山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末学业诊断数学试题

高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线y＝4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（）A．，2 B．，2 C．，﹣2 D．，﹣22．（3分）圆（x+1）2+（y+2）2＝3的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣1，﹣2）， B．（1，2）， C．（﹣1，﹣2），3 D．（1，2），33．（3分）双曲线＝1的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．（3分）两条平行直线l1：3x﹣y＝0与l2：间的距离等于（）A．3 B．0 C． D．15．（3分）设抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，且点A（4，2）（）A． B．4 C． D．56．（3分）已知直线与双曲线相交于A，且A，B两点的横坐标之积为﹣4（）A． B． C． D．7．（3分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．8x﹣6y﹣7＝0 B．3x+4y＝0 C．3x+4y﹣12＝0 D．6x+8y﹣25＝08．（3分）如图，直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点B，且|AB|＝3|BF|，则直线l的斜率为（）A． B．2 C．3 D．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）已知直线l1：2x﹣y＝0与l2：x+y﹣3＝0交于点P，则下列说法正确的是（）A．点P到原点的距离为 B．点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为1 C．不论实数m取何值，直线l3：（m+2）x﹣2y﹣1＝0都经过点P D．（1，﹣1）是直线l2的一个方向向量的坐标（多选）10．（3分）当α∈（0，π）时，方程x2cosα+y2＝1表示的轨迹可能是（）A．两条直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线（多选）11．（3分）椭圆C的方程为，F1，F2是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上一点且在第一象限．若△MF1F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A．|MF2|＝2 B． C．点M到x轴的距离为 D．（多选）12．（3分）已知O为坐标原点，双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为双曲线C上一点，MN平分∠F1MF2，且，|ON|＝4，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的标准方程为 B．ON∥MF2 C．双曲线C的焦距为 D．点M到两条渐近线的距离之积为三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）抛物线x＝﹣2y2的焦点坐标为．14．（3分）已知圆C的一条直径的两个端点坐标分别为（﹣4，1），（2，3），则圆C的方程是．15．（3分）已知A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，，则|OA|＝．16．（3分）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足|F1P|＝a，且，则椭圆C的离心率为．四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（3，3），C（2，0）．（1）求边AC所在直线的方程；（2）判断△ABC的形状．18．（10分）已知圆M的方程为x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0，点P（3，m）在圆M内．（1）求实数m的取值范围；（2）求过点Q（1，0）且与圆M相切的直线l的方程．19．（10分）已知双曲线C：的右焦点F2与抛物线y2＝8x的焦点重合．（1）求双曲线C的方程；（2）若斜率为的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点为F1，求△ABF1的周长．20．（10分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m），且|AF|＝3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G（﹣1，0），过点F的直线交抛物线于C、D两点，求证：∠CGF＝∠DGF．21．（12分）已知椭圆M：的离心率为，且过点（斜率不为0）与椭圆M分别交于C、D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）记椭圆M的左、右顶点分别为A，B，△ABC和△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．

2023-2024学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线y＝4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（）A．，2 B．，2 C．，﹣2 D．，﹣2【分析】根据已知条件，结合截距的定义，即可求解．【解答】解：直线y＝4x+2，令x＝8，解得y＝2，y＝0，解得x＝，故直线y＝4x+7在x轴和y轴上的截距分别为．故选：B．【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．2．（3分）圆（x+1）2+（y+2）2＝3的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣1，﹣2）， B．（1，2）， C．（﹣1，﹣2），3 D．（1，2），3【分析】直接利用圆的方程求出结果．【解答】解：圆（x+1）2+（y+2）2＝3的圆心坐标和半径分别为（﹣2，﹣2）和．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．3．（3分）双曲线＝1的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【分析】由双曲线的渐近线方程y＝±x即可得到答案．