数学优化训练：离散型随机变量的方差和标准差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.5.2离散型随机变量的方差和标准差五分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.设随机变量X～B（n,p），且EX=1。6,VX=1.28，则（)A。n=8,p=0。2B。n=4,p=0.4C。n=5，p=0.32D。n=7，p=0.45答案：A解析：∵X～B（n，p）,∴EX=np，VX=np（1—p)。从而有2。已知ξ~B(n,p),Eξ=8,Vξ=1。6,则n与p的值分别是（）A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8答案：D解析：若随机变量ξ—B(n，p）,则Eξ=np=8,且Vξ=np(1—p)=1。6,∴n=10,p=0.8.3。设掷一颗骰子的点数为ξ,则（)A.Eξ=3。5，Vξ=3.52B。Eξ=3。5，Vξ=C。Eξ=3。5，Vξ=3。5D。Eξ=3.5,Vξ=答案：B4.两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量X1、X2，已知EX1=EX2，VX1〉VX2,则自动包装机___________________的质量较好。答案:乙解析:EX1=EX2说明甲、乙两机包装重量的平均水平一样，VX1>VX2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.若随机变量η的分布如下表所示,则η的标准差为（)Η01P1—pPA。pB。1—pC.p(1-p)D.答案：D解析：∵随机变量η服从（0,1)分布,∴E（u）=0×(1—p）+p=p，∴V(η）=（0—p）2（1—p)+(1-p)2p=p(1-p）,∴.2。已知V（aξ+bη)=a2Vξ+b2Vη,若Vξ=3，Vη=1，则V(—ξ+2η）为()A.—1B.7C。1D。6答案：B解析：∵V(aξ+bη）=a2Vξ+b2Vη，∴V(—ξ+2η)=Vξ+4Vη=3+4×1=7.3.已知随机变量ξ的分布列是(）ξ123P0.40.20.4则Vξ和Eξ分别等于()A。0和1B。1.8和1C.2和2D.0。8和2答案:D4.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量______________；方差或标准差越小,随机变量偏离于均值的平均程度就______________________.答案：取值偏离于均值的平均程度越小5.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲:所得环数X11098概率P0.20.60。2射手乙:所得环数X21098概率P0.40。20.4谁的射击水平比较稳定?解：E（X1）=10×0。2+9×0。6+8×0.2=9,V（X1）=(10-9）2×0。2+（9-9)2×0.6+(8-9)2×0.2=0.2+0。2=0.4,E（X2）=10×0。4+9×0.2+8×0.4=9，V（X2)=（10-9）2×0。4+(9—9）2×0。2+(8—9)2×0.4=0。4+0。4=0.8。由V(X1）<V(X2）,可知甲的射击水平比乙稳定。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后）1。同时抛掷两枚均匀硬币100次，设两枚硬币同时出现正面的次数为ξ，则ξ的期望与方差分别为()A.25，18。75B.25,25C.50,18.75D。50,25答案:A解析：同时掷抛两枚均匀硬币,出现的情况有四种:正，正;正，负；负,正；负，负。而出现每种情况的概率均为,∴ξ的数学期望Eξ=25。方差利用公式即可.2。设随机变量ξ~N（0，1)，则P(—1＜ξ＜1)等于(）A。2Φ（1)-1B.2Φ（—1）—1C。D。Φ（1)+Φ（—1)答案：A解析：P(-1＜ξ＜1）=P(ξ＜1)—P(ξ＜—1）=Φ(1）-Φ(-1）=2Φ(1）—1.3。已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{—3，—2,—1，0，1，2,3},在这些抛物线中，记随机变量ξ=|a-b｜的取值，则ξ的数学期望Eξ为（）A。B.C.D。答案:A解析：对称轴在y轴左侧的抛物线共有2=126条.ξ可取的值为0，1,2。P（ξ=0）==，P(ξ=1）=,P(ξ=2）=,Eξ=0×+1×+2×=.4。设一随机试验的结果只有A和，且P(A）=p,令随机变量X=则X的方差VX等于(）A.pB。2p（1-p）C.-p（1-p）D。p(1—p）答案：D解析：EX=0·(1-p)+1·p=p，VX=(0—p）2·(1—p)+（1-p)2·p=p-p2=p（1—p)。5。若X是离散型随机变量,P（X=x1）=，P（X=x2）=，且x1<x2，又已知EX=，VX=，则x1+x2的值为()A.B。C.3D。答案：C解析：由EX=x1+x2=,得2x1+x2=4。①又VX=（x1—)2·+(x2-）2·=，得18x12+9x22—48x1—24x2+29=0.②由①②且x1<x2，得x1+x2=3。6。一般地,若离散型随机变量X的频率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则（xi-μ）2〔μ=E（X)〕描述了xi(i=1，2,…，n)相对于均值μ的偏离程度,故（x1-μ）2p1+（x2-μ)2p2+…+(xn—μ）2pn(其中pi≥0,i=1,2，…,n，p1+p2+…+pn=1）刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为_______________，记为_____________.答案:离散型随机变量X的方差V(X）或σ27。证明事件在一次试验中发生次数方差不超过.证明:设事件在一次试验中发生的次数为ξ,显然ξ可能的取值为0和1，又设事件在一次试验中发生的概率为P，则P（ξ=0）=1—p，P(ξ=1）=p.∴Eξ=0（1—p)+1·p=p,Vξ=(1—p)(0—p)2+p(1—p)2=(1-p）p2+p（1-p）2=p（1