数学优化训练：向量的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.5向量的应用5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1。已知三个力F1=(3，4），F2=(2，-5）,F3=(x，y）的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐标.解:由题设F1+F2+F3=0，得(3,4)+（2，—5)+(x，y)=(0，0)，即∴F3=（—5，1）.2。在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是()A。梯形B。菱形C。矩形D.正方形思路解析:由·=0得AB⊥BC，又=，∴AB与DC平行且相等。从而四边形ABCD是矩形.答案：C10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来。试求实际风速和方向。解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为—a，设实际风速为v,那么此时人感到的风速为v—a。设=—a，=—2a.∵+=，∴=v—a。这就是感到由正北方向吹来的风速。∵+=，∴=v—2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°,⊥BO,BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=a，即｜v｜=a.∴实际风速是a的西北风.2.已知两恒力F1=（3，4）、F2=（6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15）移动到点B（7,0）。试求:（1）F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功。思路解析:设物体在力F作用下位移为s，则所做的功为W=F·s。解：=(7，0)—（20,15)=（—13，—15)。(1）W1=F1·=（3,4)·(-13，—15)=-99（焦耳），W2=F2·=(6，-5）·(-13，—15）=—3（焦耳）.(2)W=F·=(F1+F2）·=［（3，4）+(6,—5）］·(-13,-15）=(9，-1)·（—13，-15）=-102（焦耳)。3。（2005上海)直角坐标平面xOy中，若定点A(1，2)与动点P（x,y）满足·=4，则点P的轨迹方程是_________________。思路解析:设点P的坐标是(x,y），则由·=4知x+2y=4x+2y—4=0.答案：x+2y—4=04。如图2—5-1所示，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点,求证:EF图2证明：设=a，=b.∵∥，∴=λ=λb。则=-=b-a.∵E为BD的中点，∴==（b—a）。∵F为AC的中点，∴=+=+=+(—)=(+）=(-）=(λb-a)。∴=—=（λb-a)—（b-a)=（λ-）b=［（λ-）·].∴∥，即EF∥BC。5。如图2-5—2所示，已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.求证：AC图2思路解析:对于线段的垂直,可以联想到两个向量垂直的条件.而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的条件。证法一:∵=+,=—，∴·=（+)·（-)=｜｜2-｜|2=0。∴AC⊥BD.证法二：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a，b)，C（c，0），则由|AB|=|BC|得a2+b2=c2。∵=—=（c，0)-（a，b）=（c—a，—b），=+=(a，b)+（c，0）=（c+a，b)，∴·=c2-a2-b2=0。∴⊥，即AC⊥BD.志鸿教育乐园少年风范约翰是个聪颖的孩子，成绩不算很好，但凡事都有独特的见解。一次,老师请一位心理学家来考他，那位专家单刀直入地问道：“《罗密欧与朱丽叶》是谁的作品？"“我怎么会知道呢!”约翰爱理不理地答道，“像我这样的年纪，是不会看莎士比亚的作品的。"30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为()A.F·s·cosθB.F·s·sinθC。|F｜·s·cosθD.|F｜·s·sinθ思路解析：根据力对物体做功的定义，W=F·s·cos（90°—θ）=F·s·sinθ。答案：B2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2,已知船可垂直到达对岸，则()A.｜v1|＜|v2|B。｜v1｜＞｜v2｜C.｜v1｜≤｜v2|D.|v1|≥|v2|思路解析：只有当船速大于水速时，船速在水速方向的分速度能够和水速抵消，船才能垂直到达对岸.答案:B3.平面上有两个向量e1=(1,0）,e2=(0，1)，今有动点P从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0（-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为｜3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=_________________。思路解析：∵P0（-1，2），Q0(-2，-1），∴=(-1,—3）.又∵e1+e2=（1，1），∴｜e1+e2|=.∵3e1+2e2=（3，2)，∴｜3e1+2e2｜=.∴当t时刻时，点P的位置为（-1+t，2+t),点Q的位置为（-2+3t，-1+2t）.∴=(—1+2t，-3+t).∵PQ⊥P0Q0,∴（-1）·（—1+2t）+（—3)·（—3+t）=0.∴t=2。答案:24。已知A(—1，-1）、B(1，3）、C(2,5)，求证:A、B、C三点共线。证明：∵=(2，4),=(1,2)，∴=2.∴∥,且与有公共点B.∴A、B、C三点共线。5.设a、b、c是两两不共线的三个向量。（1)如果a+b+c=0，求证:以a、b、c的模为边,必构成一个三角形；（2）如果向量a、b、c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路解析:运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解:(1）如图，作=a,=b，=c。按向量加法的多边形法则有=++=a+b+c=0。∴B与D重合,故向量a、b、c能构成一个三角形.（2)设向量a、b、c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则，有+=，即++=0.∵a=—，b=—,c=—，∴a、b、c有下列四种关系之一即可:①a+b—c=0，②a+b+c=0,③a-b-c=0,④a—b+c=0。6。用向量法证明三角形的三条高线交于一点.思路解析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量。证明:如右图,AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H.方法一:设=a，=b，=h，则=h—a，=h—b，=b-a，∵⊥，⊥,∴(h-a)·b=0,(h-b）·a=0。∴（h—a)·b=(h—b)·a。化简得h·(b—a）=0.∴⊥.∴AH与AD重合，即AD、BE、CF交于一点。方法二:设=a，=b，=c，则=b-a，=c-a，=b-c，∵⊥，⊥，∴b·(c—a)=0，c·(b-a）=0。∴b·(c—a)=c·(b—a）.∴a·b=a·c，即a·(b-c)=0.∴⊥，故AD、BE、CF交于一点.7.如图2—5—3所示,△ABC三边长为a、b、c，以A为圆心,r为半径作圆，PQ为直径,试判断P、Q在什么位置时,图2思路解析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a·b≤｜a|｜b｜求解。解：∵+=，+==—,∴·=（-）·（—-)=-2+·+·—·=-r2+·+·(-）=·+·—r2=cbcos∠BCA+·—r2。∵r、a、b、c,∠BAC均为定值,故当且仅当·有最大值时,·有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0°，有·=ra.∴当∥，且与反向时，·有最大值bccos∠BAC+ar-r2.8.如图2—5-4所示，已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一