浙江省衢州五校联盟2022-2023学年高二普通班上学期数学期末联考试卷（含答案）

浙江省衢州五校联盟2022-2023学年高二普通班上学期数学期末联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={1，2，3}，A．{1，2，C．{3} D．{2}2．双曲线x2A．1 B．3 C．2 D．23．已知空间向量a=(1，3，4)，bA．−4 B．−2 C．0 D．24．为评估一种新品种玉米的种植效果，选取n块地作试验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1A．x1，x2，C．x1，x2，5．“方程x2m+2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β7．等比数列{an}中，a1+a3=20，a2A．256 B．512 C．1024 D．20488．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=|x2A．−9 B．−7 C．7 D．9二、多选题9．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（）A．圆锥的高是2 B．圆锥的母线长是4C．圆锥的表面积是16π D．圆锥的体积是810．已知函数f(x)=23A．f(x)的最小正周期是πB．若f(x+θ)为奇函数，则θ的一个可取值是πC．f(x)的一条对称轴可以是直线x=D．f(x)在[0，11．已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于A(xA．对任意实数k，均有yB．存在实数k，使得|AB|=C．若|AF||BF|=3D．若|AB|=8，则A，B中点M到12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱BC上的一条线段，且EF=1A．存在某一位置，PQ与EF垂直B．三棱锥E−PQF体积的最大值是2C．当PE⋅PF最大时，三棱锥E−PQFD．二面角P−EF−Q的正切值是1三、填空题13．若2a=3，b=log14．德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样的“代数化”.若复数z满足z⋅(1+2i)=3+i，则复数z的模是15．已知实数x，y满足x>−1，y>−316．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线与双曲线C的左支交于四、解答题17．从①(2c−b)cosA=acosB，②2a在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____.（1）求角A；（2）若a=23，求△ABC18．已知过点A(1，1)的直线被圆C：x2+y（1）求实数m的值及圆C的标准方程；（2）若点P为直线l：x−y+3=0上一动点，点Q是圆C上的动点，求19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间[50，（1）求图中a的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间[90，20．如图，等腰梯形ABCD中，BC=CD=DA=12AB，点M是AB的中点，将△BCM沿着CM翻折到△PCM（1）求证：EF//（2）求二面角E−PA−D的余弦值.21．已知数列{an}的前n项和为Sn（1）求a1，a（2）求证：数列{a（3）记bn=3n+2anan+1，数列22．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过右焦点F作不与x轴重合的直线交椭圆于C、D两点，直线AD和BC相交于点M，求证：点M在定直线l上；（3）若直线AC与（2）中的定直线l相交于点N，在x轴上是否存在点P，使得PM⋅

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为A={1，2，所以A∩B={2，故答案为：B

【分析】根据交集的定义可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由x22−y2所以双曲线的焦距为2c=23故答案为：D

【分析】由双曲线的方程可得a，b的值，进而求出c的值，求出焦距的大小.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为a=(1，3，4)所以b=λa，即(2，x，所以x−y=−2.故答案为：B

【分析】根据空间向量平行求出x，y，进而可求得答案.4．【答案】D【解析】【解答】对A项，平均数是体现集中趋势的一项指标，A项不符合；对B项，众数体现的是出现次数最多的数，B项不符合；对C项，中位数将数据分为前后两部分，体现的是数据的“中等水平”，C项不符合；对D项，标准差体现的是数据的离散程度，可以用来评估产量稳定程度，D项符合.故答案为：D

【分析】利用平均数，标准差，方差，中位数的定义逐项进行判断，可得答案.5．【答案】A【解析】【解答】若方程x2m+2+y25−2m=1∵−2<m<1或1<m<52⇒−2<m<52∴“方程x2m+2+故答案为：A.

【分析】根据已知条件得到关于m的不等式，求出m的范围，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案.6．【答案】D【解析】【解答】∵m⊥α，n⊥α，∵m//n，n∥β，∴α⊥β，故答案为：D.

