2023-2024学年重庆市部分学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆市部分学校高一(上)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4-{x\x<1},B-{—3,—2,1,2,3},则4AB=()

A.{-3}B.{1,2,3}C.{-3,-2}D.{-3-2,1)

2.设角a的始边为x轴的非负半轴，则“sina>0”是“角a的终边在第二象限”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1

3.函数y=3x+-(x>0)的最小值是()

A.4B.5C.3^/2D.2G

4.已知cos。0e(耳2兀)，则tan。=()

4334

A--3B4C-~4D3

09

5.设a=G)-°,4,b=3,c=log0,880.9,则a,b,c的大小关系为()

A.b<c<aB,b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

6.设函数f(£)=2023/+2024)x,满足f(a)f(b)f(c)<0,(0<a<b<c),若八x)存在零点久。,则下

列选项中一定错误的是()

A.%0€(a,6)B.x0€(b,c)C.x0E(a,c)D.x0£(c,+oo)

7.函数①/(x)=sinx-cosx,②/'(%)=(sinx+cosx)2-l,(3)f(x)=1-sin2(x+今)中，周期是兀且为奇

函数的所有函数的序号是()

A.②B.①②C.①③D.②③

8.已知函数/(%)={|"。3用,即';后°,%2,X3>%4是函数9。)=/(%)-租的4个零点，且工1<尤2<%3<

应，给出以下结论：

①山的取值范围是(0,2)；

②产+3次=,

③冷+4%4的最小值是4;

④爰詈的最大值是乎•

其中正确结论的个数是()

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A.1B.2C.3D.4

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9,下列命题中，假命题是()

A.3%0ER,sinxo=2

B.“％>1”是“2%>1”的充分不必要条件

C.Vx>0,Igx>0

,,

D.命题“Yx>0,tanx>sinx"的否定为'勺为。<。，tanx0>sinx0

10.已知m>n>0,k>1,则下列各式成立的是()

A.->-B.km>knC.—>—D.mk<nk

mnnm

11.我们知道：函数y=f(x)为奇函数的充要条件是y=f(x)的图象关于原点成中心对称：我们还可以将其

推广为：若函数y=f(x+口)-6为奇函数，贝。=f(久)图象关于点P(a,b)成中心对称.现已知函数

y=/Q+1)-2为定义在R上的奇函数，又有函数g(x)=答，且函数/(%)与g(x)的图象恰好有2024个不

同的交点尸尸2(%2，丫2)，…，P2024(%2024，y2024)，则下列结论正确的是()

A./(%)的图象关于点(-1,2)对称B./(%)的图象关于点(1,2)对称

C.%i+%2+…+汽2024=2024D.yi+y2+■■■+72024=4048

12.已知函数fO)=sinp('+J],则下列说法正确的是()

%2—2%+3

A"(久)满足f(2-久)=/(%)

B./(%)>

C.f(x)是周期函数

1

D.k4/(%)在久ER上有解，则k的最大值是5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(X)=-2的定义域为.

14.已知嘉函数/(久)="的图象经过点(2,4),则/(3)=.

15.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司

的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现芯片国产化，

加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造研发资金60亿元，在此基础上，

每年投入的研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入的研发资金开始超过100亿元的年份是.

(参考数据：1gl.09-0.037,lg2-0.3010,lg3«0.4771)

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16.形如/（X）=x+%k>0）的函数被我们称为“对勾函数”.具有如下性质：该函数在（0,也）上是减函

数，在（也,+8）上是增函数.已知函数/（无）=x+?（0<aW避）在［―2,-1］上的最大值比最小值大看则

a=.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

已知集合4={x\a<x<a+4］,B={x\x>6}.

（1）若a=3,求4UB；

（2）若力nB=A,求实数a的取值范围.

18.（本小题12分）

（1）T+^：log336-log34；

（2）已知函数/（x）=sin2x+y^cos2x+1,求/（久）的单调递减区间.

19.（本小题12分）

已知函数/'（无）=ax2_（a+6）x+6.

（1）当a=l时，求函数/（%）的零点;

（2）当aWO时，求不等式/（无）<0的解集.

20.（本小题12分）

如图，在直角坐标系中，锐角a,£的终边分别与单位圆交于力、B两点，角a+0的终边与单位圆交于C

点，过点4、B、C分别作无轴的垂线，垂足分别为M、N、P.

（1）如果|。如=|,\BN\=y|,求cos（a+£）的值；

（2）求证：|PC|<\MA\+\NB\.

21.（本小题12分）

已知函数人K）的定义域为/,若存在实数3使得对于5e渚⑶2€/满足处+?牝）=t,则称函数人久）为

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“三倍函数”.

(1)判断函数/(X)=矿是否为“三倍函数”，并说明理由；

(2)若函数g(x)=sin(s+孰3>0),x6［0,1］为"三倍函数"，求3的取值范围.

