2020-2024年高考数学试题分类汇编：数列（解析版）

4<06裁列

■

5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

考点1数列基

2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算

本量的计算

利用等比数列的通项公式求数列中的项；

（5年1考）

2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用等

差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n

项和写出等比数列的通项公；

2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算

等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求

考点2数列通

和分组（并项）法求和；

项

2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算1.数列在高考的考查主要包含了，

（5年4考）

由定义判定等比数列错位相减法求和数列不数列的基本量运算，主要包含了等

等式恒成立问题；差、等比的通项与求和运算。

2020天津卷：等差数列通项公式的基本量计算2.数列的通项公式在高考中的考察

求等差数列前n项和等比数列通项公式的基本主要包含了，等差等比数列的通

量计算分组（并项）法求和；项，前n项和与通项的关系，累加

2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质累成等。

等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前3.数列的求和在高考中的考察主

n项和裂项相消法求；要包含了，裂项相消法，错位相减

2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用等法，分组求和法等.

差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n

考点3数列求项和写出等比数列的通项公；

和2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算

（5年5考）等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求

和分组（并项）法求和；

2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算

由定义判定等比数列错位相减法求和数列不

等式恒成立问题；

2020天津卷：等差数列通项公式的基本量计算

求等差数列前n项和等比数列通项公式的基本

量计算分组(并项)法求和；

5年真题•分点精准练

考点01数列基本量的计算

1.(2023•天津•高考真题)已知数列｛即｝的前n项和为%,若的=2fan+1=2Sn+2(nGN*),则以=

()

A.16B.32C.54D.162

【答案】C

K祥解]由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.

【详析】当几22,几WN*时，an=2Sn_r+2,所以为一a九=2册，即即+1=3M，

当ri=1时，a2=2Sn+2=2al+2=6=3al,

所以数列是首项为2,公比为3的等比数列，

则。4=—54.

故选：C.

考点02数列通项

2.(2024•天津•高考真题)己,知数列｛a"是公比大于。的等比数列.其前ri项和为5.若％=1,S2=a3-l.

(1)求数列｛5｝前n项和工；

⑵设与=[一丁=).fceN*,/c>2.

l^n-i+2kfak<n<ak+1

(i)当k>2,n=Q/c+i时，求证：bn_1>ak•bn；

(ii)求£落伍.

【答案】⑴Sn=2n—1

⑵①证明见详析；②监上仇=刖-1｝+1

K祥解X(1)设等比数列｛%J的公比为q>0,根据题意结合等比数列通项公式求q,再结合等比数列求和

公式分析求解；

(2)①根据题意分析可知ak=2&T,6?^=k+l，^^-l=k(2k-l),利用作差法分析证明；②根据题意结

合等差数列求和公式可得2修已仇=][(3k-1)小-(3k-4)小-打，再结合裂项相消法分析求解.

【详析】(1)设等比数列｛即｝的公比为q>0,

因为Ql=1,S2=%—1，即%+的=。3—1，

可得1+q=q2_1,整理得q2-Q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去)，

所以配=转=2"—1.

(2)(i)由(1)可知即=2"-1,且k€N*,k22,

k1

当九=ak+1=2>40t,则代—：_：2~,即以<n-1<ak+1

In—1—Q/c+i_1<ttfc+i

k-1

可知以=2,bn=k+1,

fc-1k

bn-i=bak+(afc+1-afc-1)-2fc=fc+2fc(2-1)=k(2-1),

=

可得匕-i—Q/c,bn=fc(2^—1)—(fc+1)2'-1=(fc-1)2"-1—kN2(k—1)—kk—2之0,

当且仅当/c=2时，等号成立，

所以bn_i>ak-bn；

n

(ii)由(1)可知：Sn=2-1=an+1-lf

若九=1,则Si=1,瓦=1；

若九>2,则纵+1—CLk=2k-1,

当<2工2上一1时，氏一瓦_1=2匕可知｛仇｝为等差数列，

可得鼠口bt=k-2k—+2rkT(2；±i)=k.4fc-i=1[(3卜_i)4fc_(3fc_4)41],

所以琼ih；=l+i[5x42-2x4+8x43-5x42+-+(3n-l)4n-(3n-4)4nf=03叫”+1,

且n=l,符合上式，综上所述：£落伍=(3"T："+I.