【解答】解：∵双曲线方程为，∴其渐近线方程为：y＝±x＝±x，故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．4．（3分）两条平行直线l1：3x﹣y＝0与l2：间的距离等于（）A．3 B．0 C． D．1【分析】根据已知条件，结合平行直线间的距离公式，即可求解．【解答】解：两条平行直线l1：3x﹣y＝7与l2：间的距离等于：．故选：D．【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．5．（3分）设抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，且点A（4，2）（）A． B．4 C． D．5【分析】由题意画出图形，利用抛物线的定义转化求解．【解答】解：如图，点A（4，2）在抛物线内部，垂足为H，此时|PA|+|PF|取的最小值为8﹣（）＝．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是基础题．6．（3分）已知直线与双曲线相交于A，且A，B两点的横坐标之积为﹣4（）A． B． C． D．【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出焦距．【解答】解：由A，B两点在直线上，设，因为A，B两点关于原点对称，由A，B两点的横坐标之积为﹣40×（﹣x3）＝﹣4，解得x0＝3，所以A（2，代入双曲线方程得，所以，所以，所以焦距为．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．7．（3分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．8x﹣6y﹣7＝0 B．3x+4y＝0 C．3x+4y﹣12＝0 D．6x+8y﹣25＝0【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x6，y2），则，①﹣②得：，即，∴．∴以点为中点的弦所在的直线方程为y﹣，整理得：8x+4y﹣12＝0．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦所在直线方程，是中档题．8．（3分）如图，直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点B，且|AB|＝3|BF|，则直线l的斜率为（）A． B．2 C．3 D．【分析】作BD垂直准线于D，根据抛物线的定义即可求解结论．【解答】解：作BD垂直准线于D，由抛物线的定义可得|BF|＝|BD|，|AB|＝3|BF|，可得|AB|＝3|BD|，故直线l的斜率k＝tan∠BFx＝tan∠DBA＝＝＝2．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的定义应用，考查计算能力，属于基础题．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）已知直线l1：2x﹣y＝0与l2：x+y﹣3＝0交于点P，则下列说法正确的是（）A．点P到原点的距离为 B．点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为1 C．不论实数m取何值，直线l3：（m+2）x﹣2y﹣1＝0都经过点P D．（1，﹣1）是直线l2的一个方向向量的坐标【分析】直接利用直线的方程的交点，点到直线的距离公式，两点间的距离公式及直线的方向向量判断A、B、C、D的结论．【解答】解：由于直线l1：2x﹣y＝2与l2：x+y﹣3＝8交于点P，故，解得，对于A：点P到原点的距离d＝，故A正确；对于B：点P（8，2）到直线x﹣y﹣1＝6的距离d＝；对于C：直线l6：（m+2）x﹣2y﹣4＝0整理得（2x﹣5y﹣1）+mx＝0，故，解得3恒过点（8，﹣），故C错误；对于D：由于直线l7：x+y﹣3＝0的方向向量为（5，﹣1）．故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．（多选）10．（3分）当α∈（0，π）时，方程x2cosα+y2＝1表示的轨迹可能是（）A．两条直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线【分析】化简方程，然后根据α的范围以及余弦函数的性质，椭圆，双曲线，直线的定义即可判断．【解答】解：方程化为：，因为α∈（0，π）时，cosα∈（0，则，此时曲线可能为椭圆；当时，cosα＝3，曲线表示两条直线；当时，cosα＜0，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了轨迹方程，涉及到椭圆，双曲线以及直线的性质，属于基础题．（多选）11．（3分）椭圆C的方程为，F1，F2是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上一点且在第一象限．若△MF1F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A．|MF2|＝2 B． C．点M到x轴的距离为 D．【分析】根据M位置可知|MF1|＝|F1F2|，根据椭圆定义可求出|MF1|，|MF2|，可判断A；通过余弦定理的求解，判断B；利用余弦定理解△MF1F2，从而可判断C，D是否正确．【解答】解：a＝4，b＝，∵M在椭圆上，∴|MF5|+|MF2|＝2a＝4，∵M在第一象限，故|MF1|＞|MF2|，∵△MF6F2为等腰三角形，则|MF1|＝|F3F2|＝2c＝8，故A错误；∴|MF2|＝2，故A正确；由余弦定理可得cos∠MF5F1＝＝，所以B不正确；过M作MA⊥x轴于A，则|F2|＝|MF2|cos∠MF2F1＝，∴|OA|＝，即M的横坐标为＝，故C正确；＝×＝，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查椭圆的简单性质，三角形的解法，属于中档题．（多选）12．（3分）已知O为坐标原点，双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为双曲线C上一点，MN平分∠F1MF2，且，|ON|＝4，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的标准方程为 B．ON∥MF2 C．双曲线C的焦距为 D．点M到两条渐近线的距离之积为【分析】不妨设M为双曲线E：的右支上一点，延长MF2，F1N交于点G，进而得|MF1|＝|MG|，|NF1|＝|NG|，再结合双曲线的定义，中位线定理得a＝4，b＝2，进而判断ABC；设M（x1，y1），则，再直接计算点M到两条渐近线的距离之积判断D．