广东省深圳市龙华区2021-2022学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

广东省深圳市龙华区2021-2022学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．直线x−y+1=0的倾斜角为（）A．30° B．45° C．120° D．135°2．已知空间中两点A(−1，1，−2)，A．3 B．33 C．6 3．各项为正的等比数列{an}中，a1=1，a2aA．121 B．120 C．61 D．454．圆C1：xA．相交 B．外切 C．内切 D．相离5．如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为8.75×10A．0.88 B．0.91 C．6．已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y=0，且经过点(32，2)A．x29−y24=1 B．7．已知点A(−1，0)，B(1A．x23+C．x2+y8．如图，是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面EFGH所截得的几何体，若AB=2，A．66 B．63 C．33二、多选题9．当m取一定实数值时，方程x2A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线10．在正方体ABCD−A1B1C1DA．AC1=C．CA1=11．1202年，意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列{an}，其递推公式可以表示为a1=A．a5=5 C．a1+a12．城市的很多街道都呈平行垂直状，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.仿此，如图，平面直角坐标系上任意不重合两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为A．无论A，B位置如何，M都满足C的条件B．当x1=x2或y1C．当直线AB的斜率为±1时，C可取l上任一点D．当直线AB斜率存在且不为0时，C均可取l上任一点三、填空题13．经过点(1，−2)且与直线14．已知曲线x2−y2=k（k≠0）与抛物线15．数列{2n}与{3n−1}的所有公共项由小到大构成一个新的数列{16．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2=1的点构成一个圆，经过点(12，32)四、解答题17．如图，在平面直角坐标系xOy上，有点A(2，1)（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△ABC的外接圆方程.18．已知等差数列{an}中，a（1）求{a（2）若{an}的前n项和为S19．已知P为椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）若|PF1|=2|P（2）若点P的坐标为(3，420．截至2020年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为300万辆.若此后该市每年新增普通汽车8万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的10%（1）设从2020年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列{an}，试写出an与（2）根据（1）中an与an+1的递推公式，证明数列{ an−80 }是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆？（参考数据：021．如图1，边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=120°，E，O，F分别是AB，BD，CD的中点.现沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，连接AC，如图2.（1）求cos∠EOF（2）若过E，O，F三点的平面交AC于点G，求四棱锥A−OEGF的体积.22．在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线C：y2=2px（p>0）交于点A，B，设直线OA、（1）若直线AB经过抛物线C的焦点F，证明：k1（2）若k1+k2=λ

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】x−y+1=0的斜率为1，故倾斜角θ满足tanθ=1故答案为：B

【分析】根据直线的斜率k=1，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角.2．【答案】B【解析】【解答】A(−1，1，−2)，B(2，故答案为：B

【分析】先求出AB→3．【答案】A【解析】【解答】设等比数列{an}∵an>0，∴q>0，又a2a∴S故答案为：A.

【分析】根据等比数列的性质可得a2a44．【答案】C【解析】【解答】由C1：x可得圆心C1(2则|C且R1所以R1故答案为：C．

【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，进而分析可得答案.5．【答案】C【解析】【解答】根据图像，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c，故根据题意，a−c=8.75×10解得a=12×e=c故答案为：C

【分析】由椭圆的性质，结合椭圆离心率的求法，可得答案.6．【答案】A【解析】【解答】根据渐近线方程可设双曲线C方程为：x2∵双曲线C过点(32，2)∴双曲线C的标准方程为：x2故答案为：A.

【分析】直接利用双曲线的渐近线方程，求解双曲线的方程.7．【答案】D【解析】【解答】设P(x，y)，因为A又因为PA2=3PB即得2可得点P的轨迹方程为y故答案为：D.

【分析】设P(x，y)，求出PA→，PB8．【答案】B【解析】【解答】如图所示：以DA，DC，则F(2，2，2)，G(0，2，则n1⋅HF=2x+2y=0n平面ABCD的一个法向量为n2=(0，故截面EFGH与底面ABCD所成二面角的余弦值是63故答案为：B

【分析】根据棱柱的结构特征，以DA，DC，DH为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面9．【答案】A,B,C【解析】【解答】∵m2+3>0，且当5−m2<0，即m∈(−∞，−当5−m2>0①当m2+3>5−m2，即m∈(−5②当m2+3=5−m2，即m=±1时，方程③当m2+3<5−m2，即m∈(−1，对于D：若方程x2m2+3+故答案为：ABC.