【『点石成金』】关键点『点石成金』：1.分析可知当#T<i三2欠一1时，仇一灰_】=2k,可知｛仇｝为等差

数列；

2.根据等差数列求和分析可得膛口瓦=[(3k-l)4fc一(3k-4)4i].

3.(2023•天津•高考真题)已知｛心｝是等差数列，a2+as-16,cz5—a3=4.

⑴求｛an｝的通项公式和£鲁孟i见5eN*).

(2)设｛3｝是等比数列，且对任意的keN*,当2仆1—1时，则尻<与(尻+1，

(I)当k>2时，求证：2上一1<尻<2上+1；

(II)求｛%｝的通项公式及前几项和.

1

【答案】(l)an=2n+l,S&iOi=3-4"-；

nr

(2)(1)证明见解析；(ll)bn=2,前几项和为2-2.

K祥解》(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得的=3,d=2,据此可求得数列的通项公式,

然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得端一%=3・乎一1.

(2)(1)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当Wn32^-1时，bk<an,

取几=2k-1,当2fc^2《九32人】-1时，即<尻，取n=-1,即可证得题中的不等式；

(II)结合(I)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前71项

和公式即可计算其前n项和.

【详析】⑴由题意可得产+。5=2的。54;16,解得您=,

(曲一@3=24=4Id=2

则数列3J的通项公式为Qn=%+(n一l)d=2n+1,

求和得2葭乙%=//T⑵+1)=2葭就Ti+(2"-1-2"T+1)

=2[2n-1+(271-1+1)+(2"-1+2)+-+(2n-1)]+2"T

=2(2"-\2"-1>2吁1+23=3.4n-l

(2)(I)由题意可知，当2^-1W几<2卜—1时，bk<an,

fek

取几=2f贝I]尻<a2k-i=2x2"1+1=2+1,即氏<2+l,

k-1

当2k—<n<2—1.时，an<■bk，

k1k-1k

取？i=2~—1,此时％=a2k-i_1=2(2-1)+1=2—1,

据此可得2k-l<bk,

kfe

综上可得：2-1<bfc<2+1.

k+1k+1

(II)由(I)可知：2卜-1<bk<2卜+1,2-1<bk+1<2+1

则数列｛aJ的公比q满足(=2—/<勺=答<券=2+六，

当k€N*,kT+8时，(2-3mJ-2,(2+豕1J—2,所以q=2,

所以/—1<<2欠+1,即会=2一+<&<言=2+a，

当kCN*,々—+8时，(2-2,(2+—2,所以瓦=2,

所以数列的通项公式为bn=2%

2X；：n)

其前71项和为：Sn==2n+l_2.

【『点石成金』】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n项

和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，

它对学生探索新知识很有裨益.

考点03数列求和

4.(2022•天津•高考真题)设是等差数列，｛%｝是等比数列，且的=-a2-b2=a3-b3=1.

(1)求｛斯｝与｛%｝的通项公式；

(2)设｛%J的前n项和为求证：(Sn+1+an+1)bn«Sn+1bn+1-Snbn；

⑶求22跖+1一(T)%口跖

【答案】(1)厮=271-1,如=2"T

⑵证明见解析

n+1

/ox(6n-2)4+8

(祥解》(1)利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解;

(2)由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；

(3)先求得［a2k-(―1)2'—1。2上-1］历上一1+［。2上+1-(―1)2%2上］62上，进而由并项求和可得〃=k,4fc+1,

再结合错位相减法可得解.

