数学优化训练：周期现象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章三角函数§1周期现象5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1。月球围绕着地球转,月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗?解析：由月球的运动规律，可知是周期性变化.2。走路时,我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？解：如图所示，以ON代表手臂的垂直位置,当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON为摆动的幅角,而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.3。列举自然界中存在的周期性现象。答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落;月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是（）①f(x)=x②f（x)=2x③f(x）=1④f（x)=A。①②B。③C.③④D。①②③④解：①f(x+T）=x+T≠x，T≠0；②f（x+T）=2x+T≠2x=f(x)；③f(x+T）=1=f(x)；④设T是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+T也是有理数；当x为无理数时,x+T也是无理数,就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0,因此在两种情况下，都有f(x+T)=f（x)。答案：C2。今天是星期一，158天后的那一天是星期几？解:∵158=7×22+4，而今天是星期一,∴158天后的那一天是星期五。3.我们选定风车轮边缘上一点A，点A到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗？答案：是周期性的.4。已知f(x)是奇函数,且满足f(x+1)=，若f(—1）=1，(1）求证：f（x+4)=f（x）；(2）求f（—3）.（1）证明：∵f(x+2)=，∴f（x+4)==f（x）。（2）解:∵f（x)是奇函数,∴f（-3）=f（-3+4）=f（1）=—f(—1)=—1。5。设f(x)是定义在R上的奇函数，且f（x+3)=f(x)，f(1)=—1，求f（11）的值。解:由f(x）为奇函数,得f（—x)=-f(x)，f(-1）=-f（1)。又f(x+3)=f（x)，故f（11）=f（3×4-1)=f（—1)=1.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。下列现象是周期现象的有（）①太阳的东升西落②月亮的圆缺③太阳表面的太阳黑子活动④心脏的收缩与舒张A。1个B。2个C.3个D。4个答案：D2.有以下现象：①鸟类的迁徙；②单摆的简谐振动；③交流电的电压变化规律;④化学元素的性质。其中是周期现象的有____________.答案:①②③④3。已知f(x+1)=-f(x)，求证:f(x+2）=f（x)。证明：f（x+2）=f［(x+1）+1]=-f（x+1)=—［—f(x）］=f(x)。4。已知f(x+2）=,求证：f（x+4)=f（x).证明：f（x+4）=f［（x+2)+2］==f（x）。5.求证:若函数y=f（x）（x∈R)的图像关于x=a对称,且关于x=b对称,则f[x+2（b-a）］=f（x）.证明:设x是任意一个实数，因为函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称，故f（a+x）=f(a-x).同理，f（b+x）=f(b-x）。于是f［x+2(b-a）］=f［b+(b+x—2a)]=f[b—(b+x—2a)］=f（2a-x)=f［a+（a—x）］=f［a-（a—x)］=f(x),即f［x+2(b—a）］=f(x）.6。设f(x）是定义在R上的函数，且f（x+2)=f(x），f（x)为偶函数，在区间[2，3］上，f（x）=—2(x-3）2+4，求x∈［1,2］时，f（x）的解析式。解：令x∈[-3，-2]，则-x∈［2,3］，从而f(-x)=—2（-x—3)2+4=-2(x+3）2+4。又f(x）为偶函数，故f（—x)=f(x)，即f(x)=-2（x+3)2+4，x∈［—3,—2］。令x∈[1，2］,则x—4∈[—3,—2]，有f(x—4)=f(x)=-2（x—1）2+4.即当x∈［1，2]时，f(x)=—2（x—1)2+4.7。设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于x=1对称，对任意的x1，x2∈［0,］，都有f（x1+x2)=f（x1）·f(x2）.（1)设f（1）=2，求;(2)证明f（x+2）=f（x）.（1)解:由f（x1+x2)=f(x1)·f（x2）,x1,x2∈［0,]知f（x)=f（)·f(）≥0,x∈［0，1]，故f（1)=f(+)=f（)·f（)=[f(）]2=2.∴.f()=f(+)=[f（)]2=，即f（）=。（2）证明:由y=f（x)关于直线x=1对称，得f（x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x）.又f(—x）=f(x），故f(—x)