数学-高考统计与概率大题解题模板

统计与概率大题解题模板一、随机抽样和用样本估计总体模板一、频率分布直方图1、频率分布直方图的性质：（1）小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；（2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于；（3）频数/相应的频率=样本容量.2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.3、频率分布直方图中的纵坐标为，而不是频率值.例1-1.某城市户居民月平均用电量(单位：度)，以、、、、、、分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为、、、的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【解析】（1）由得：，∴直方图中的值是；（2）月平均用电量的众数是，∵，∴月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，∴月平均用电量的中位数是；（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，∴月平均用电量在的用户中应抽取户.模板二、茎叶图1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑.例1-2.某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：、、、、、、、、、、、、；乙：、、、、、、、、、、、、.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是，乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.模板三、散点图1、两个变量的关系分类函数关系相关关系特征两变量关系——确定两变量关系——带有随机性2、散点图：将样本中个数据点(，，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形.3、正相关与负相关：（1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.4、最小二乘法：设、的一组观察值为(，，…，)，且回归直线方程为.当取值(，，…，)时，的观察值为，差(，，…，)刻画了实际观察值与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法.5、回归直线方程的系数计算公式回归直线方程回归系数系数的计算公式方程或公式上方加记号“^”的意义区分的估计值与实际值、上方加“^”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值例1-3.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下：零件数(个)加工时间(分)（1）与是否具有线性相关关系？（2）如果与具有线性相关关系，求关于的回归直线方程.审题路线图：→→→【解析】（1）画散点图如下：由图可知与具有线性相关关系；（2）列表、计算：，，，，.，，即所求的回归直线方程为：.构建答题模板：第一步：列表、、；第二步：计算，，，；第三步：代入公式计算、的值；第四步：写出回归直线方程；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.模板四、古典概型例1-4.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为、、；蓝色卡片两张，标号为、.（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于的概率；（2）向袋中再放入一张标号为的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和小于的概率.审题路线图：确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本事件)→构成事件的基本事件→求概率.规范解答：【解析】（1）标号为、、的三张红色卡片分别记为、、，标号为、的两张蓝色卡片分别记为、，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：、、、、、、、、、共种，由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于的结果为：、、，共种，∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于的概率为；（2）记是标号为的绿色卡片，从六张卡中任取两张的所有可能的结果为：、、、、、、、、、、、、、、共种，用于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于的结果为：、、、、、、、，共种，∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于的概率为.构建答题模板：第一步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：将所求事件分解为若干个互斥的事件或转化为其对立事件(也许不用分解，但分解必要注意互斥)；第三步：分别计算每个互斥事件的概率；第四步：利用概率的加法公式求出问题事件的概率；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.二、概率与统计之超几何分布与二项分布离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1、关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：（1）写出的所有可能取值；（2）用随机事件概率的计算方法，求出取各个值的概率；（3）利用（1）、（2）的结果写出的分布列.2、常见的特殊离散型随机变量的分布列：（1）两点分布，分布列为(、)，其中，且；（2）二项分布，分布列为(、、、…、、…、)，其中，、、、…、，且，，可记为.3、对离散型随机变量的期望应注意：（1）期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均；（2）是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态；（3）直接给出了的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.4、对离散型随机变量的方差应注意：（1）表示随机变量对的平均偏离程度，越大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之越小，的取值越集中，在附近，统计中常用来描述的分散程度.（2）与一样也是一个实数，由的分布列唯一确定.模板一、超几何分布——离散型随机变量的分布列、期望与方差（1）超几何分布的特征：①在小范围内不放回的随机抽取；②每次抽取相互影响；③每次抽取的可能性一直变化；（2）超几何分布的题型：在含有件次品的件产品中任取件()，其中恰有件次品；（3）超几何分布的分布列、期望与方差：①分布列：，，；②期望：；③.例2-1.已知一个袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数的分布列和数学期望；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取次，求取出红球次数的分布列、数学期望和方差.审题路线图：取到红球为止→取球次数的所有可能、、、→求对应次数的概率→列分布列→求.取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式.规范解答：【解析】（1）的可能取值为、、、，，，，，故的分布列为：；（2）取出后放回，取球次，可看作次独立重复试验，∴，的可能取值为、、、，，，，，故的分布列为：∴，.构建答题模板：第一步：确定离散型随机变量的所有可能性；第二步：求出每个可能性的概率；第三步：画出随机变量的分布列；第四步：求期望和方差；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.模板二、二项分布及其应用（1）二项分布的特征：①在小范围内有放回的随机抽取或在大范围内任意随机抽取；②每次抽取相互独立；③每次抽取的可能性保持不变；（2）二项分布的题型：在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为；（3）二项分布的分布列、期望与方差：①分布列：，为试验次数，为试验成功率，，，；②期望：；③.例2-2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响，记“这人的累计得分”的事件为，则事件的对立事件为“”，∵，∴，即这两人的累计得分的概率为；（2）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为，都选择方案乙抽奖中奖次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为，由已知可得，，∴，，从而，，∴，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.模板三、统计概率的综合应用例2-3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量.（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列及期望.（3）在上述抽取的件产品中任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率.【解析】（1）重量超过克的产品数量是件；（2）的所有可能取值为、、，，，，的分布列为：的期望；（3）设在上述抽取的件产品中任取件产品，恰有件产品的重量超过克为事件，则.