【详析】（1）设｛。律｝公差为d,｛b九｝公比为q,则=1+（n-l）d,bn=q"T,

由的-b2=CL3—b3=1可得｛42）=d=q=2（d=q=0舍去），

1十Zu—q=1

n-1

所以a九=2n—1,bn=2；

（2）证明：因为匕+i=2%W0,所以要证（S九+i+a九+i）g=S九+1%+1-S"小

即证（S九+i+。71+1）6九=S九+i•2bn—Snbn,即证S九+i+an+1=2Sn+1—Sn,

即证a九+1=S7T+i—Sn,

而出i+i=Sn+i—S九显然成上，所以(S^+i+。九+1)砥=Sn+1,bn+1-Sn-bn；

(3)因为[a2k一(-1)2"一"21-1]力21-1+[@2k+l一(-1)2上。2火]力2比

=(4fc-1+4fc-3)x22k-2+[4fc+1-(4fc-1)]x22fe-1=2k,小,

a--2/C-la

所以2：二』以+1一(一1)%口尻=Sfc=i[(2k(l)2k-l)^2k-l+(。2上+1一(-1)2"。2上»2人]

=22]2左•空，

设〃=2212k•小

所以a=2X4+4X42+6X43+…+2nx4n,

贝IJ4&=2X42+4X43+6X44+…+2nx4n+1,

作差得一3〃=2(4+42+43+44+•••+4n)-2n-4n+1=?女[丁)-2nx4n+1

_(2-6n)4n+1-8

=,

3

所以*=(6吁2):+8,

所以21』以+】—(一1)%图尻=(6n-2)f1+8

5.(2021•天津•高考真题)已知｛厮｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.伯„｝是公比大于0的等比

数列，瓦=4,b3-b2=48.

(I)求｛%｝和｛匕｝的通项公式；

(II)记C九=b2n~,TlGN*,

匕九

(i)证明｛/一©2工是等比数列；

n_______

Z<2V2(n£N*)

fn

【答案】(I)an=2n-l,neN,bn^4,neN*；(II)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

K祥解》(I)由等差数列的求和公式运算可得｛厮｝的通项，由等比数列的通项公式运算可得出力的通项公

式；

(ID(i)运算可得若-0九=2,4九，结合等比数列的定义即可得证;

n

（H）放缩得粤皿〈篇，进而可得）母豆嘉，结合错位相减法即可得证.

2n1

号-c2n2-2/7cme21ce乙上12k

^^k=lY

【详析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

所以的+a?+…+。8=8alH——X2=64,所以的=1,

所以G九=%+2（71-1）=2.71—1,nGN*；

设等比数列｛匕｝的公比为q,（q>0）,

2

所以/-b2=brq-瓦q=4（q2-q）=48,解得q=4（负值舍去），

n

所以g=瓦qZ=4tnEN*；

（II）（i）由题意，=厉几+白=4?71+4，

所以以-c2n=（42九+*）2_（4=+专）=2.4T

所以或一C2n力0,且萼货=妥;=4，

所以数列｛或-C2"是等比数列；

(2n-l)(2n+l)4n2-l4n2

（ii）由题意知，竽色2n2n，

-2^-2-2'2-2

ana?i+i4n22n1n

所以<2nnn

cn~^2n2-2-V2-2-•2t'

n

感"+1<k

所以kr，

ck-c2kk=l2~

nk_1,2,3n

设布=为+三+布，

k=l7+…+

贝咛&=»■+[+…+搂

nrn+2

两式相减得丸=1+|+^+'"+蔡丁/亓=2-k

所以T“=4—券

所以

【『点石成金』】关键点『点石成金』:

最后一问考查数列不等式的证明,无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法

即可得证.

6.（2020•天津•高考真题）已知｛an｝为等差数列，｛%｝为等比数列,9=瓦=1，。5：=5（。4一。3），坛=

©/一历）.

（I）求S"｝和｛匕｝的通项公式;

（II）记｛/3的前n项和为治,求证：SnSn+2<S2+1（nGW*）；

（n）R为奇数,

（III）对任意的正整数n,设％af"+2求数列&｝的前2n项和.

产，n为偶数.

V°n+l

【答案】（I）即=〃%=2心】；（II）证明见解析；（UD白一翳一

《祥解》（I）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;

（II）利用（I）的结论首先求得数列｛aj前n项和，然后利用作差法证明即可；

（III）分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算

£忆/2八1和£2=iC2k的值，据此进一步计算数列｛”｝的前2n项和即可.

【详析】（I）设等差数列｛a"的公差为d,等比数列｛'｝的公比为q.

由的=1,与=5（。4一。3），可得d=l.

从而｛a九｝的通项公式为a九=n.

