数学优化训练：模拟方法-概率的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3模拟方法-—概率的应用5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.下列说法中不正确的为（)A.抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率,是古典概型B.模拟方法所提供的解决方案仅限于随机数表法和圆盘方法C。我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率D。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验答案：B解析:A项,古典概型具有有限性和等可能性.抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型.人工进行试验费时、费力，并且有时是不可能实现的.因此，我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率。对于某些无法确切知道概率的问题,模拟方法能帮助我们得到此概率的近似值.模拟方法在实际中有很多应用。模拟方法有很多，除了随机数表和圆盘法,任何简单的试验活动都可以,如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属,只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果,因此可以用抛掷一枚硬币来模拟.2。课间休息为10分钟.学校规定,任课教师必须遵守铃声响进教室,则某老师在教室门前等待铃响不超过2分钟的概率为()A.0。8B.0。2C.0.6答案：B解析：所求概率为两时间之比，即P==0.2。3.如下图所示，有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏时规定：当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,在两种情形下甲获胜的概率为（）A。，B。，C。，D。，答案：B解析:属几何概型，甲获胜的概率P=。4.在边长为2的正方体内任取一点,则该点在正方体的内切球内的概率为(）A。B。C。D.答案:D解析：记“该点落入内切球内”的事件为A，则P（A）=。5。在区间(0，3）内随机地取1个数,则这个数大于的概率为______________.答案：解析：所求概率等于“大于2的区间长度与总区间长度之比"，即P=。10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。某乘客在一车站等车,班车每15分钟发一次，此人不用等车的概率为80%，则此人等车的最长时间为（）A.12分钟B.3分钟C。5分钟D。不能确定答案：B解析：依题意,此人等车的概率为20％。设其等车的时间为t，由=20%,得t=3分钟。2。在长为4米的绳子上任取一点剪开，要使两段绳子的长度一段大于3米，一段小于1米的概率是（）A.B。C.D。答案：A解析：显然当剪断点到AB或CD上时满足条件“一段大于3米,一段小于1米"，∴P（“一段大于3米,一段小于1米"）=.3。一只蚂蚁在如下图所示的地板砖上(除颜色不同外，其余全部相同)爬动，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是（）A.B。C.D.答案:A解析:记“小蚂蚁停留在黑色地板砖上”为事件A，则P（A）=.4。人造地球卫星在太空中对地球进行随机拍摄，若地球周长为4万千米，我国国境长2800千米，则从拍摄的照片中取出一张是我国的照片的概率是(）A。56％B。28％C.14％D。7%答案:D解析：设A=“拍到的照片是我国”，则P(A）=。5。向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为______________。答案：解析：根据题意知,若△PBC的面积小于,则点P可分布在如下图所示的过△ABC的高的中点与底边BC平行的梯形BCFE内。故满足条件的概率为梯形BCFE的面积与△ABC面积的比，即P=.6。一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m、宽20m的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：如下图所示,区域Q是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过2m”.问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，于是SQ=30×20=600(m2）,SA=30×20—26×16=184（m2).P(A）=≈0.31.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。如下图所示,在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA,则射线OA落在∠xOT内的概率是（）A。B.C。D.答案：D解析:记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.事件A的几何度量是60°，而所有区域的几何度量是360°,故P(A)=。2.有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖。小明希望中奖，他应选择的游戏盘为（）答案：C解析：设备选答案A、B、C、D所表示的事件分别为A、B、C、D。则P（A）=,P（B)=，P(C)=,P(D)=，显然P（C)最大。3。在长只有1000米的公路上均匀地栽种了10棵树,一汽车在路边随机地停靠了下来,则汽车离树不超过10米的概率是（)A.0。2B.0.09C。0。08答案：D解析：如下图，在中间8棵树两侧每侧找出10米，两头两棵树只能在其一侧找出10米,故满足事件A:“汽车离树不超过10米”的概率为P(A)==0.18。4。如下图所示，在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为与,高为b.向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率是()A。B。C。D.答案：C解析：记“投的点落在梯形内部”的事件为A，则P(A）=.5。向面积为9的△ABC中任意抛掷一点P，则△PBC的面积小于3的概率是（)A.B。C。D。答案：DS△PBC=PE·BC,S△ABC=AD·BC.∵，∴点P应落在如下图所示的阴影中.其中AF=，从而S△AGH=。∴S梯形BCHG=.∴所求概率为。6。随机地向半圆0〈y〈（a为正常数)内抛掷一点,点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴夹角小于的概率为____________。答案:解析：如下图可知,设基本事件表示半圆的面积，事件A为图中阴影部分的面积，则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比,即P(A）=。7.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，则这两人能会面的概率为____________.答案：解析：在平面上建立直角坐标系，以x，y分别表示两人的到达时刻,则两人会面必须满足|x—y|≤20，其中0≤x≤60，0≤y≤60，则（x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，这是一个几何概率问题,由等可能性知：P=。8。平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r〈a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任一条平行线相碰的概率。解：设事件A:“硬币不与任一条平行线相碰"。为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线，这样垂线段长度的取值范围是［0,a］，其长度就是几何概型定义中试验的全部结果的几何度量。只有当r<垂线段长度≤a时硬币不与平行线相碰，其长度就是子区域A的几何度量.所