与y轴交于点N,若线段与四边形G凡尔是“中心轴对称”的，直接写出6的取

值范围.

14.(2022•北京房山•二模)对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点。，给出如下定义：将图形G绕点0

顺时针旋转90。得到图形N,图形N称为图形G关于点。的“垂直图形”，例如，图1中线段。。为线段0C关

于点。的“垂直图形”.

图1

(1)线段MN关于点的“垂直图形”为线段MP.

①若点N的坐标为(1,2),则点P的坐标为；

②若点P的坐标为(4,1),则点N的坐标为；

⑵E(—3,3),F(—2,3),H(a,0).线段EF关于点”的“垂直图形”记为EF,点E的对应点为民，点的对应点为

F'.

①求点的坐标(用含。的式子表示)；

②若。。的半径为2,EE上任意一点都在。。内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值.

15.(2022•北京丰台•二模)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,/为任意一点，2为。。上任意一

点，给出如下定义：记48两点间的距离的最小值为p(规定：点4在。。上时，p=0),最大值为

那么把等的值称为点力与。。的“关联距离”，记作OO)

(1)如图，点。，E,尸的横、纵坐标都是整数

®d(£),。。)=；

②若点M在线段斯上，求1(7,的取值范围;

(2)若点N在直线丫=每+2班上，直接写出d(N,©0)的取值范围；

(3)正方形的边长为〃?，若点P在该正方形的边上运动时，满足，(尸，。。)的最小值为1,最大值为国,

直接写出m的最小值和最大值.

16.(2022•北京平谷・二模)对于平面直角坐标系xOy中的图形尸，Q,给出如下定义：M为图形P上任意

一点，N为图形。上任意一点，如果M,N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P,。间的‘非

常距离”，记作d(P,Q).已知点4(—2,2),B(2,2),连接48.

Q

4-

3-

A---------2------------B

1-

iiii_______1111A

-4-3-2-1O1234x

—1-

-2-

—3-

-4-

(1)(7(点O,AB)=；

(2)。。半径为尸，若d(00,48)=0,直接写出一的取值范围；

(3)。。半径为心若将点4绕点8逆时针旋转。。(0。＜仇＜180。)，得到点4.

①当a=30。时d(。。,4)=0,求出此时尸的值；

②对于取定的/值，若存在两个a使d(。。,4)=0,直接写出尸的范围.

17.(2022・北京密云・二模)对于平面直角坐标系中的点尸(2,3)与图形T,给出如下定义：在点尸与图

形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点尸的“宽距”.

备用图

(1)如图，。。的半径为2,且与x轴分别交于2两点.

①线段AB关于点P的“宽距”为；QO关于点P的“宽距”为.

②点为无轴正半轴上的一点，当线段关于点尸的"宽距''为2时，求加的取值范围.

(2)已知一次函数y=K+1的图象分别与x轴、y轴交于£两点，。。的圆心在x轴上，且。C的半径为

1.若线段DE上的任意一点K都能使得。C关于点K的“宽距”为2,直接写出圆心C的横坐标玄的取值范

围.

18.(2022•北京门头沟•二模)我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P均在直线MN的上方，如果

HP=HP',=点P就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为"点”，射线HP与射线HP，

组成的图形为，形”.

在平面直角坐标系久Oy中，

(1)如果点P(0,3),“(1.5,0),那么点P关于x轴的反射点P的坐标为；

(2)已知点4(0,a),过点4作平行于x轴的直线1.

①如果点B⑸3)关于直线/的反射点夕和"点”都在直线y=-%+4上，求点方的坐标和a的值;

②OW是以(3,2)为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线1的反射点和V点”都在直线y=—x+4上，且形

成的“V形”恰好与。勿有且只有两个交点，求a的取值范围.

19.(2022•北京东城•一模)对于平面直角坐标系久Oy中的点C及图形G,有如下定义：若图形G上存在4

2两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且乙4BC=90°,则称点C为图形G的“友好点”.

⑴已知点。(0,0),M(4,0),在点Ci(0,4),C2(l,4),C3。—1)中，线段(W的“友好点”是；

(2)直线y=—久+b分别交x轴、y轴于尸，0两点，若点C(2,l)为线段尸。的“友好点”，求6的取值范围；

(3)已知直线丫=%+/&>0)分别交工轴、〉轴于£,尸两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的。。的

“友好点”，直接写出d的取值范围.

20.(2022•北京顺义•二模)在平面直角坐标系xS，中，对于点R和线段P。，给出如下定义：M为线段P0

上任意一点，如果凡〃两点间的距离的最小值恰好等于线段尸0的长，则称点R为线段P。的“等距

点”.