由瓦=1,85=4cb4一力3），

又q—O,可得q2-4q+4=O,解得q=2,

从而｛e｝的通项公式为匕=2九t.

(H)证明：由(I)可得%=竺罗，

22

故SnSn+2=：n(n+l)(n+2)(?i+3),S^+1=J(n+l)(n+2),

从而SnSn+2-S£+i=-+1)(?i+2)<0,

所以SnSn+2<■S,JI+I-

(3a-2)6(3九一2)2nT_2T2n-

（III）当n为奇数时，c7tn

nanan+2n(n+2)n+2n

当n为偶数时，5=产=展

bn+l2

对任意的正整数n,有£biC2kT=yn/22k224一222M

------；-----)=------------1，

k=l2k+12fc-l72n+l

n

和£2=1c2k=W2fc-l1,3,5,,2n-3,2n-lg

"qpr=1+哀+.+,,,+^T+~？r①

k=l

1,3,52n-3

由①得1££=1。2比=-H—~H--7+…d...-

4243444九+辞②

1

22n-l_a•一揖12n-l

由①②得衣心/2k="喜

4n4n+l4471+1

(专)_一

511_21122112n-l156TI+5

由于:---------X--------------------------X-=

1-144n+1334n44n4123x4n+1

4

从而得：2ble2k=36n+5

9x4n

因此，Ck=££=1C2k-1+Xk=ic2k=-a

所以，数列｛c九｝的前2n项和为2：+1—6n+54

9x4n9,

【『点石成金』】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属

于中等题.

1年模拟•精选模考题

7.（2024•天津河北•二模）在数列｛即｝中，若对任意的neN+都满足"-皿=d（其中d为常数），则

an+lan

称数列｛厮｝为等差比数列.已知等差比数列｛&J中，的=a2=1，口3=3,则等于（）

A.5B.9C.15D.105

【答案】D

（祥解工根据等差比数列的定义求解即可.

【详析】因为｛即｝为等差比数列，所以生一9=幺—血=%一丝=：—：=2,

a4a3a3a2a2al11

所以譬一|=2,解得。4=15,由詈一苧=2,解得：a5=105

故选：D

8.（2024•天津河西•三模）若数列｛厮｝满足an+i=2an-1,则称｛即｝为“对奇数列”.已知正项数列

｛bn+1｝为“对奇数列”，且瓦=2,贝帕2024=（）

A.2X32023B.22°23C.22°24D,22025

【答案】C

K祥解》根据新定义可证得数列｛匕｝是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.

【详析】因为正项数列｛,+1｝为“对奇数列"，所以g+1+1=2（bn+1）-1,

则bn+i=2bn,即数列｛g｝是公比为2的等比数列，又因为&=2,

所以62024=2X22023=22024,

故选：C.

9.（2024•天津河北•二模）已知｛5｝是等差数列，其前n项和为Sn,｛,｝是等比数列，已知的=1，S3=6,

b]=a2＞是（Z4和n的等比中项.

（1）求｛&J和｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛最｝的前n项和七；

（3）记分求证：为-5+焉

71n11Ln

bn+1-l222+1242+2

【答案】（1）%1=71,加=2n

⑵Tn=2—嚎

（3）证明见解析

（祥解』（1）由的=1,53=6求出的J,利用又。8是和的等比中项、瓦=求出加；

（2）利用错位相减法求出此；

（3）利用放缩法求和可得答案.

【详析】（1）由题意的=1,S3=3al+芋d=3al+3d=6,

•••d=1,an=1+(n—1)=n,

又b\=Ct2=2,期是04和54的等比中项，得成=。4b4,

33

又。4=4,aQ=8,64=4b4，=b1q=2q=16,角星得q=2,

rln

・•・bn=2,2t=2；

⑵一

设6=lx|+2xi+3x^+--+n~)

则1=1＞蠢+2义强+3x蠢+…+联盛

将以上两式相减得］及=：+*+*+—卜日-n，^+i

n+2

n

bn-l_2-l

(3)cn

bn+1-l~2«+i-l

2n-l2n-l11

Cn=2n+1-1>2n+1=2-2n+1，

n11

22+2n+1

2〜="i____M<i--

n+1n

2九+1-12V2-1722+2

结论得证.