【分析】利用线面垂直和线线平行、线面平行，从而推出面面垂直，从而推出正确的命题。7．【答案】C【解析】【解答】设公比为q，由a1+a所以an所以Tn因为n(所以当n=4或n=5时，n(9−n)又2>1，所以Tn的最大值是2故答案为：C

【分析】由已知结合等比数列的性质先求出a1，q，然后求出通项公式和Tn，再利用二次函数的性质可求出8．【答案】A【解析】【解答】作出函数f(令t=f(x)若关于t的方程mt2+nt+1=0恰有一个实根，则关于x的方程t=f所以关于t的方程mt2+nt+1=0恰有2个实根，设为t则关于x的方程f(x)由图可知，必有t1=2，t2=1即关于t的方程mt2+nt+1=0恰有2个根1所以14+2=−nm1所以m⋅n=2×(故答案为：A

【分析】作出函数f(x)的图象，令t=f(x)，结合图象及题意可知方程mt2+nt+1=0有两个不同的实数根t1和9．【答案】B,D【解析】【解答】设圆锥母线为l，高为h，侧面展开图的弧长与底面圆周长2π×2=4π相等，由弧长公式得πl=4π，即l=4；所以圆锥的母线长是4，即B符合题意；高为h=l圆锥的表面积是S=π×2圆锥的体积是V=1故答案为：BD

【分析】设圆锥母线为l，高为h，由圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长求得l，然后求高，再由表面积公式与体积公式求解圆锥的表面积与体积，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,C【解析】【解答】f(x)=23所以f(x)的最小正周期是2π2若f(x+θ)=2sin(2(x+θ)−π6)=2sin(2x+2θ−π6)为奇函数，则2θ−π因为f(当x∈[0，π4]时，所以当x=π4时，f(x)在[0，故答案为：AC

【分析】由二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，化简f(x)，由周期公式可判断A；由正弦函数的奇偶性可判断B；由正弦函数的对称轴方程可判断C；由正弦函数的性质求得f(x)在[0，11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由题意可得F(1，0)所以直线l的方程为：y=k(由y=k(x−1)所以x1+x所以y1由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|=x1+令4+4k2当|AF||BF|=3时，即有所以有x1又因为x1所以3x解得x2=1当x2=13时，x1=3，所以当|AB|=8时，即有4+4k2=8，所以所以A，B中点所以A，B中点M到故答案为：ACD.

【分析】根据已知条件，设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，再结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，当P点与B点重合时，EF⊥平面ABB1A1，而PQ⊂平面ABB对于B，如下图所示易知BQ⊥EF，所以S△QEF三棱锥E−PQF的体积最大时，只需满足点P到平面QEF的距离最大即可，取DD1的中点为G，则平面QEF与平面易知，当点P与D1重合时，点P到平面QEF作PH⊥CG于H，易知QG⊥平面CDD1C1，所以PH即为点由三角形相似可得PHGH=DCDG因此三棱锥E−PQF体积V=1B符合题意；对于C，由余弦定理得PE·易知当PE⋅PF最大时，满足E与B重合，P与以A为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则E(4则x联立解得x=194，所以三棱锥E−PQF的外接球表面积是4πR对于D，连接D1C，GC，二面角P−EF−Q即为平面易得D1所以∠D1GC即为二面角P−EF−Q由余弦定理可得cos∠所以sin∠D1所以二面角P−EF−Q的正切值是13故答案为：ABD.

【分析】易知，当P点与B点重合时，此时PQ与EF垂直，即可判断A；根据几何体特征可知△QEF的面积为定值，P点到平面QEF的距离最大时体积最大，可判断B；当PE⋅PF最大时，满足E与B重合，P与D1重合，以A为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，设出球心坐标，利用半径相等构造方程组解得球心坐标求出半径，即可算出球的表面积，可判断C；利用几何法将二面角P−EF−Q转化成平面D13．【答案】2【解析】【解答】由2a=3得到故ab=lo故答案为：2

【分析】先将指数式化为对数式，再利用对数的换底公式求解可得答案.14．【答案】2【解析】【解答】∵z⋅(1+2i)则其模为12故答案为：2.

