2020-2024年高考数学复习专项分类汇编：三角函数与解三角形（含答案）

考点3三角函数与解三角形-——五年(2020-2024)高考数学真题专

项分类汇编

学校：___________姓名：—______班级：__________考号：___________

一、选择题

1.已知sin(a-/?)二!,cosasm/]=—,贝！Jcos(2a+2^)=()

36

_7

A.-B.-C.--D.

999~9

已知为锐角，

2.acosa=1+",贝！Jsin'=()

4

3-逐—1+V5C3一小-1+百

A.D.D.

88.44

3.下列区间中，函数/(x)=7sin[x-ej

单调递增的区间是()

A-(°'CB.加4若1

4.已知cos(o+/7)=机，tanortan/?=2,贝Ucos(。-/?)=()

vn

A.-3mB.--C.—D.3m

33

口/+A0皿1sin6(1+sin2。)

5.右tan8=2,贝.八=()

sinu+cos0

6「2

A.—B.—c.2屋

5555

6・若sin(。+/?)+cos(6Z+0=2后cos1a+；｝in〃，则()

A.tan(cr-)3)=1B.tan(cr+/7)=1C.tan(a—/?)——1D.tan(a+p)——1

7.当x£[0,2兀]时，曲线y=sin%与y=2sin(3x-马的交点个数为()

6

A.3B.4C.6D.8

8.记函数/(%)=sin[①x+：]+/?(口＞0)的最小正周期为T.若T＜T＜兀，且丁=/(%)

的图象关于点中心对称，则[3=()

A.lB-iC-lD.3

二、多项选择题

9.对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin12x-；J,下列说法中正确的有()

A./W与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

10.已知函数/(x)=sin(2x+oXO<9(兀)的图象关于点中心对称，贝4()

A"(x)在区间10,总单调递减

B./⑴在区间,詈］有两个极值点

C.直线x=叁是曲线丫=/(x)的对称轴

6

D.直线丁=母-》是曲线y=/(x)的切线

11.下图是函数y=sin(s+e)的部分图像，贝l］sin((yx+e)=()

三、填空题

12.已知函数/(x)=coss-1(口>0)在区间［0,2兀］有且仅有3个零点，则。的取值范

围是.

13.已知a为第一象限角，(3为第三象限角，tano+tan，=4,

tanatan0=0+1,则sin(tz+/7)=.

14.已知函数/(x)=sin(@c+0),如图，A,5是直线y=g与曲线y=/(x)的两个交

点，若|AB|=工，则/(兀)=.

6

15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓

圆弧A3所在圆的圆心，A是圆弧A3与直线AG的切点，3是圆弧A3与直线5c的切

点，四边形DERG为矩形，BC±DG,垂足为C,tanZODC=j,BH//DG,

£F=12cm,DE=2cm,A到直线DE和ER的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则

四、解答题

16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=J^cosB,

a2+b2-c2=Oab.

(1)求&

(2)若△ABC的面积为3+6，求c.

17.已知在ZVIBC中，A+B=3C,2sin(A—C)=sin5.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求A3边上的高.

18.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+gcosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,V2Z>sinC=csin2B,求△ABC的周长.

19.在①收=白，②csinA=3,③c=辰这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题

中的三角形存在，求。的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A5,C的对边分别为，且sinA=75sin氏C=2,

6

?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知^=ac,点。在边AC

上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)^AD=2DC,求cosNABC.

21.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2知8sA=sin23.

1+sinA1+cos2B

(1)若。=@,求3；

3

(2)求二I的最小值.

参考答案

1.答案：B

1

sinacos0-cosasin0

Q1

解析：依题意，得,所以sinacos/=—，所以

2

cos«sin^=-

6

112

sin(cr+/?)=sinacos/?+cosasin/?=—+—=一,所以

263

cos(2cr+2/?)=l-2sin2(a+/7)=l-2x故选B.

2.答案：D

解析：法一：由题意，5=1

=1—2sin2—,得

2

.2a3-A/56-275V5-1V

sm—又。为锐角，所以s呜＞。，所以

28=['J

.a—1+A/544'生n

sin—=-------,故r选D.

