数学优化训练：向量的概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章平面向量2。1向量的线性运算2.1。1向量的概念5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功。其中不是向量的有（）A.1个B.2个C.3个D。4个解析：一个量是不是向量就是看它是否具备向量的两要素：大小和方向.②③④既有大小又有方向，所以是向量；而①⑤⑥⑦只有大小没有方向，所以不是向量.答案：D2.下列命题中真命题的个数为(）①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同②若非零向量与共线,则A、B、C、D四点共线③若非零向量a与b共线，则a=b④四边形ABDC是平行四边形,则必有=⑤a∥b，则a、b方向相同或相反A.0B.1C解析:①显然为假命题；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a与b共线，说明a与b方向相同或相反,a与b不一定相等，所以③错；④对;⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的,所以⑤错。答案：B3。如图2-1—1的四边形ABCD中，=，则相等的向量是（）图2—1-1A.与B。与C。与D.与解析：判断出四边形ABCD为平行四边形即得出=.答案：D4。在⊙O中，以O点为起点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是()A。方向B.大小C。大小和方向D.以上均不对解析：由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度（大小)是确定的。答案：B10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。下列各命题中,正确命题的个数为（)①若|a｜=｜b｜,则a=b或a=—b②若=,则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点③若a=b,b=c，则a=c④若a∥b，b∥c，则a∥cA.4B。3C.2解析：①|a|=|b｜只说明两向量大小相等，不能得出两向量相等或反向,故此命题不正确；②由=可得||=｜|且∥，由于∥可能是A、B、C、D在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④b=0时，a∥c不一定成立，命题不正确。答案:D2.以下说法中正确的是(）A.长度相等的两个向量一定是相等向量B.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一直线时，这两个向量为共线向量C。零向量没有方向D.单位向量的长度一定是1解析：相等向量不仅长度相等,而且方向相同,A错；共线向量所在直线可以相互平行，也可以是同一条直线，B错；零向量方向为任意方向,C错。答案:D3。如图2—1—2所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则图中,,,,，向量中共线的向量有()图2-1—2A.1组B.2组C。3组D。4组解析：与、与、与分别共线。答案：C4.在四边形ABCD中，若∥,且｜｜≠｜|，则四边形为_________________。解析：由梯形的定义及向量的概念判断。答案：梯形5。在四边形ABCD中，若=且｜|=｜｜，则四边形为_________________.解析：∵=，∴四边形ABCD为平行四边形，又｜｜=｜｜.∴四边形ABCD为菱形。答案:菱形6。如图2-1-3，D、E、F分别为正△ABC的各边中点,则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中:图2-1—3(1）找出与向量相等的向量；(2）是否存在与向量长度相等,方向相反的向量？（3）与向量共线的向量有几个？(4）若△ABC为任意三角形，以上几问的答案会发生变化吗?解析:由向量相等与向量共线的定义可知：（1）与相等的向量有、；(2)存在，例如、；（3)有7个，分别为、、、、、、；（4）不会。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后）1.在下列命题中，正确的是（)A.若｜a|〉|b｜，则a〉bB.若｜a｜=|b|，则a=bC。若a=b，则a与b共线D.若a≠b，则a一定不与b共线解析：A错.因为向量有大小和方向两个要素，无法比较大小;B错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同；C对.相等向量方向一定相同,因此共线；D错.因为向量不相等,可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以a与b有共线的可能。答案:C2.设O为△ABC外心，则、、是(）A.相等向量B.平行向量C.模相等向量D。起点相同的向量解析：∵O为△ABC外心,∴OA=OB=OC，即||=｜｜=||.答案:C3.在矩形ABCD中，AB=2AD，M、N分别为AB和CD的中点，则在以A、B、C、D、M、N六点中任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，相等向量有()A。9对B.11对C。18对D。22对解析：其中===;==；=；=.以上分别取相反向量（如变为）又有4组。经计算,共有22对。答案：D4。如图2-1—4,点O是正六边形ABCDEF的中心，则在以A、B、C、D、E、F、O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与相等的向量个数为m，与模相等的向量个数为n，则m、n的值分别是(）图2-1—4A。3，23B.3，11C.3，24解析：（1)与方向相同的向量仅有、、、四个，而｜|≠｜｜，｜｜=｜｜=｜|，故m=3。(2）与的模相等的向量有两类：一是以O为起点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有2×6—1=11个;还有六边形的六条边2×6=12个。答案:A5。下列命题中正确的是()A。|a|=｜b｜a=bB.|a|>|b|a>bC。a=ba∥bD。a∥ba=b解析:由向量相等的概念知A错,C对；向量不能比较大小，B错；向量平行不能推出相等，D错。答案：C6。一架飞机向西飞行100km，然后改变方向向南飞行100km,则飞机两次位移的和是_____________。解析：如图,令起点为A，向西飞行100km到达B，由B向南飞行100km到达C，则飞机两次飞行后的位移向量为，且||=km。答案:km7.如图2-1—5,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图2-1-5（1）与向量ED相等的向量为_____________；(2）若｜｜=3，则向量的模等于_____________.答案：(1），(2）68.如图2—1-6，B、C、D是线段AE的四等分点,分别以A、B、C、D、E为起点和终点，最多可以写多少个互不相等的非零向量?图2-1—6解：设｜|=1，则与方向相同，模为1的向量算一个向量，与方向相同,模为2的向量算一个向量，与方向相同，模为3的向量算一个向量，与方向相同,模为4的向量算一个向量，∴与方向相同，互不相等的向量共有4个。同理与方向相反，互不相等的向量共有4个.∴共8个。9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地,问丁地在甲地什么地方?丁地距甲地多远？解：如图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知△ABC为正三角形,∴AC=2000km.又∵∠ACD=45°，CD=10002，∴△ACD为等腰直角三角形，即AD=km,∠CAD=45°.答：丁