【解答】解：不妨设M为双曲线E：的右支上一点2，F7N交于点G，如图，因为MN平分∠F1MF2，且＝0，即⊥6N与Rt△MGN中，，所以Rt△MF3N≌Rt△MGN，故|MF1|＝|MG|，|NF1|＝|NG|，根据双曲线的定义得，|MF3|﹣|MF2|＝|MG|﹣|MF2|＝|GF3|＝2a，在△F1GF7中，ON是其中位线2，所以ON∥MF2，|ON|＝5，所以．因为双曲线E的渐近线方程为x±2y＝2，所以，c7＝b2+a2＝20，，所以双曲线E的标准方程为，双曲线C的焦距为，B正确；设M（x1，y2），则，即，所以点M到两条渐近线的距离之积为，所以D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）抛物线x＝﹣2y2的焦点坐标为．【分析】先将抛物线的方程化为标准方程形式y2＝﹣x，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．【解答】解：∵抛物线的标准方程为y2＝﹣x，∴p＝，开口向左，0）．故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．14．（3分）已知圆C的一条直径的两个端点坐标分别为（﹣4，1），（2，3），则圆C的方程是（x+1）2+（y﹣2）2＝10．【分析】首先求出圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），b＝，故半径r＝，故圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2＝10．故答案为：（x+1）8+（y﹣2）2＝10．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．15．（3分）已知A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，，则|OA|＝．【分析】由已知结合抛物线的定义可求得p，再根据余弦定理求解．【解答】解：过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，B．由题意∠BFA＝∠OFA﹣＝，A点到准线的距离为：d＝|AB|+|BC|＝p+6＝4，解得p＝2，则|OF|＝7．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题．16．（3分）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足|F1P|＝a，且，则椭圆C的离心率为．【分析】根据对称性不妨设P为上顶点，根据题意先求出Q点坐标，再将Q的坐标代入椭圆方程，即可求解．【解答】解：根据对称性不妨设P为上顶点，则根据题意可得：Q在第一象限，且|F2Q|＝|F1P|＝a，∠PF1O＝∠QF2x，设∠PF6O＝∠QF2x＝θ，则cosθ＝，∴，，∴Q（，），又Q在椭圆C：上，∴，∴，∴e＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，属中档题．四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（3，3），C（2，0）．（1）求边AC所在直线的方程；（2）判断△ABC的形状．【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的点斜式方程，即可求解；（2）结合直线垂直的性质，以及两点之间的距离公式，即可求解．【解答】解：（1）A（﹣1，1），2）．则，故直线AC的方程为：，化简可得：x+3y﹣2＝2．（2）B（3，3），4），则kBC＝3，则kAC•kBC＝﹣1，所以△ABC是直角三角形：又，，则|AC|＝|BC|，综上所述，△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．18．（10分）已知圆M的方程为x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0，点P（3，m）在圆M内．（1）求实数m的取值范围；（2）求过点Q（1，0）且与圆M相切的直线l的方程．【分析】（1）利用点P（3，m）在圆内，得出MP|＜r，求解即可；（2）斜率不存在时，则x＝1，符合题意；斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1），由，解得即可．【解答】解：（1）因为x2+y2﹣2x﹣8y+21＝0，所以（x﹣3）2+（y﹣4）7＝4，即圆心为M（3，2），因为点P（3，m）在圆内，所以，MP|＜r，即（3﹣3）2+（m﹣4）3＜22，解得6＜m＜6，所以m的取值范围为（2，4）．（2）由题可知，切线经过点Q（1，当切线的斜率不存在时，设圆M的切线方程为：x＝1；当切线的斜率存在时，设圆M的切线方程为y＝k（x﹣8），由，解得，所以切线方程为，即3x﹣5y﹣3＝0，综上所述：圆M的切线方程为x＝4或3x﹣4y﹣7＝0．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．19．（10分）已知双曲线C：的右焦点F2与抛物线y2＝8x的焦点重合．（1）求双曲线C的方程；（2）若斜率为的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点为F1，求△ABF1的周长．【分析】（1）由题意，根据抛物线的焦点坐标得到c的值，结合a，b，c之间的关系求出a的值，进而可得双曲线的方程；（2）先得到直线AB的方程，设出直线AB的方程，将直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式以及双曲线的定义再进行求解即可．【解答】解：（1）易知抛物线y2＝8x的焦点坐标为（8，0），因为双曲线C：的右焦点F2与抛物线y4＝8x的焦点重合，所以c＝2，因为a4+2＝4，所以a3＝2，则双曲线C的方程为；（2）因为斜率为的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，所以直线AB的方程为，不妨设A（x1，y6），B（x2，y2），联立，消去y并整理得x2﹣6x+5＝0，由韦达定理得x1+x5＝6，x1x3＝7，所以|AB|＝＝＝4，又，则△ABF3的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|＝5＝．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．20．（10分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m），且|AF|＝3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G（﹣1，0），过点F的直线交抛物线于C、D两点，求证：∠CGF＝∠DGF