5.1.2分步乘法计数原理及简单应用课件高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

数学组分步乘法计数原理及简单应用汇报人：WPS学习目标1.理解分步乘法计数原理.2.会用分步乘法原理分析和解决一些简单的实际计数问题.汇报人：WPS学习导入春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.（1）她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？（2）她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析（1）我们先看裤子的选择方法数，有4条不同的裤子，则有4种选择方法；每一条裤子对应3件不同的上衣，如图.因此，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3＝3x4=12种搭配方法.（2）由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图.因此，根据分类加法计数原理，共有

N＝12+12+12+12+12＝12x5=3x4x5=60种搭配方法.二

分步乘法计数原理

例1：一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(个位上的数字允许重复)?

方法归纳1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练张老师要从教学楼的一层走到三层，已知从一层到二层有4个扶梯可走，从二层到三层有2个扶梯可走，则张老师从一层到三层有多少种不同的走法？

解析：第1步，从一层到二层有4种不同的走法；第2步，从二层到三层有2种不同的走法.根据分步乘法计数原理知，张老师从教学楼的一层到三层的不同走法有4×2＝8(种).例2：现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

解析：(1)分四类：第1类，从一班学生中选1人，有7种选法；第2类，从二班学生中选1人，有8种选法；第3类，从三班学生中选1人，有9种选法；第4类，从四班学生中选1人，有10种选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种).(2)分四步：第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.由分步乘法计数原理知共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种).(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法

N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).

方法归纳1．使用两个原理的原则

使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.2．应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.

解析：第1封信投到信箱中共有4种投法；

第2封信投到信箱中共有4种投法；

第3封信投到信箱中共有4种投法；

只要把这3封信投完，就完成了这件事，由分步乘法计数原理可

得共有

种投法。

C即时训练C即时训练易错辨析因忽视限制条件而致误3.有3张卡片的正、反两面上分别写有1和2，4和5，8和9，将它们并排组成三位数，其有多少个不同的三位数？解析：分三步进行：第一步：确定个位上数字有6种选法．第二步：确定十位上数字，因个位上数字已定，其反面数字不能选取，只能从剩余的2张卡片中选取，有4种选法．第三步：确定百位上数字，只能从剩余的1张卡片中选取，有2种选法．由分步乘法计数原理知，其有6×4×2＝48(个)不同的三位数．两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.课堂小结2.区别

类别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复当堂检测1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(

)A．7B．12C．64

D．81解析：先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．答案：B2．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．解析：产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．答案：20

103．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．答案：124．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？

解析：(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有1