10.(2024•天津南开•二模)己知Sn｝是等差数列，公差d力0,a±+a5=8,且(Z3是的与a7的等比中项•

(1)求｛斯｝的通项公式

⑵数列｛“｝满足誓皿=2an,且b=

^n^n+l2

(i)求也｝的前n项和Sn.

(ii)是否存在正整数m,n(mn),使得S4,S2m,S2n成等差数列，若存在，求出m,n的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)厮=71+1

(2)(i)S=-^―；(ii)存在，m—4,n=22.

n“n+l

(祥解』(1)由等差中项得到。3=4,由等比中项得到送=。遂7,解出d=L求得｛时｝的通项公式；

(2)(i)根据a一(=2即，由累加法得到数列怖｝的通项公式进而得到数列｛g｝的通项公式办=而看，

裂项相消法求和；

(ii)假设存在，分别表示出54，S2m,S2n,由等差中项得至！J2ni=9-言，得到n+3=5或n+3=25,

解得771=4,H=22符合题意.

【详析】(1)因为｛即｝为等差数列，且的+劭=8,所以的=4.

又的是的与劭的等比中项，所以试=。1。7，即16=(4-2d)(4+4d).

化简得医—d=0,解得d=1或d=0(舍)，

所以a九—西+(九一3)x1=九+1.

⑵⑴由震"2a”,得上-…，所以=六=2小42),又瓦.

当门22时，擀=仕一六)+G^；—£)+•••+信—()+(

=2a九一1+2cl_2+…4~2al+--=4(九—1)+---——-X2+2=TL(TL+1),

n匕12

又瓦=［也适合上式，所以,=n(几+1),

则%=而5•一诉

所以%=(1_£)+(|-9)+--+@-去)=11_n

n+1n+1

(ii)假设存在正整数m,n,使得S*S2m,S2n成等差数列，

则S4+S2n=2S2小，即1一2+1_*=2(1-焉｝整理得2巾=9一急,

显然n+3是25的正约数，又n+324,则n+3=5或n+3=25,

当九+3=5,即九=2时，m=2与?nW九矛盾；

当九+3=25,即九=22时，zn=4,符合题意，

所以存在正整数使得S4，S2m,S2rl成等差数列，此时m=4,n=22.

【『点石成金』】方法『点石成金』：裂项相消法求和常见的裂项方法

(D』=3(工一吃)，特别地当k=1时，f二工一吃；

n(n+k)k\nn+kjn(n+i)nn+1

(2)f；~-j=—；(A/2+k—，特另U地当k=1时，/i~~T==y/n+1—y/n；

y/n+k+y/nkv7Vn+l+vn

⑶■=(2n-，n+l)=1+1导I-七)

(4)a=___i____=1(^___________1)

nn(n+l)(n+2)2\n(n+l)(n+l)(n4-2)7

(5)-=(p<q)

pqq-pVpQ/

11.(2024•天津北辰•三模)已知｛an｝为等差数列，前n项和为上,若。2=3,S8=6S3+10；数列｛6„｝满

足：(1一9(1一3…(1一3=2n€N*.

(1)求｛an｝和｛丛｝的通项公式;

(2)对任意的机eN*,将｛an｝中落入区间(2T22刃内项的个数记为｛%｝.

(i)求Y；

(ii)记%='｛4｝的前小项和记为弓，是否存在机，teN*,使得矢詈=dt+1成立？若存

在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(Dan=2九一1，bn=n+1

2mr

(2)(i)cm=2^-2-(ii)存在巾t=9

(祥解［(1)｛an｝的通项通过基本量法求解，｛%｝的通项通过令几=几-1，两式作商求解.

(2)(i)求出2吁1+l<n<22时1即可得出答案；

(ii)根据题意求出t和巾的关系，在利用取值范围求出山和t.