24

得=」将选项逐个代入验证

法二：由题意，cosa-+-1-2sin2—,sin2qI,

4228

可知D选项满足，故选D.

3.答案：A

解析：本题考查三角函数的单调性，熟记三角函数的单调区间是解决此类问题的关键.因为

JTJT

f(x)=7sin[%—弓)，所以兀一弓£——+2析,一+2也(左eZ),解得

22

XG--+2kji,—+2kji(kGZ)F只有A项符合.

L33J

4.答案：A

解析：由cos(a+(J)=相得cosacos/-sinasin/=加①.由tanatan/7=2得

sinasin4=2②,由①②得"=一相，所以

cosacos(3[sinasm/3--2m

cos(cr-P)=cosacos/?+sinasin[3=-3m,故选A.

5.答案：C

解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为tane=-2,所以

sin6(l+sin2。)sin6>(sin2Q+cos29+2sin6>cos(9)sin6*(sin+cos6>)2.八..八八、

------------=------------------------------=----------------=sin6(sin0+cosff)=

sin6+cos6sin8+cos0sin8+cos0

sin20+sin9cos0_tan2e+tan6_4-2_2

sin20+cos20tan20+14+15

6.答案：C

解析：当a二。时，由题设可得sin/?=cos/?,故可取/=：.于是，tan(a-/?)=-1,

tan(a+0=l,因此可以排除选项A,D.同理，当尸=0时，可取于是有

tang+月)=-1,因此可以排除选项B.故正确选项为C.

7.答案：C

解析：因为函数y=2sin［3x-t1的最小正周期T=g，所以函数V=2sin［3x-t］在

［0,2K］上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y=2sin(3x-四］与y=sinx在

由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.

8.答案：A

解析：因为@＜丁＜兀，所以@＜生＜兀，解得2＜。＜3.因为y=/(x)的图象关于点

33co

［与,2］中心对称，所以6=2,且sin［go+；］+5=2,即sin［，0+；］=0,所以

变0+巴=也(左eZ),又2＜。＜3,所以西〈羽0+二〈也，所以电◎+工=4兀，

24424424

解得。=3,所以/(x)=sin《x+；］+2,所以

ff—=sinf—x—+—+2=sin—+2=1.故选A.

^2)(222

9.答案：BC

解析：对于A,令/(x)=0,则％=弓，keZ,XgfyLo,故A错误;

对于B,/(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确；

对于C,/(X)与g(x)的最小正周期都为71,故C正确；

对于D,/(x)图象的对称轴方程为2%=巴+也，左GZ,即尤=乌+如，左eZ,g(x)

242

图象的对称轴方程为2X-2=2+E,左eZ,即％=型+如，ZeZ,故/(x)与g(x)

4282

的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.

10.答案：AD

解析：因为函数的图象关于点［学,0)中心对称，所以sin12xg+9)=0,可得

W+(P=kn(keZ),结合0<0<兀，得/=7，所以/(%)=sin12%+§

对于A,当x［o,总时，2%+/仔,引，所以函数/⑴在区间［。,||］单调递

减，故A正确；

对于B,当臼-全5］时，2x+ye^|,y^所以函数/(x)在区间［若，皆］只

有一个极值点，故B不正确；

对于C,因为/e］=sin［2x*+4］=sin3兀=0,所以x=*不是曲线y=/(x)的

对称轴，故C不正确；

对于D,因为r(x)=2cos［2x+g］,若直线y=9—x为曲线y=/(x)的切线，则由

2cos12%+空］=-1,得2x+竺=2左兀+竺或2%&=2左兀+如(左wZ),所以x=左兀

(3J3333

或%=历1+](左€2).当》=左兀(左eZ)时，/(x)=孚，则由#=孝—左为(左eZ),解得

左=0；当工=左兀+](左eZ)时，于(x)一号,方程一咚=孝一左兀一/(左eZ)无解.综上

所述，直线y=#-x为曲线y=/(x)的切线，故D正确.综上所述，选AD.

