数学优化训练：直线方程的几种形式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.2直线方程的几种形式5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1。过点A(—2，1)且与x轴垂直的直线的方程是(）A.x=—2B。y=1C.x=1解析：过点（x0，y0）与x轴垂直的直线的方程是x=x0，所以所求直线的方程为x=—2.答案：A2。已知直线l过点P（3，2),且斜率为,则下列点不在直线l上的是()A。(8,-2）B.(4，-3)C。（-2，6）D。（-7,10)解法一：由斜率公式k=(x1≠x2），知选项A、C及D中的点与点P确定的直线斜率都为。解法二：由点斜式方程,可得直线l的方程为y-2=(x-3),即4x+5y-22=0.分别将A、B、C、D中的点代入方程,可知点(4，—3）不在直线上.答案：B3.过点P（3,2）和点Q(4，7)的直线方程为____________。解：过两点P1(x1,y1）、P2（x2,y2)的直线的两点式方程，代入点P（3，2)和点Q(4,7）,求得直线方程为，整理得5x-y-13=0。答案：5x—y-13=010分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a的图象正确的是（)图2—2-2解析：结合四个图象，a在两方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致。逐一判断知A、B、D均错，只有C正确.答案：C2。下列命题中：①=k表示过定点P(x0,y0）且斜率为k的直线;②直线y=kx+b和y轴交于B点，O是原点,那么b=|OB|；③一条直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b，那么该直线的方程为=1;④方程（x1—x2)（y-y1)+(y2—y1）(x-x1)=0表示过P1(x1，y1）、P2(x2,y2）两点的直线。其中错误命题的个数是（）A。0B.1C.2解析：①不是点斜式，因为它不包含点(x0，y0)；②b≠|OB|，b是点B的纵坐标,可正、可负、可零；③当a=b=0时,直线方程不能写成=1;④正确，这是两点式的变形形式,其可以表示过P1(x1,y1)、P2（x2，y2)的所有直线。答案：D3.直线y=x+1上一点P的横坐标是3,把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是_______________.解析:可先求出P点的坐标再求出旋转后直线的倾斜角和斜率.把x=3代入方程y=x+1中得y=4，即P（3，4)，因为直线y=x+1的倾斜角为45°,再将其绕点P按逆时针方向旋转90°后得直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为—1。由点斜式得直线方程y-4=-(x—3),即x+y-7=0。答案:x+y-7=04.已知直线过点P（0,1)，并与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求直线l的方程。解：∵点A、B分别在直线l1：x-3y+10=0和l2:2x+y—8=0上，∴可设A（a，)，B(b,8—2b).∵AB中点是P，有∴B(4，0）.由两点式得l：x+4y—4=0。5。直线l经过点A（2，1)和点B（a,2）,求直线l的方程。解:①当a=2时，直线的斜率不存在,直线上每点的横坐标都为2,所以直线方程为x=2;②当a≠2时，直线的斜率为k=,直线的点斜式方程为y—1=(x—2），化成一般式为x+(2—a)y—4+a=0.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若ac〈0，bc〉0，那么直线ax+by+c=0必不过(）A。第一象限B.第二象限C。第三象限D.第四象限解析：由条件ac＜0，bc＞0知ab＜0,而原方程可化为y=,由于,所以直线过第一、三、四象限,不过第二象限。答案：B2.对于直线ax+y-a=0(a≠0），以下说法正确的是（)A.恒过定点,且斜率与纵截距相等B.恒过定点，且横截距恒为定值C.恒过定点，且与x轴平行的直线D.恒过定点，且与x轴垂直的直线解析:将直线ax+y—a=0化为点斜式方程为y-0=—a（x-1)，由此可得直线过定点(1,0)，横截距为定值1.答案：B3.过点（3，-4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A。x+y+1=0B。4x—3y=0C.4x+3y=0D。4x+3y=0或x+y+1=0解析：（1)当直线过原点时，可得y=;（2）当直线不过原点时,可设x+y=a,即得x+y+1=0.答案：D4。已知两直线的方程分别为l1：x+ay+b=0,l2：x+cy+d=0，它们在坐标系中的位置如图2—2—3所示，则（)图2-2-3A。b〉0，d<0，a<cB。b>0,d<0,a〉cC。b<0，d〉0,a〉cD。b<0，d〉0，a<c解析：由已知直线表达式，得l1:y=,由图象知答案：C5.过点P（3,2）的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有()A。1条B.2条C.3条D.4条解析：此题画图分析会比较简单直观,符合条件的直线有如图所示两种情况.若直线经过一、二、四象限,此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的距形的面积，即大于6，不符合条件。另外，此题还可能通过方程的根求解，过程如下：设直线方程y—2=k(x-3)与两坐标轴交点分别为A(0，2—3k）、B（,0),∵S△=6,∴|2—3k|·｜|=6.∴(3k—2)2=±6k,即9k2-12k+4=±6k。9k2—18k+4=0或9k2-6k+4=0，∴k=或无解.∴k=1±为所求。答案：B6.过点P（2，1),以为斜率的直线方程为____________.解:依题意得y-1=(x-2),整理得.答案:7。设A(0,3),B(3，3)，C（2，0),直线x=m将△ABC面积两等分,则m的值为___________.解：设直线x=m交AB和AC分别于D、E两点，由S△ABC=得S△ADE=，又AC的方程是=1,E在AC上,可求得E(m，)，则｜DE|=＞0，所以·m·=，解得m=.答案:38.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:l1：x-2y+2=0，l2：2x—y-2=0。解：解方程组所以，l1与l2的交点是（2,2）.设经过原点的直线方程为y=kx，把点（2，2）的坐标代入以上方程,得k=1。所以所求直线方程为y=x.另解：求直线交点，求解直线方程也可应用两点式，即y=x。9。已知三角形的三个顶点A（-5，0)、B（3,—3)、C(0，2),求BC边所在的直线方程，以及该边上中线所在的直线方程。解：过B(3,-3）、C（0,2）的两点式方程为，整理得BC边所在直线方程为5x+3y—6=0。由中点坐标公式可得BC边中点M坐标为（，）。过A（-5，0）、M（，）的直线方程为，即x+13y+5=0.10。设直线l的方程为(m2-2m-3)x+（2m2+m-1）y=2m（1）经过定点P（2，—1）；（2）在y轴上截距为6；（3）与y轴平行；(4)与x轴平行。解：（1)点P在直线l上,即P（2,—1）适合方程(m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m—6,把P（2,—1）代入,得2（m2-2m-3）—(2m2+m-1)=2m—6,解得m=（2)令x=0，得y=,由题意知=6，解得m=或0。（3)与y轴平行,则有解得m=。（4）与x轴平行，则有解得m=3.11.已知直线l:5ax-5y—a+3=0.(1）求证:不