。2=3@i+d=3ra=1

【详析】(1)t

58=6s3+108al+28d=6(3%+3d)+10=Id=2'

所以的t=1+2(?i-1)=2n—1,

(1一()(1一2)……=

当nN2时，令n=『1得：(1-3(1-……(1

①十②得：1一於=4=6n=所以｛%｝是公差为1的等差数歹U，

当n=1时有：1--_1=>瓦=2,所以勾=2+(荏-1)=71+1

bi_bi

(2)(i)2m<2n-1<22m=><n<2^+-<n<22m-1+-

2222

因为九€N*,所以2僧一1+1W九4227nt,所以c优=22徵-1-27nt

2

(ii)h(?n-i)=2m-1,把％=22m-1-2加-1代入4得：d=

2nm22m-l_(22rn-1—2m-1)

2

Tm+「t

-i-(r]^n+d?n+i.-t=&+ln&=dt，

所以An==4=dt+1=>

Tm-tTm-trTm-tt

d

所以哈一「=罟=(5)m+l-t=4—4《)-t=

,2.

因为©优>°,4+Q)1f>0,所以4-t>0=>te{123},

当力=1时，TH=log工|(舍去)，当t=2时，771=log、(舍去),

2523

当t=3时，m=3,所以存在t,血，mt=9.

【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题考查数列等差数列的基本量计算，数列与不等式的综合应用.解

题的关键是设出公差，列式求解求得即，进而通过得2M<2n-1<22加求出cm，此外，对于探究性问题,

一般解法是先假设存在，再根据已知条件推出结论或矛盾，本题在解答过程中核心是借助联+1=7+dm+1

化简整理得G)'"=—考查数学运算求解能力，逻辑推理能力.

4+\2/

12.(2023•天津和平•三模)等差数列｛时｝的前ri项和为%,%=a(aER且aH0),S3=6a.

(1)求的通项公式与前71项和先；

(2)记七=>"=,Qn=\—„当neN*,几22时，试比较心与册的大小；

j=lSi/八。2一

⑶若a=2,正项等比数列｛嵋｝中，首项瓦=2,数歹(]｛%“｝是公比为4的等比数列(nCN*),且4=

为奇数，

:%倔物5€犷)，求｛与｝的通项公式与£丝1以”56“).

(包,?1为偶数.

n<Jl

【答案】(l)an=na,Sn=^a

(2)当a>0时，Pn<Qn-,当a〈0时，Pn>Qn

n2n+1

(3)bn=2；n+(4n-4)-2+8

K祥解工(1)由已知，根据公式%=mii+"产小an=ai+(n-l)d,即可得到结果；

⑵由2=式/W)，求得6=：(i—a)，由自求得表)，又会2时，

1—《工V1—5，所以，当a>0时，Pn<Qn；当a〈0时，Pn>Qn；

(3)由a=2,得即=2n,由首项名=2,数歹是公比为4的等比数列，可得匕=2九，则£思1%以=

n2+(4x21+8x22+…+4九•2n),用错位相减法可求得4x21+8X22+…+4几•2n=(4n-4)-2n+1+

8,则可得2跄1以以.

【详析】(1)设数列｛册｝公差为d,由公式S九=71al+1)d,an=ar+(ji—l)d,

又的=a,有S3=3a+3d=6a,所以a=d.贝！Ja九=na,Sn=a.

(2)因为QH0,所以有

1_21=—1I,--1-1-H--1=2

n(n+l)=式；_马，&=X=ASiS

Sna2Sna

当71EN*,?i之2时，2n=C：+C：H—+C4>72+1,即1----<1——j

所以，当a>0时，Pn<Qn;当水0时，Pn>Qn.

(3)因为a=2,所以与=2几，设正项等比数列｛e｝的公比为q,

誓1=9=02=4,所以q=2,因为瓦=2,所以狐=2%

bb

an2n

二，九为奇数

又dh*/甲45eN*)

版,n为偶数

I2

2n1

｛akck=alcl+a2c2+-----1"ancn=](al+。3+-----a2n-l)+S2bl+。2b2+--------1"a2nbn)

k=l

=I[2n+x4]+(4x21+8x22+…+4n-2n)=n2+(4x21+8x22+…+4n-2n),

设〃=4x21+8x22+•••+4n•2九①，贝屹〃=4x22+8x23+•••+4n•2九+I②,

①式-②式得一〃=8+4X(22+23+■••+2n)-4n-2n+1,

=8+4x兰举-4n-2n+1=-8-(4n-4)-2n+1,

n+1

所以，Tn=(4n-4)-2+8,

2n+1

所以,Efc=i以cfe=n+(4n—4)-2+8.