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解出答案.15．【答案】8【解析】【解答】由2x+4y=3得：2(x+1)+2(2y+3)=11，因为x>−1，y>−32，∴1当且仅当x+1=2y+3即x=7∴1x+1+故答案为：811

【分析】由题意得2(x+1)+2(2y+3)=11，则1x+116．【答案】33【解析】【解答】设|MF1|=m，则因为线段MF2的中垂线恰好经过点所以|MN|=|NF所以|NF所以|MF1|=2a，因为|MF2|−|M因为∠NF所以cos∠N所以|NF所以1616a化简得3c所以c2所以离心率e=c故答案为：33

【分析】设|MF1|=m，则|MN|=3m，|NF1|=2m，再结合双曲线的定义可求出|MF217．【答案】（1）解：若选①，由正弦定理得：(2sin所以2sin因为sinB所以2sin因为C∈(0，π)，所以所以cosA=因为A∈(0，所以A=π选②，由正弦定理得：2sin所以2所以sinC=2因为C∈(0，π)，所以所以cosA=因为A∈(0，所以A=π选③，由正弦定理得：c2−a所以cosA=因为A∈(0，所以A=π（2）解：因为a2=b所以S△ABC=1所以△ABC面积的最大值为33【解析】【分析】(1)选①，根据已知条件，结合正弦定理，以及角A的取值范围，即可求解出角A；选②，根据已知条件，结合正弦定理，以及角A的取值范围，即可求解出角A；选③，根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解出角A；

(2)根据已知条件，结合余弦定理，以及基本不等式的公式，推出bc≤12，再结合三角形的面积公式，即可求解出△ABC面积的最大值.18．【答案】（1）解：由圆的方程可得：圆心C(−m2，∵过点A的最长弦为直径，∴2r=m2+20又点A在圆C内，∴12+12此时圆心C(2，0)，半径r=3，∴圆C的标准方程为（2）解：∵圆心C(2，0)到直线l的距离∴|PQ|【解析】【分析】(1)将圆的一般方程化为标准方程，得圆心和半径，根据圆的半径和点A在圆C内，求m的值，进而得圆C的标准方程；

(2)通过判断直线l：x−y+3=0与圆C的位置关系，将PQ长度的最小值为圆心C到直线x−y+3=0的距离d减去圆C(2，0)的半径所得的差，利用点到直线的距离公式可求出19．【答案】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.015+0.所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数x=55×0设这40名学生的竞赛成绩的中位数为x，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有(x−70)×0.03+0.即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75.（2）解：由分层随机抽样可知，在区间[80，记为a，b，c，d，e，在区间[90，从中任取2人的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，(b，d)，(b，e)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，(e，A)，(e，其中至少有一人测试成绩位于区间[90，100]内有：(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，所以，至少有一人的测试成绩位于区间[90，100]内的概率为【解析】【分析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1求出，根据平均数和中位数的计算公式即可求解出这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数；

(2)利用古典概型的概率公式求解出至少有1人竞赛成绩位于区间[90，20．【答案】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，因为BC=CD=DA=12AB，点M是AB的中点，所以AD取PD中点G，连接FG，CG，则FG//AD，FG=12AD所以FG//CE，FG=CE，所以四边形CEFG是平行四边形，所以因为EF⊂平面PCD，CG⊂平面PCD，所以EF//平面（2）解：因为平面PCM⊥平面AMCD，PE⊥CM，PE⊂平面PCM，平面PCM∩平面AMCD=CM，所以PE⊥平面AMCD，因为DE⊂平面AMCD，所以PE⊥DE，连接DM，则△DCM为等边三角形，故DE⊥CM，以E为原点，ED，EM，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：设AD=2，则E(0，0，0)，A(3所以EA=(3，2，0)，设平面PAD的一个法向量为m则m⋅DP=−3x1设平面PAE的一个法向量为n则n⋅EP=3z2=0n所以cos<根据图形可知，该二面角为锐角，所以二面角E−PA−D的余弦值为147【解析】【分析】(1)取PD中点G，连接FG，CG，可证四边形CEFQ为平行四边形，从而知EF//CQ，再由线面平行的判定定