11.答案：BC

2兀712兀,,

解析：由题图可知，函数的最小正周期丁=2=兀，-=兀，①二±2.当〃＞=2时，

T-6㈤

71JI

y=sin(2x+0),将点《可代入得，sin(2x/0=0,/.2x——b°=2而+兀，左£Z,即

66

9=2E+日2兀，左wZ,故y=sin(2%+g).由于

3

y=sin(2x+等2x+等

=sin7i-=sin故选项B正确;

y=sin[三一2xJ=cos2xJ|=cos[2x+.J,选项C正确；对于选项A,当元=看时,

sinB+f=1x0,错误；对于选项D,当”_%+7_5兀时，cos兰-2x|j=1〜1,错误.当

\63%=----:------1612

o=-2时，y=sin(-2x+°),将代入，得$"-2*弓+可=0,结合函数图象，知

兀4兀.(47r)

—2x—F夕=兀+2kK,左£Z,(p-......F2kit,kwZ,•e.y—sin—2xH--,彳旦当x=0日寸，

63\37

y=sin,2x+])=-*0,与图象不符合，舍去.综上，选BC.

12.答案：[2,3)

解析：函数/(x)=cos(9x-l在区间[0,2兀]有且仅有3个零点，即cosa)x=l在区间

[0,2和有且仅有3个根，因为。＞0,xe[0,271],所以。xe[0,25],则由余弦函数的

图象可知，4兀42师＜6兀，解得24。＜3,即m的取值范围是[2,3).

13.答案：-谑

3

解析：由题知tan(a+0=tana+tan夕=_匚=—2立,即

1-tanor-tan/?1-^2-1

sin(a+(3)--2A/2COS(6Z+0),又sin?(a+/?)+cos2(^z+/?)=1,可得sin(a+，)=±.

兀37r

由2kli<a<2hi+—，eZ,2mji+TI<B<2加兀H----,meZ,得

22

2(k+rri)7t+it<a+/3<2(左+加)兀+2兀，左+Z.又tan(a+/?)<0,所以a+1是第四

象限角，故sin(tz+夕)=一样2.

14.答案：-立

2

解析：对比正弦函数y=sinx的图象易知，点［学,0)为“五点(画图)法”中的第五

n

点，所以一口+夕=2兀①.由题知|ABU%-4=—，\，两式相减，得

365兀

coxB(p-

^(xB-xA)=—,即乌0=如，解得。=4.代入①，得9=—生,所以

6663

,/、­(A2兀).2兀6

/(7U)=sin4兀---=-sin——=--------.

I3)32

15.答案：—+4

2

解析：如图，连接。4,作AQLDE,交ED的延长线于。，AM_L£F于M,交DG

于E',交BH于F,记过。且垂直于DG的直线与DG的交点为P,

设OP=3〃z,则OP=5m,不难得出AQ=7,40=7,于是AE'=5,EG=5,

ZAGE'=ZAHF'=-,4H为等腰直角三角形，又AF'=5-3"，OF'=7—5m,

4

AFf=OF',:.5—3m=Q—5m,得加=1,AFr—5—3m=2,OF'=7—5m=2,

：.OA=2®,则阴影部分的面积

S=；x?x(20)2+；x20x2后后=卷+41城

16.答案：(1)B=-

3

(2)c=2立

2人2_26

解析：(1)由余弦定理得cosC="=上,

2ab2

7T

又0<C<7i,：.c=-.

4

.,.后cosB=sinC=——，cosB=—)

22

jr

又0<5<兀，:.B=~.

3

(2)由(1)得A=TI—3—。=——，

由正弦定理信=荒，得VTT君一苫

42

：.Z\ABC的面积S=-acsinB=x—=3+,得c=20.

242

17.答案：(1)sinA=^^

10

(2)A3边上的高为6

解析：(1)在△ABC中，A+B^TI-C,

因为A+B=3C,所以3。=兀—C,所以。=二.

4

因为2sin(A—C)=sin3,

所以2sin[A-?[=sin]+-A],

LJ2

展开并整理得V2(sinA-cosA)=(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,

.3710

所以smA4=J。.

