平面向量课件-2025届高三数学一轮复习

第五章

平面向量、复数1考情分析考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养平面向量的线性运算掌握2023年全国甲卷（理）

2023年天津卷

2022年新高考Ⅰ卷

2020年新高考Ⅱ卷

★★☆数学运算直观想象共线向量定理及其应用理解2021年全国乙卷（文）

★★☆数学运算直观想象命题分析预测从近几年高考的情况来看，平面向量的概念及其线性运算一般以选择题或填空题的形式出现，常与其他知识交汇考查，试题较为简单.5.1平面向量的概念和线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小称为向量的____(或称

).(2)零向量：长度为

的向量，记作

.(3)单位向量：长度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量

.(5)相等向量：长度相等且方向

的向量.(6)相反向量：长度相等且方向

的向量.方向长度模001个单位长度相反平行相同相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝________；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向______；当λ＜0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________.b＝λa4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题型一平面向量的基本概念例1

(1)(多选)下列说法正确的是√√√√题型二平面向量的线性运算角度1平面向量的加、减运算的几何意义例2

(1)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(

) A.a∥b

B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b√

题型二平面向量的线性运算A.3m－2n

B.－2m＋3nC.3m＋2n

D.2m＋3n角度2向量的线性运算√题型二平面向量的线性运算√题型二平面向量的线性运算√题型二平面向量的线性运算√题型二平面向量的线性运算√题型三

共线定理及其应用例5

(1)(2023·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝________.

3

爪型问题爪型问题ABCGDE爪型问题爪型问题爪型问题爪型问题5.2平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任一向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝

.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个

.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e23.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则

坐标即为向量的坐标.终点(x2－x1，y2－y1)4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔

.x1y2－x2y1＝01.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.5.2坐标表示1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(

)(2)基底中可以含有零向量.(

)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.(

)×××√5.2坐标表示题型一：基底判断2.若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的一个基底的是A.e1与e1＋e2

B.e1－2e2与2e1＋e2C.e1－2e2与e1＋2e2

D.e1－e2与e2－e1例1

(1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是√√题型二：坐标运算√题型二：坐标运算√√题型二：向量共线的坐标表示例3

(1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝______.(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________.

题型二：向量共线的坐标表示跟踪训练3

(1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，则tanα的值为(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为______.2（2，4）5.3平面向量的数量积1.向量的夹角∠AOB2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

叫做向量a与b的数量积，记作

.|a||b|cosθa·b5.3数量积3.平面向量数量积的几何意义投影投影向量|a|cosθ

e4.向量数量积的运算律(1)a·b＝

.(2)(λa)·b＝

＝

.(3)(a＋b)·c＝

.b·aa·(λb)a·c＋b·cλ(a·b)5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_____|a|＝________x1x2＋y1y2

几何表示坐标表示夹角cosθ＝_____cosθ＝________________a⊥b的充要条件a·b＝0______________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x1x2＋y1y2＝01.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是

.(

)(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(

)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(

)(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(

)×××√题型一：平面向量数量积的基本运算题型一：平面向量数量积的基本运算以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(2,0)，D(1,2)，题型二：平面向量数量积的应用命题点1向量的模②几何法：利用向量的几何意义.题型二：平面向量数量积的应用命题点2向量的夹角例3

(2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为题型二：平面向量数量积的应用命题点3向量的垂直例4

(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1题型二：平面向量数量积的应用命题点4向量的投影题型二：平面向量数量积的应用命题点4向量的投影例6

(多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|