(1)已知点4(5,0).

①在点以(—3,4),82(1,5),%(4,一3),B4(3,6)中，线段。/的“等距点”是；

②若点C在直线y=2久+5上，并且点C是线段。/的“等距点”，求点C的坐标；

(2)已知点点E(0,—1),图形沙是以点T(t,O)为圆心，1为半径的OT位于x轴及x轴上方的部

分.若图形沙上存在线段DE的“等距点”，直接写出f的取值范围.

21.(2022•北京市十一学校模拟预测)在平面直角坐标系xQy中，给出如下定义：点尸为图形G上任意一

点，将点P到原点。的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”.特别地，点P到原点。的最大距

离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0.

⑴已知，点4(-4短2),B(2V2,2).

①原点。到线段AB上一点的最大距离为,最小距离为；

②当点C的坐标为(0即)时，且△4BC的“全距”为4,求加的取值范围；

(2)已知。M=7,等边△DEF的三个顶点均在半径为3的OM上.求△DEF的“全距”d的取值范围.

22.(2022•北京房山•二模)对于平面直角坐标系久Oy中的图形加1和图形勿2・给出如下定义：在图形勿i上

存在两点B(点/,8可以重合)，在图形川2上存在两点新，N,(点M、N可以重合)使得4M=28N,

则称图形川1和图形勿2满足限距关系

⑴如图1,点C,0),D(0,—1),以0,1),点尸在线段CE上运动(点尸可以与点C,E重合)，连接。P,DP.

①线段OP的最小值为，最大值为;线段DP的取值范围是;

②在点O,点。中，点与线段EC满足限距关系；

⑵在(1)的条件下，如图2,。。的半径为1,线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点凡G,且FG||EC,

若线段FG与。。满足限距关系，求点尸横坐标的取值范围；

(3)0。的半径为r(r>0),点“，K是00上的两个点，分别以“，K为圆心，2为半径作圆得到OH和

QK,若对于任意点H,K,和OK都满足限距关系，直接写出，的取值范围.

23.(2022•北京昌平•二模)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于△4BC和直线Z给出如下定义:

若△2BC的一条边关于直线Z的对称线段PQ是O。的弦，则称△ABC是O。的关于直线2的“关联三角形”，

直线I是“关联轴”.

图1备用图

(1)如图1,若△4BC是。。的关于直线/的“关联三角形”，请画出△ABC与。。的“关联轴”(至少画两条)；

⑵若△4BC中，点4坐标为(2,3),点B坐标为(4,1),点C在直线y=r+3的图像上，存在，关联轴厂使△A8C

是。。的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；

(3)已知力(g,l),将点4向上平移2个单位得到点M,以M为圆心MA为半径画圆，B,C为OM上的两点，

且48=2(点B在点4右侧)，若△4BC与。。的关联轴至少有两条，直接写出。C的最小值和最大值，以及0C

最大时AC的长.

24.(2022•北京市H^一学校二模)对于平面直角坐标系xOy中的图形少，给出如下定义：点尸是图形沙上

任意一点，若存在点。，使得N。。尸是直角，则称点。是图形少的“直角点”.

8

17F-

6

F

5

b

4

13k-

2

k

l

L

1

-

-2

-3

-4

-5

-6

-7

(1)已知点/(6,8),在点Qi(5,0),<?2(—2,4),(23(9,5)中，是点/的“直角点”；

(2)已知点8(-4,4),C(3,4),若点。是线段8c的“直角点”，求点。的横坐标"的取值范围；

(3)在(2)的条件下，已知点。(m-1,0),E(加，0),以线段为边在x轴上方作正方形DEFG.若正

方形DEFG上的所有点均为线段2c的“直角点”，求m的取值范围.

25.(2022•北京通州•一模)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点尸为图形G上任意一点，将点P

到原点。的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”.特别地，点P到原点。的最大距离与最小距

离相等时，规定图形G的“全距”为0.

(1)如图，点4(一g,1),B(V3,1).

①原点。到线段N2上一点的最大距离为,最小距离为；

②当点C的坐标为(0即)时，且△4BC的“全距”为1,求加的取值范围；

(2)已知OM=2,等边△。斯的三个顶点均在半径为1的OM上.请直接写出△。斯的“全距％的取值范

围.

26.(2022•北京石景山•一模)在平面直角坐标系xp中，点尸不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为

巳，点P关于y轴的对称点为B，称△尸巨巳为点P的“关联三角形”.

(1)已知点/(I,2),求点/的“关联三角形”的面积；

(2)如图，已知点例加，")，。「的圆心为7(2,2),半径为2