（2）由正弦定理得匹=皿,

sinAsinC

zAB.-53y/io_./-

BBC-------xsinA-—^=~x--------3V5,

sinC&10

22

由余弦定理得=AC+BC-2AC-BCcosC,

则52=AC?+(3q2AC36cos/,

4

整理得AC2-3s/WAC+20=0,

解得AC=VT5或AC=2M,

由（1）得，tanA=3〉百，所以二<A（巴，

32

又A+3=羽，所以3〉巴，

44

即C<8,所以AB<AC,所以AC=2jid,

设A3边上的高为力，贝uLxABx/zuLxACxBCsinC,

22

即5h=2Mx3指x昱,解得〃=6,

2

所以A3边上的高为6.

18.答案：（1）A=-

6

（2）2+76+372

解析：（1）法一：由sinA+百cosA=2,得，sinA+/^cosA=1,

22

所以sin[A+g1=l.

因为0<4<兀，所以乌<A+C〈生，

333

所以A+^=巴，故4=工.

326

法二：由sinA+gcosA=2,得百cosA=2-sinA,

两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A,

则3(1—sin?A)=4-4sinA+sin2A,

整理，得l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—ZsinAf=0,则sinA='.

2

因为0<4<兀，所以A=P或A=2.

66

当4=工时，sinA+6cosA=2成立，符合条件；

6

当A=2时，sinA+gcosA=2不成立，不符合条件.

6

故A

6

法三：由sinA+J^cosA=2,得sinA=2-6cosA,

两边同时平方，得sin2A=4-4GcosA+3cos之A,

则l-cos?A=4-4y/3cosA+3cos2A,

整理，得3—4百cosA+4cos2A=0,

所以(6一2COSA)2=0,则cosA=-^-.

因为OvAv兀，所以A=2.

6

(2)由y/2bsinC=csin2B,VitsinC=2csinBcosB,

B

由正弦定理，得Cbc=2cbcosB,所以cosB=——，

2

JT

因为0<5<兀，所以3=—.

4

771

C=7i-(A+B)=—,

匚匚［、］.〃.77C.，兀兀、.兀7C71.7C

所以sinC=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—

12U4)3434

V3V21V2A/6+A/2

=----x------F—x----=-----------

22224

2sm71

法一：由正弦定理^=―竺=^,得)=竺见0=、4=2后,

sinAsinBsinCsinA•工

Sm6

c.7兀

•k2sin——

c=竺虫

sinAsi.n兀—

6

所以的周长为。+。+。=2+痛+30.

法二：由正弦定理二^=’^=」一

sinAsinBsinC

4日aa+b+c2.

pj------=---------------------------------4,

sinAsinA+sinB+sinCs.in兀—

6

所以a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4x—+^-++=2+^/6+3A/2,

1224J

所以△ABC的周长为2+n+30.

19.答案：方案一：选条件①.

由C=巴和余弦定理得"Fj=且.

62ab2

由511124=石51116及正弦定理得〃=血7.

工曰3b之+A?—C?A/3.1.—p〃曰

于是----7=-：-=—,由此可得Z?=c.

2屏22

由①=上,角牟得a-^3,b=c=l.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时。=1.

方案二：选条件②.

由C=色和余弦定理得"f=叵.

62ab2

由sinA=JJsinB及正弦定理得。=疯?.

十日3b2+b2—c2且,_z,「一兀42兀

于是----『一=—,由此Ll可r得H〃=c,B=C=—,A=—.

2y/3b2263

由②csinA=3,所以。=匕=26,〃=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2百.

方案三：选条件③.

由C=二和余弦定理得二+廿一"=旦

62ab2

由sinA=如sinB及正弦定理得a=y/3b.

工H3b~+b~—c~y/3,,,—„

于是----『一=—,由此可r得z6=c.

2岛22

由③c=J拓，与6=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

解析：

20.答案：（1）证明见解析

⑵—

12

解析：（1）证明：在△ABC中，BDsinZABC=asinC.

由正弦定理得3。・/?二呢.又人2=〃°,所以皮）=/?.

(2)因为AD=2DC,AC=b,

c2+4b2-b2

+.%AB2+AD2-BD29c2一5片

在Z\ABD中，由余弦JE理得cosA=----------------------9

12bc

2ABAD2c--b

3

2

在wc中，由余弦定理得3人%日等C+匕2―Q2