数学优化训练：直接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2直接证明与间接证明2.2。1直接证明5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。已知f（x）=是奇函数,那么实数a的值等于（）A.1B.-1C。0答案：A解析：函数的定义域为R，函数为奇函数且x=0时f（0）=0,即=0，∴a=1，从而求出较为简单.也可根据奇函数的定义f(-x)=-f(x）恒成立,即=，即=恒成立，即2a+a·2x+1=2x+1+2∴a=1成立，较烦琐.2。已知a、b是不相等的正数，x=,y=,则x、y的关系是（）A.x〉yB.y>xC。x〉yD.不确定答案：B解析：要比较x、y的大小，∵x>0,y〉0,只需比较x2、y2的大小,即与a+b的大小.∵a、b为不相等的正数,∴2<a+b。∴〈a+b，即x2<y2.∴x〈y.3.已知p=a+(a〉2),q=,则…（）A.p〉qB。p<qC。p≥qD.p≤q答案：A解析：p与q不能直接进行比较，只能先判断p和q的取值范围。∵a〉2，∴p=a+=a-2++2≥2+2=4。而q==.∵a〉2,∴—（a—2）2+2〈2.∴<22=4。∴q<4，从而作出比较.4。若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β)=____________。解析：观察已知条件中有三个角α、β、γ,而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin2γ+cos2γ=1消去γ.即sinγ=-（sinα+sinβ）,cosγ=-(cosα+cosβ）,∴（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ)2=sin2γ+cos2γ=1，整理得出cos(α+β）的值即可.答案：10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1。下面叙述正确的是（）A。综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的答案：A2.A、B为△ABC的内角，A>B是sinA〉sinB的()A.充分不必要条件B。必要不充分条件C.充要条件D。既不充分也不必要条件答案:C解析:A〉Ba>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB。3。已知|x|<1,|y|〈1,下列各式成立的是（)A。｜x+y|+｜x-y｜≥2B.x=yC。xy+1〉x+yD.|x|=|y|答案：C解析:取x=y=0时,｜x+y｜+|x-y｜〈2,知A假,取x=0,y=时,知B、D假，C作差可证明.4。已知α、β为实数,给出下列三个论断：①αβ>0;②｜α+β|〉5；③|α|〉2,｜β｜>2.以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。解析：∵αβ〉0,|α｜>2,|β｜〉2,∴｜α+β｜2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32〉25。∴|α+β｜>5。答案:①③②5。设a=,b=,c=-,则a、b、c的大小关系为______________。解析：可通过作差进行比较，a-b=+，可进一步比较+与的大小,即比较（+）2与7的大小,即5+2与7的大小，∵>2,∴5+2>7,∴a>b,同理可比较a、c，b、c的大小。答案：a〉c〉b6.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：△ABC为等边三角形。证明:∵A、B、C成等差数列，∴B=60°.∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60°=a2+c2—ac。∴a=c。∴△ABC为正三角形.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1.下列条件:①ab>0；②ab〈0;③a>0，b〈0。其中能使不等式+≥2成立的条件个数为(）A。1B。2C.3答案：A解析：≥2≥0.2。要使〈成立,a、b应满足的条件是（）A。ab<0且a〉bB.ab〉0且a>bC。ab<0且a<bD。ab〉0且a〉b，或ab〈0且a〈b答案：D解析:3〈a—b+3—3<a—b，∴〈.∴当ab>0时，有<，即b〈a;当ab<0时，有>，即b〉a。3.命题“如果数列{an｝的前n项和Sn=2n2—3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立（)A。不成立B。成立C.不能断定D.以上说法都错误答案：B解析：a1=S1=-1，当n≥2时，an=Sn—Sn-1=(2n2-3n)—［2(n—1）2-3(n-1)］=4n-5.由于a1也适合上式,∴an=4n—5（n∈N*）。4。在不等边三角形中,a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a、b、c应满足什么条件()A.a2<b2+c2B.a2=b2+c2C.a2〉b2+c2D.a2≤b2答案：C解析:由cosA=〈0知b2+c2-a2<0，∴a2〉b2+c2.5.命题“若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos（α-β）=________”的结论中的横线上应填（）A.1B。—1C。D.答案：D6.分析法中常采用假定的语气，即常用____________一类的语句。解析:因从结论开始，要追溯每步中间结论成立的条件，采用假定语气是数学论证的需要。答案:要证……只需证……只需证……7.(2007江苏南京模拟，13）已知f(x）=ax2+bx+c（a〉0），且x1≠x2，则f（）与的大小关系是f(）______________.解析:—f（）=-［a·()2+b·］=（x1—x2）2〉0。f(）<。答案：〈8。已知α∈(0，π），求证：2sin2α≤.证法一:(分析法）要证明2sin2α≤成立，只要证明4sinαcosα≤∵α∈(0,π),∴sinα〉0。只要证明4cosα≤。上式可变形为4≤1+4（1-cosα).∵1-cosα〉0，∴1+4（1—cosα)≥2=4，当且仅当cosα=,即α=时取等号。∴4≤1+4(1—cosα）成立。∴不等式2sin2α≤成立.证法二：（综合法）∵+4（1—cosα）≥4，（1-cosα>0,当且仅当cosα=即α=时取等号）∴4cosα≤1.∵α∈（0，π）,∴sinα〉0。∴4sinαcosα≤。∴2sin2α≤。9。求证:≥｜a｜—｜b｜。证明:（1）当b=0时,不等式显然成立。(2)当b≠0时，∵｜a|>0，只需证明｜a2—b2｜≥｜a|2—|a|｜b|，两边同除以|b|2，即只需证明≥，即｜(）2-1|≥|（)2|-||。当｜｜≥1时,|(）2-1|=｜（)2|-1≥|｜2—｜|,原不等式成立。当||〈1时,|a|-｜b|<0,原不等式成立。综上所述，原不等式成立.10。已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1.求证:logx+logx+logx＜logxa+logxb+l