22.(本小题12分)

Y—n

已知函数9(久)=log37Tl为奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断函数g(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(3)若存在s,te(1,+8),使g(x)在区间［s用上的值域为170g3g-热093(m-如，求实数"的取值范

围.

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参考答案

1.C

2.B

3.0

4.2

5.C

6.B

7.0

8.A

9.ACD

10.BC

11.BCD

12.48。

13.[2,+8)

14.9

15.2030

16.1

17.解:集合A={x\a<x<a+4],B={x|x>6},

(1)当a=3时，A={%|3<x<7},

・•.AUB={x\x>3}；

(2)若AAB=Af则/NB,

a>6.

・,・实数a的取值范围是[6,+oo).

18.^：(l)log336-log34=log39=2；

(2)/(%)=2sin(2x+$+1,

令2kji+^<2%4手+2/C7T,kE.Z,

得ATT+^<X<y^+/C7T,kEZ,

.・./(%)的单调递减区间为：区7T+看Mr+等，kEZ.

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19.解:⑴当a=1时，/(%)=X2-7X+6,

由%2—7%+6=0,解得久=1或i=6.

・•・当a=l时，函数/(%)的零点为1和6；

(2)ax2—(a+6)x+6<0=(%—l)(a%—6)<0,

当a<0时，解得一'V%<1.

•••不等式/(*)<0的解集为

Q12

20.解:(1)由题意可知,cosa=-,sinp=—,

•••a和0均为锐角，

45

•••sina=-,cosp=—,

3541233

•••cos(cr+4)=cosacosp—sinasinp=-x——-x—=——；

(2)证明：由题意可知，|M4|=sina,|NB|=sin0,

又•:\PC\=sin(cr+/?)=sinacos^+cosasin^<sina-1+sin^•1=sina+sin/?,

\PC\<\MA\+\NB\.

21.解:(1)/(%)=e%不是"三倍函数"，理由如下：

因为/(%)=1，/=R，

假设/(%)=e%是“三倍函数”，

则存在实数3使得VX16R,都存2eR满足人+占2)=t,

即红芋2=如即e，2=3t—5，

因为y=31-久1的值域为R,y=e不的值域为(0,+8),不满足条件，

故函数人吗=e，不是"三倍函数

77

(2)因为g(x)=sin(3久+§)(3>0),xe[0,1]为"三倍函数"，

所以存在teR,VXiE[0,1],者归利6[0,1],有血+产=t,

JI

即sin®%2+§)=3t—%i，

当久iE[0,1]时，y=的值域是[31一1,3订，

TT

则9(%2)=sin(tox2+§)在尤26[0,1]的值域包含

当%2e[0,1]时，(1)>0,则为33^2+/三3+全

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…JIJiJirJ

若3+g<2'即3W%，则9(X2)俏讥=芋,。(比2)41，

此时9(冷)值域的区间长度不超过!而区间［3t-1,3H长度为1,不满足题意；

十paTT71TT

于7^3+不〉万，o即n口>d，g(%2)ma久=1，

TT

要使。(久2)=sin®久2+§)在久2G［0,1］的值域包含网一1,3订，

TT

则g(%2)=sin(5：2+§)在*2e［0,1］的最小值至少要小于等于o,

又皿+聂后手］时，9(*2)在后岑］上单调递减且sirm=0,

故有3+-7>7T,解得32名，

Jo

此时取t=|,y=3~町的值域是［0,1］,

而g(%2)血nW。，g(x2)max=^<故9。2)在%2€［0闺的值域包含［0,1］，满足题意;

所以3的取值范围是目,+8).

X—n

22.解：(1)因为函数g(x)=log37Tl为奇函数，所以9(一久)+9(久)=0>

即的3=71+的3='=0,1。93(—+1)(X+1)=0,-----匚^-----二1，

化简得小―%2—1—x2,即层=1,a=±1;

当a=-1时，g(x)=/。禽关—，定义域为工。-1,不符合题意；

当a=l时，g(x)=1003三米7ZT>0,定义域为(一8,-1)u(1,+8),

<XI九IX

定义域关于原点对称，所以a=1满足题意，

综上所述，实数a的值为1.

(2)函数g(x)在(一8,-1),(1,+oo)上为增函数；

y_1

证明：由(1)知g(X)=定义域为(-8,-1)u(1,+8),

任取巧，*2e(1,+8),不妨设巧<久2，

则g(*i)—g(%2)=】。。35昌一］。。3专三

_］(久111)((2+1)

=’°03(%1+1)(比2—1)，

因为％］—1>0,%2+1>0，所以(%1-1)(%2+1)>0，

因为％1+1>0,%2-1>0,所以(%1+1)(%2-1)>0,所以器学堂外>0，

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01—1)(*2+1)-(X1+1)(X2—1)=2(X1—*2)<0,所以0<以］黑21；卜L

所以1。。32音台M<0'即9(打)<9。2)，