山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学

第一学期高二年级期末学业诊断数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线在轴和轴上的截距分别为（）A.，2 B.，2 C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用横纵截距的意义求解即得.解析】直线，当时，，当时，，所以直线在轴和轴上的截距分别为，2.故选：B2.圆的圆心坐标和半径分别为（）A.， B.， C.，3 D.，3【答案】A【解析】【分析】利用给定圆方程直接求出圆心坐标及半径即得.【解析】圆的圆心坐标为，半径为.故选：A3.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.【解析】因为双曲线方程为：，所以渐近线方程为：.故选：D4.平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（）A.1 B.0 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.【解析】l1、l2的距离为＝1.故选：A.【小结】本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.5.设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.【解析】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，设点到准线的距离为，则，如图所示：当三点共线时，取得最小值，故选：C6.已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可.【解析】联立，消去得，所以，此时方程的解为，所以，解得，符合，所以双曲线的焦距为.故选：B.7.在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.【解析】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，又，两式相减得，整理得，所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.故选：C.8.如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求.【解析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，在直角三角形中，，，所以.故选：A.二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（）A.点到原点的距离为B.点到直线的距离为1C.不论实数取何值，直线：都经过点D.是直线的一个方向向量的坐标【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得.【解析】由，解得，则点，对于A，到原点距离，A正确；对于B，到直线的距离，B错误；对于C，，当时，直线不过点，C错误；对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确.故选：AD10.当时，方程表示的轨迹可能是（）A.两条直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线【答案】ABD【解析】【分析】对所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹.【解析】对方程，若，则，即，此时该方程表示两条直线与；若，此时该方程表示椭圆；若，此时该方程表示双曲线；综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线.故选：ABD.11.椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A. B.C.点到轴距离为 D.【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论.【解析】如图：因为椭圆的标准方程为：，所以：，，.因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率，所以必是：.根据椭圆的定义，，故A正确；在中，，，由余弦定理：，故B错误；由，到轴的距离为：，故C正确；，故D错误.故选：AC12.已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（）A.双曲线的标准方程为 B.C.双曲线的焦距为 D.点到两条渐近线的距离之积为【答案】BCD【解析】【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D.【解析】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点，因为平分，且，所以，在中，，所以，所以，，即为线段的中点，可得为的中位线，根据双曲线的定义，因为为的中位线，所以，即，离心率为，可得，所以，所以双曲线的标准方程为，故A错误；对于B，因为为的中位线，，即，故B正确；对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确；对于D，双曲线的标准方程为，所以渐近线方程为，即，设，则，即，点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.故选：BCD.【小结】关键点小结：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式.三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13.抛物线的焦点坐标为________.【答案】【解析】【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.【解析】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为，其焦准距，焦点在x轴负半轴上，故其焦点坐标为，故答案为：14.已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是________.【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解.【解析】根据题意，，即圆心坐标为；则圆的半径，故所求圆的方程为：.故答案为：.15.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则________.【答案】【解析】【分析】过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，结合条件及抛物线的定义可求得，在中，利用余弦即可求出结果.【解析】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为．如图所示，由题意知，因，易知，又点到准线的距离为：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，故答案为：.16.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为________.【答案】##【解析】【分析】向量坐标化得Q的坐标，代入椭圆方程计算求解离心率.【解析】根据椭圆性质，，，则，则点位于轴上，设，，其中，设，由于，得：，即，代入椭圆得：，即，解得离心率.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知的三个顶点分别为，，.（1）求边所在直线的方程；（2）判断的形状.【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得.【小问1解析】依题意，直线的斜率，则直线的方程为：，化简得：.【小问2解析】直线的斜率，显然，即，是直角三角形，又，则是等腰三角形，所以是等腰直角三角形.18.已知圆的方程为，点在圆内.（1）求实数的取值范围；（2）求过点且与圆相切的直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.【小问1解析】圆：的圆心，半径由点在圆内，得，解得，所以的取值范围为.【小问2解析】显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2，则直线是过点的圆的切线；当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为，由，解得，切线方程为，即，所以圆的切线方程为或.19.已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求双曲线方程；（2）若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c，再求出即可.（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长，再借助双曲线定义求解即得.【小问1解析】拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得，所以双曲线的方程为.【小问2解析】由（1）知，直线的方程为，设，，由，得，显然，则，，，因此，所以的周长为.20.已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.【小问1解析】由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.得，解得，故抛物线的方程为.【小问2解析】证明：设直线的方程为，，，由，得，，.，，即直线关于x轴对称，故.21.已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点.（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求得，则方程得解；（