变式1：第三问改为：从流水线上任取件产品，设为重量超过克的产品数量，求的分布列、期望、方差.【解析】从流水线上任取件产品服从二项分布：可取：、、、、、；超过克的产品发生的概率为，则，，，，，，，则的分布列为：的期望，方差.变式2：某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条抽流水线上各抽取件产品作为样本算出他们的重量(单位：克).重量落在的产品为合格品，否则为不合格.表一为甲流水线样本频率分布表，图一为乙流水线样本的频率分布直方图.甲流水线乙流水线合计合格品不合格品合计（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取件产品，恰有件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.附：下面的临界值表供参考：(参考公式：，其中).【解析】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分布直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图1知，乙样本中合格品为：，故合格品的频率为，∴可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率，设为从乙流水线上任取件产品中的合格品数，则，∴，即从乙流水线上任取件产品，恰有件产品为合格品的概率为；（3）列联表如下：甲流水线乙流水线合计合格品不合格品合计∵，∴有的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.课后作业1.某学生对其亲属人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于的人，饮食以肉类为主.)（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列列联表：主食蔬菜主食肉类合计岁以下岁以上合计（3）能否有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.【答案】（1）位亲属中岁以上的人多以食蔬菜为主，岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.【详解】（1）位亲属中岁以上的人多以食蔬菜为主，岁以下的人多以食肉为主；（2）补全列联表：主食蔬菜主食肉类合计岁以下岁以上合计（3），有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2.某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得统计结果如下表：支持不支持总计北京暴雨后北京暴雨前总计已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.（1）求列联表中的数据､､､的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？【答案】（1），，，；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有把握.【解析】【分析】（1）先求出的值，再求的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.【详解】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件，由已知得，∴，，，；（2）由（1）知北京暴雨后支持为，不支持率为，北京暴雨前支持率为，不支持率为，条形统计图如图：由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3），故至少有把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.【点睛】方法点睛：独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设与没有关系；（3）根据列联表中的数据计算的值；（4）根据计算得到的随机变量的观测值作出判断.3.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计（2）将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率.附：【答案】（1）列联表答案见解析，没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入列联表，并计算，并和临界值比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下：非体育迷体育迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得，∴没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为人，设是3名男超级体育迷，是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为：､､､､､､､､､，则由个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，用表示“任选人中，至少有人是女性”这一事件，则由､､､､､､这个基本事件组成，因而.4.年月日时分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成、、、、五组作出频率分布直方图，如图：经济损失不超过元超过元合计捐款超过元捐款不超过元合计（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于元和自身经济损失是否到元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取户居民，抽取次，记被抽取的户居民中自身经济损失超过元的人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.【答案】（1）答案见解析，有；（2）分布列见解析，，.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的户中，经济损失不超过元的户数，经济损失超过元的户数，从而可补全列联表，进而可求出，得出结论；（2）由题意知的取值可能有、、、，符合二项分布，则，从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，进而可得的分布列，期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的户中，经济损失不超过元的有户，则经济损失超过元的有户，则表格数据如下：经济损失不超过元经济损失超过元合计捐款超过元捐款不超过元合计，∵，，∴有以上把握认为捐款数额是否多于或少于元和自身经济损失是否到元有关；（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过元居民的频率为，将频率视为概率，由题意知的取值可能有、、、，符合二项分布，则，，，，，从而的分布列为：，.5.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）频数赞成人数（）完成被调查人员的频率分布直方图．（）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率．（）在在条件下，再记选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（）（2）由表知年龄在内的有人，不赞成的有人，年龄在内的有人，不赞成的有人，恰有人不赞成的概率为：．（3）的所有可能取值为：，，，，，，，所以的分布列是：所以的数学期望．6.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【答案】（1）（2）X的分布列为EX==4元【解析】【详解】（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则与相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为EX==4元7.以下茎叶图记录了甲､乙两组个四名同学的植树棵树､乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.（1）如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望.【答案】（1）平均数为，方差为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）利用平均数和方差公式求出即可；（2）根据题意可得的可能取值为，，，，，分别求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：，，，，∴平均数为，方差为；（2）当时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：，，，，乙组同学的植树棵数是：，，，，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，共有种可能的结果，这两名同学植树总棵数的可能取值为，，，，，事件“”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，∴该事件有种可能的结果，，事件“”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，∴该事件有种可能的结果，，事件“”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵，或甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，∴该事件有种可能的结果，，事件“”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，∴该事件有种可