数学优化训练：正弦函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.3三角函数的图象与性质1。3.1正弦函数的图象与性质(1）5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。用“五点法”画y=sinx，x∈[0，2π]的简图时，正确的五个点应为（）A.（0，0），（，1)，（π，0）,（，—1），（2π，0）B。（0，0）,（，—1）,（-π，0）,（，1）,（—2π，0）C.（0，1）,（，0），（π，1）,(,-1），（2π,—1)D.（0，—1），（，0)，(π，—1）,(，0），（2π，0)提示：在［0，2π］上，y=sinx有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.答案:A2.正弦函数y=sinx的单调增区间是（）A。［2kπ，2kπ+π］，k∈ZB。［2kπ-，2kπ+］，k∈ZC。［2kπ+π，2kπ+2π］，k∈ZD.［2kπ+,2kπ+］，k∈Z解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B项。答案：B3。函数y=sin2x为（）A。奇函数B。偶函数C。既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：根据奇函数的定义f（—x）=-f（x）知，函数y=sin2x是奇函数。答案：A4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.解析：因为sinｘ的最大值为1,最小值为—1，所以sinｘ+4的值域为[3，5］.答案：[3，5］10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.y=sinx的图象的大致形状是图1-3—1中的(）图1答案：B2。在［0，2π］上，满足sinx≥的x取值范围是（）A.［0，]B。[,]C.[，]D.［,2π］解析：由正弦函数y=sinx的图象知，当x∈［,]时，sinx≥.答案:B3.函数y=sin（）的最小正周期是（）A。πB。2πC.4πD。解析：y=sin（+）=—sin（-），ω=,所以周期T==4π。答案：C4.比较大小：（1）sin_________________cos;(2）sin（）_________________sin（)。解析:（1）∵cos=sin（+），又＜＜+＜，y=sinx在［，]上是减函数，∴sin＞sin(+）=cos，即sin＞cos。(2)∵-＜0，sinx在[，0］上是增函数，∴sin（）＞sin（）。答案：（1）＞（2）＞5。若sinx=，且x∈[，］,则m的取值范围是_________________。解析：因为x∈［，］，所以｜sinx｜≤，即｜｜≤2｜1—m|≤|2m+3|.所以4(1-m）2≤（2m+3）2m≥—.答案：[,+∞)6。求函数f(x）=cos2x+sinx在区间［，］上的最小值.解：∵f（x)=cos2x+sinx=—sin2x+sinx+1=-（sinx）2+，∵≤x≤,∴≤sinx≤.∴当sinx=时，f（x）min=—（）2+=.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。已知a=sin,b=cos()，c=sin，d=cos，则a、b、c、d的大小关系为（)A。a＞b＞c＞dB。a＜b＜c＜dC。a＞c＞b＞dD。a＜c＜b＜d解析:由题意，a=sin(2π-)=—sin；b=cos（）=cos；c=sin(π+)=—sin；d=cos（3π-）=—cos=—sin。∵y=sinx在［0，］上单调递增，∴y=—sinx在［0，］上单调递减。又∵0＜＜＜＜＜,∴a＞b＞c＞d。答案：A2.已知α、β∈（0，），且cosα＞sinβ，则α+β与的大小关系是（）A.α+β＞B。α+β＜C.α+β≥D。α+β≤解析：因为α、β∈(0，）,则-α∈(0，）,又cosα＞sinβ，所以sin(-α）＞sinβ,而sinx在（0，）上是增函数，所以-α＞β，故α+β＜。答案：B3。(2006高考江西卷，文2)函数y=4sin（2x+）+1的最小正周期为（）A。B.πC.2πD。4π解析：最小正周期为T==π。答案：B4.已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈［0，2π］时，f（x）=sin,则f（x）=的解集是（)A.{x｜x=2kπ+，k∈Z｝B.｛x|x=2kπ+，k∈Z｝C。｛x｜x=2kπ±,k∈Z｝D.{x｜x=2kπ+（—1)k，k∈Z｝解析：当x∈［0，2π］时，由sin=得=或，即当x∈［—π，π］时，=或，所以x=或.所以x=2kπ±（k∈Z）。答案:C5.定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f（x）=sinx,则f（)的值为(）A。B.C。D。解析：f（）=f(π+）=f（）=f（π—）=f（—）=f（)。∵当x∈[0，］时,f（x）=sinx，∴f（）=sin=，f（)=.答案：D6。观察正弦曲线，得到不等式sinx＞1在区间［0，π］内的解集为（）A。［0,π］B。{}C。D.｛0,，π}解析：∵sinx的值不大于1,∴sinx＞1的解集为.答案：C7.下列四个函数中，既是(0，）上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是(）A。y=｜sin2x｜B.y=sin2xC.y=｜sinx|D.y=sinx解析：y=｜sinx｜的图象如图，符合题目要求.答案：C8.函数y=sinx-｜sinx|的值域为_________________.解析：y=（k∈Z），∴y∈［-2，0].答案：[—2，0］9。函数y=2sin（—x）的单调增区间是_________________。解析:y=2sin(-x)化为y=-2sin（x）.∵y=sinu(u∈R）的单调减区间是［2kπ+，2kπ+]（k∈Z),∴y=—2sin（x-）的单调增区间由下面的不等式确定：2kπ+≤x—≤2kπ+(k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）.故函数y=2sin（—x）的单调增区间是[2kπ+，2kπ+］（k∈Z）。答案：［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）10.求函数y=2cos2x+5sinx-4的最大值和最小值。解：y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx—2=-2（sinx-)2+，∵sinx∈［-1，1］,∴当sinx=-1，即x=2kπ-(k∈Z）时，y有最小值—9，当sinx=1即x=2kπ+（k∈Z）时，y有最大值1.11。若函数f（n）=sin(n∈Z），求f（1）+f（2)+f（3)+…+f(2