【分析】结合椭圆、双曲线的标准方程进行求解，可得答案.10．【答案】A,D【解析】【解答】由已知可得，a，b，对于A项，AC对于B项，BD对于C项，CA对于D项，DB故答案为：AD.

【分析】由已知可得，a，b，11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由题意可知a1=a2=1，a因为a2022=a2021+a2020，a各式相加得a2022所以a2022因为a==a故答案为：ABD

【分析】根据递推关系an=a12．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，M(x1+d(B，对于B，假设x1=xd(A，C)=|x同理当y1对于C，设AB的斜率为1，则l的斜率为-1，则有y2直线l的方程为：y−y1+设C(x0，d(B，同理当AB的斜率为-1时也正确；对于D，不妨假设A(0，0)，M(2，1)，直线l的方程为y−1=−2(x−2)，则有d(A，C)=|0−0|+|0−5|=5，故答案为：ABC.

【分析】由“折线距离’的定义，结合绝对值不等式的性质，可判断A，B；设C(x0，13．【答案】2x−y−4=0【解析】【解答】由题意可设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，将(1，−2)代入故经过点(1，−2)且与直线故答案为：2x−y−4=0

【分析】由题意可设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，将(1，−214．【答案】4【解析】【解答】抛物线y2=8x的准线为x=−2，曲线x2故k>0且x2k−故答案为：4

【分析】由抛物线的性质，结合双曲线的性质进行求解，可得k的值.15．【答案】56【解析】【解答】解：数列{2n}与{3n−1则新的数列{an}故a10故答案为：56.

【分析】由数列数列{2n}与{3n−1}都是等差数列可知{a16．【答案】12x+【解析】【解答】设A(12，32设切线上任意点P(x，y)，则OP⊥则12(x−1设B(23，则OB⊥BQ，即23化简为23故答案为：12x+

【分析】首先设切线上任意点P(x，y)，利用垂直关系建立等式，即可得到切线方程；设切面上任一点17．【答案】（1）证明：依题意得kAB=−2−15−2=−1所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.（2）解：取BC的中点D(92，所以△ABC的外接圆方程是(x−9写成一般式：x2【解析】【分析】(1)由题意，利用两条直线垂直的性质，证明AC⊥AB，可证得△ABC是直角三角形；

(2)根据直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，半径为斜边的一半，求得△ABC的外接圆方程.18．【答案】（1）解：a3+a9=2a6=76，a6an（2）解：（法一）d=−25，所以因为a1>0，设{an}的前k项和最大，则aSn的最大值为S（法二）d=−25，a1=40，{a即Sn=−1所以n=100或n=101时Sn取最大值，最大值为S【解析】【分析】(1)由题意，利用等差数列的定义，先求出公差，可得{an}的通项公式；

19．【答案】（1）解：设F1(−c依题意，不妨设|PF2|=m所以|PF1|+|P即e=5（2）解：（法一）设F1(−c则|PF1|2=由PF1⊥P即(3+c)2所以|PF1|=所以2a=|PF1|+|PF2故椭圆C的的方程为x2（法二）设F1(−c又由|PF1|+|P即S△PF1所以b2由P(3，4)在C所以9c+4a又由a2=b即b2=20，a2=45，即椭圆【解析】【分析】(1)由椭圆的性质，结合椭圆离心率的求法求解出椭圆C的离心率；

(2)由椭圆的性质，结合直线的斜率公式求解出椭圆C的标准方程.20．【答案】（1）解：a1=300，an+1=0.所以2023年末该市普通汽车的保有量a4（2）证明：an+1=0.9a故{an−80}是首项为220所以an−80=220×0.解an=220×0.9n−1即从2031年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆.【解析】【分析】(1)由题意，a1=300，an+1=0.9an+8，求出a4即可；

(2)根据题目的问法，可构造数列{21．【答案】（1）解：连接OA，OC，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊥BD，OA⊂平面ABD，故OA⊥平面BCD，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(0，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以OE=(0，−所以cos∠EOF=OE（2）解：连接EG，FG，AF，设平面OEGF的法向量为n=(x，y即−32y1+12z1设A到平面OEGF的距离为h，而AE=(0，−依题意得四边形OEGF是一个菱形，∠EOF∈(0，π)，所以S四边形OEGF所以VA−OEGF【解析】【分析】(1)证明OA⊥平面BCD，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得到OE→，OF→的坐标，利用向量夹角公式可求得cos∠EOF；

(2)求出平面OEGF22．