13.(2024•天津河西•三模)已知递增数列｛an｝的前n项和为区,且4Sn=磷+4n,n£N*.

⑴求数列｛5｝的通项公式；

⑵设bn=atCn+a2C„+a3C^+•••+anC^.

(i)求数列｛5｝的通项公式；

(ii)求产空).

\aVai+2)

【答案】(1)册=2n

QTI+2n71+1

(2)(i)h=n-2n；(ii)—+-——4

nn+2n+1

(祥解力(1)根据工,厮的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案；

(2)(i)根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；(ii)求出强包的表达式,

aVai+2

利用裂项相消法，即可求得答案.

【详析】(1)因为4s九=吗+4n,当九=1时,4sl=於+4,则的=2；

2

当n>2时，4szi_1=嫌一1+4(n-1),则4a九=W-CLn-i+%即=(an-2),

而｛%J为递增数列，故-a71T=2,

即｛4；｝为首项为2,公差为2的等差数列,

故。九=2n；

(2)(i)bn=ci^n+a2cz+。3鬣+,,•+(/.，

所以匕=0C：+2Cjj+4cM+6c烹+…+2nC^9

1

***bn=271cr+(2n-2)CJJ+…+2ct+0C：,

nn

两式相加可得2b九=2n(C°+C：+—F禺)=2n-2,:.bn=n-2,

故数列｛小｝的通项公式为%=ri•2%

..、12%-2n+312n-2n-2n+3(3n-2)-2n2n+22n

11J-----------=--------------=-----------------------

an-an+22n-2(n+2)n(n+2)n+2n

xZ12bi-2l+3\2321,2422,2523,,2n+22n2n+2,2n+1.

4故4r〉-------=-----+------H--------F…H--------=——+------4.

//jq\ai-ai+2/314253n+2nn+2n+1

12n-2n-2n+3

【『点石成金』】关键点『点石成金』：解答本题的关键在于第二问的求和，要将12%-2"+3裂项

an'an+22?i,2(7i+2)

on+2on

为一―二,即可求解.

n+2n

14.(2024•天津•模拟预测)已知数列｛&J是正项等比数列，｛.｝是等差数列,且的=瓦=1,a3=b4,

⑴求数列｛册｝和｛匕｝的通项公式;

(2)设”=g(%;:；：=16数列｛%｝的前n项和为除，求证：T<l-若P

kan+1~LJ\an+2~nz

⑶［制表示不超过X的最大整数，dn=触+1•图;

求(i)d3n-2+^3n-1+^3n；

(ii)鹉在

【答案】(DanuZ^T,bn=n；

(2)证明见解析；

(3)(i)(2n-l)2n；(ii)6+(2n-3)2n+1.

(祥解工(1)设等比数列｛%J的公比为q(q>0),等差数列｛%｝的公差为d,由已知列方程组求解d

与q,则数列和｛bn)的通项公式可求；

(2)把数列｛aj和｛g｝的通项公式代入d=，(如二：次"|整理后利用裂项相消法求7；；

l«n+l_1A«n+2-lJ

(3)(i)由d九=a［制+1愕，求出d3rl_2&九_1，&九，作和即可求得d?n-2+^3n-l+^3n

(ii)利用错位相减法求H=idf.

【详析】(1)(1)设等比数列｛3J的公比为q(Q>0),等差数列｛g｝的公差为d,

由(2］—b］—1,。3=匕41+。3=力6，

•G_1

得］工解得忆;或「(舍去)；

W+q=1+5d(q=2a=--

I”2

故%,=2九T,

bn=1+1x(n—1)=n;

n_1

(2)由(1)知，an=2,bn=n,则%+1=2九

n

证明：c=(bn—_(0-I)2〈舟一n+1

n(an+l-1)(an+2-1)(2n-l)(2n+1-l)2n+1-1

则

T,1223,nn+1_.n+1

%+…+后一即==1一即三；

(3)(i)dn=牛]+1图,

a3nn_1

d3n_2=11="2=O_l)2

1n-1

d-3n-i=a[Q]+i=an[^]=(n-l)2,